Категорій теорія

Визначення і загальна характеристика

КАТЕГО́РІЙ ТЕО́РІЯ — роз­діл математики, в основі якого лежить поня­т­тя категорії, яке виділяє низку алгебраїчних властивостей сукупностей морфізмів однотипних математичних обʼєктів за умови, що ці сукупності містять тотожні пере­творе­н­ня та є за­мкненими від­носно послідовного викона­н­ня (суперпозиції або множе­н­ня) від­ображень. Отже, кожна категорія К складається з елементів двох класів — Ob K обʼєктів (множин, тополог. просторів, груп) та Mor K морфізмів (від­ображень множин одна в одну, гомоморфізмів груп, кілець, алгебр, неперерв. від­ображень тополог. просторів та ін.). Кожний морфізм M категорії К має одно­значно ви­значені початок — обʼєкт A та кінець — обʼєкт B. Усі морфізми зі спіл. початком A та кінцем B утворюють під­множину H_K(A, B) класу Mor K. Морфізм M є Mor K належить одній і тільки одній множині H_K(A, B). Множина H_K(A, B) обовʼязково містить тотож. морфізм і в класі Mor K за­дано частковий закон множе­н­ня: добуток M₁ M₂ морфізмів M₁ є H_K(A, B) і M₂ є H_K(C, D) ви­значений лише тоді, коли B = C і належить множині H_K(A, D). При цьому для довіл. морфізмів з Mor K виконується закон асоціативності. Поня­т­тя «категорія» введено 1945. Походже­н­ня та роз­виток К. т. повʼязаний з алгебраїч. топологією. Унаслідок дослідж. виявлено обʼ­єд­нуючу й уніфікуючу ролі категорії і повʼязаного з нею поня­т­тя «функтор» для багатьох роз­ділів математики. Приклади категорій: Ens (клас Ob Ens складається з усіх можливих множин, клас Mor Ens — із всеможливих від­ображень множин одна в одну), тополог. просторів Top (клас Ob Top складається із всеможливих тополог. просторів, клас Mor Top — з усіх неперерв. від­ображень тополог. просторів), груп Gr (клас Ob Gr складається із всеможливих груп, Mor Gr — з усіх гомоморфізмів груп); множе­н­ня збігається з послідов. викона­н­ням від­ображень (у перших двох випадках) і геоморфізмів (у третьому). Пів­група з одиницею є категорією з одним обʼєктом, і, навпаки, кожна категорія з одним обʼєктом є пів­групою з одиницею. У наведених прикладах усі категорії конкретні, тобто ізоморфно вкладаються в категорію множин. Але не всі категорії є конкретними. Запас прикладів категорій можна значно роз­ширити за допомогою різноманіт. кон­струкцій, зокрема категорії функторів або категорії діа­грам. У 1950-х рр. теоретико-категор. аналіз основ теорії гомологій зумовив появу т. зв. абелевих категорій, у рамках яких стало можливим зробити осн. побудови гомолог. алгебри. У на­ступ. десятиліт­ті значно зріс інтерес до неабелевих категорій, які сприяли роз­вʼязан­ню нових задач логіки, заг. алгебри, топології та алгебраїч. геометрії. Інтенсив. роз­виток універсал. алгебри й аксіоматичні побудови теорії гомотопій заклали основи категор. ви­вче­н­ня многовидів універсал. алгебр, теорії ізоморфізмів прямих роз­кладів, теорії спряжених функторів, теорії дво­їстості функторів. Остан. часом виявлено сут­тєві взаємозвʼязки між цими дослідже­н­нями. Завдяки теорії від­нос. категорій встановлено дво­їстість між теорією гомотопій і теорією універсал. алгебр, що базується на інтер­претації категор. ви­значень моноїда і комоноїда в певних категоріях функторів. Водночас із роз­витком заг. теорії від­нос. категорій математики за­ймаються виділе­н­ням спец. конкрет. класів таких категорій.

Літ.: B. Mitchell. Theory of categorie. New York, 1965; H. Schubert. Kategorien. Bd. 1–2. Berlin, 1970; Букур И., Деляну А. Введение в теорию категорий и функторов. Москва, 1972; Цаленко М. Ш., Шульгейфер Е. Г. Основы теории категорий. Москва, 1974; Мак- Лейн С. Категория для работающего математика / Пер. с англ. Москва, 2004; Кругляк С. А., Ройтер А. В. Локально-скалярные пред­ставления графов в категории гильбертовых пространств // Функционал. анализ и его приложения. 2005. Т. 39, вып. 2; Кругляк С. А., Назарова Л. А., Ройтер А. В. Ортоскалярные пред­ставления колчанов, соответствующих расширен­ным графам Дынкина в категории гильбертовых пространств // Там само. 2010. Т. 44, вып. 1.

В. І. Горбачук

Завантажити статтю