Інтегральні рівняння - Енциклопедія Сучасної України
Beta-версія
Інтегральні рівняння

ІНТЕГРА́ЛЬНІ РІВНЯ́ННЯ – рівняння, що пов’язують шукану функцію з інтегралом від неї. До І. р. зводиться чимало задач фізики, крайових задач і задач на власні значення для диференціал. рівнянь та ін. Найбільш вивченими є лінійні І. р., зокрема рівняння Фредгольма 2-го роду, які у найпростішому випадку мають вигляд

де u(x) – шукана, K(x, y) (ядро) та f(x) – задані функції. Якщо це рівняння наближено замінити на систему алгебр. ліній. рівнянь відносно невідомих uj = u(xj), axjb, j = 1, 2,..., n, то отримаємо систему вигляду

для якої з алгебри є добре відомими умови розв’язності. Аналогічна теорія розв’язності (т. зв. теорія Фредгольма) розроблена і для І. р. типу Фредгольма. Важл. роль у теорії І. р. відіграють т. зв. власні функції. Функція φ ≠ 0 називається власною для рівняння Фредгольма із власним значенням λ, якщо

Теорія власних функцій досить добре розвинена для рівнянь з ермітовим ядром K, тобто таким, що K(x, y) = K(y, x). У цьому випадку власні функції подібні до системи тригонометр. функцій або системи власних векторів ермітової матриці: вони є ортогонал., за ними можна будувати розклади довільної функції в ряди, аналогічні ряду Фур’є тощо. Важл. частинним випадком рівняння Фредгольма є т. зв. рівняння Вольтерра, котре одержують із рівняння Фредгольма при заміні b на x; таке рівняння розв’язне для довільної функції f(x). Теорія І. р. стимулювала розвиток теорії операторів в абстракт. просторах і функціонального аналізу. У цьому напрямі в Україні отримали класичні результати Н. Ахієзер, В. Марченко, М. Крейн та їхні учні.

Літ.: Михлин С. Г. Лекции по интегральным уравнениям. Москва, 1959; Трикоми Ф. Интегральные уравнения. Москва, 1960; Петровский И. Г. Лекции по теории интегральных уравнений. Москва, 1965; Колмогоров А. М., Фомін С. В. Елементи теорії функцій і функціонального аналізу. К., 1974.

Ю. М. Березанський

Стаття оновлена: 2011