Динамічних систем теорія - Енциклопедія Сучасної України
Beta-версія
Динамічних систем теорія

ДИНАМІ́ЧНИХ СИСТЕ́М ТЕО́РІЯ – розділ математики, у якому досліджують поведінку траєкторій з часом. Динамiчна система (ДС) – математична модель, що складається з множини станiв системи – точок деякого (абстрактного) простору ξ, який називають фазовим простором, – та закону, що визначає еволюцiю станiв за час t, – вiдображення Φt простору ξ в ξ. Простiр та вiдображення завжди задовольняють певні умови. Найчастiше фазовим простором є n-вимiрний (евклiдiв) простiр, а вiдображення Φt є неперервними чи диференцiйовними i утворюють групу вiдносно t, тобто Φt3+t2t1t2). Кожному (початковому) стану x з Х вiдповiдає траєкторiя – множина {Φt(ξ)t≥0}. Д. с. т. є теор. базою для рiзноманiт. моделей у фiзицi, бiологiї, економiцi. Виникла на поч. 20 ст. як iнструмент для дослiдж. розв’язкiв диференцiал. рiвнянь (див. Диференціальних рівнянь теорія). Основи Д. с. т. заклали франц. математик А. Пуанкаре i амер. Дж. Бiркгофф, останній написав монографiю «Dynamical Systems» («Динамiчнi системи», 1928). Поряд із класич. напрямами Д. с. т. – топол., диференцiал. та символьною динамiками, ергодич. теорiєю – нині постали новi – комбiнаторна та алгебраїчна динамiки. ДС може визначатися диферецiал. рiвняннями, тодi час змiнюється неперервно. Проте часто є сенс дослiджувати ДС з дискретним часом, у якій складну поведiнку траєкторiй можна спостерiгати навiть у одновимiрному просторi, а коли час неперервний, – лише починаючи з тривимiр. простору. Для дослiдж. регуляр. динамiки достатньо таких понять, як стала або перiодична траєкторiя (цикл) i траєкторiя, асимптотично стала або асимптотично перiодична, тобто така, що наближається до перших, ко- ли час зростає. Для опису складної динамiки у 1960–70-х рр. введено новi поняття – «фрактал», «дивний атрактор», «чутлива залежнiсть вiд початкових умов», «хаос». Поняття фрактала як об’єкта, що має дробову розмiрнiсть, запропонував польс. математик Б. Мандельброт. Завдяки бельг.-франц. фізику Д. Рюеллю i нідерланд. математику Ф. Такенсу, котрі вивчали можливостi моделювання турбулентностi, з’явилося поняття дивного атрактора як об’єкта, що притягує до себе траєкторiї i має складну геом. будову, найчастiше є фракталом. Як виявив амер. математик і метеоролог Е. Лоренц, у моделях атмосфери доводиться мати справу з т. зв. чутливою залежнiстю вiд початкових умов: траєкторiї, дуже близькi спочатку, можуть швидко розiйтися i опинитися у зовсiм рiзних частинах простору, – у зв’язку з цим з’явився термiн «ефект метелика». Ще одне важливе поняття – хаос, або хаотична ДС, як ДС, в якiй присутнiй хаос. Нині iснує багато матем. означень хаосу, проте всi вони (використовуючи рiзнi спец. термiни – топол. ентропiя, iнварiантна мiра тощо) констатують наявнiсть у ДС великої кiлькостi траєкторiй з рiзноманiт. асимптот. поведiнкою.

Велику роль у розвитку Д. с. т. відіграли й укр. математики. Перший важливий внесок зробили у серед. 1930-х рр. М. Крилов i М. Боголюбов, встановивши фундам. факт: кожна ДС на компакт. просторi має iнварiантну мiру. Від 60-х рр. Д. с. т. почали активно розвивати в Iн-тi математики АН УРСР (Київ), де закладено основи топол. теорiї одновимiрних ДС, яка нинi є одним із найефективнiших iнструментiв дослiдж. різноманіт. еволюц. задач. У наук. лiт-рi широко вживані такi термiни, як «теорема Шарковського» та «впорядкування Шарковського». Саме це впорядкування натурал. чисел, введене при дослiдж. спiвiснування перiод. траєкторiй, часто характеризує еволюцiю ДС, перехiд вiд простої поведiнки її траєкторiй до складної. Із теоремою Шарковського пов’язане започаткування нового напряму в Д. с. т. – комбiнатор. динамiки. Завдяки дослідж. нескінченновимірних ДС О. Шарковським і О. Романенко засн. теорiю рiзницевих рiвнянь з неперерв. часом; вивчення ж нелiнiй. задач матем. фiзики дало змогу з’ясувати матем. закономiрностi самозародження хаотич. еволюцiй у детермiнованих системах (автостохастичностi) i виявити матем. механiзми одного з найскладнiших природ. феноменiв – турбулентностi, зокрема каскад. процесу утворення когерент. структур аж до формування з часом фрактальних структур, що дало пiдстави для введення поняття «iдеальна турбулентність». О. Шарковський та його учні отримали також результати у топол. динамiці: знайдено типи глобал. стiйкостi, характернi для майже кожної ДС; встановлено точнi оцiнки топол. складностi множин, утворених траєкторiями з різною поведiнкою, показано, що бiльшiсть із цих оцiнок застосовні і для одновимiрних ДС; знайдено критерiї простоти й складностi ДС. Крім того, дослiджено властивостi топологiчно транзитивних і мiн. ДС, зокрема з’ясовано зв’язки мiж мiнiмальнiстю, оборотністю та вiдкритiстю вiдображень, а також зв’язки мiж рiзними поняттями хаосу (С. Коляда), закладено основи теорiї трикут. неперервних вiдображень.

Від 70-х рр. у Фіз.-тех. ін-ті низьких т-р АН УРСР (Харків) працює створена В. Голодцем школа з ергодич. теорiї – теорії ДС з інваріант. мірою. Зокрема представники цієї школи дослідили умови траєктор. еквівалентності ергодич. ДС, властивості квант. динаміч. ентропії для спец. класів ДС. У Харків. ун-ті для дисипатив. нескiнченновимiрних ДС розроблено новi методи дослiдж. глобал. атракторiв, зокрема їхніх топол. та фрактал. розмiрностей; дослiджено вплив стохаст. збурень на поведiнку системи та на можливiсть синхронiзацiї її пiдсистем (І. Чуєшов). Результати цих дослiдж. застосовано у теорiї нелiнiй. коливань, гiдродинамiцi, хiм. кiнетицi. У Київ. ун-ті розвивають алгебраїчну динаміку (В. Некрашевич, В. Сущанський та ін.). Дослідж. класiв багатозначних ДС, що породжуються еволюц. нескiнченновимiрними об’єктами без єдиностi розв’язку, здійснено у Нац. тех. ун-ті України «Київ. політех. ін-т» під кер-вом В. Мельника.

Лiт.: Шарковский А. Н. Сосуществование циклов непрерывного преобразования прямой в себя // УМЖ. 1964. № 1; Шарковский А. Н., Майстренко Ю. Л., Романенко Е. Ю. Разностные уравнения и их приложения. К., 1986 (англ. перекл. – Dordrecht, 1993); Шарковский А. Н., Коляда С. Ф., Сивак А. Г., Федоренко В. В. Динамика одномерных отображений. К., 1989 (англ. перекл. – Dordrecht, 1997); I. Chueshov. Monotone Random Systems: Theory and Applications. Berlin; Heidelberg; New York, 2002; O. V. Kapustyan, V. S. Mel'nik, J. Valero, V. V. Yasinsky. Global Attractors of multi-valued Dynamical Systems and Evolution Equations Without Uniqueness. К., 2008; I. Chueshov, I. Lasiecka. Long-time behaviour of second order evolution equations with nonlinear damping // Memoirs of American Mathematical Society. Providence, 2008.

О. М. Шарковський

Стаття оновлена: 2007