Динамічних систем теорія

ДИНАМІ́ЧНИХ СИСТЕ́М ТЕО́РІЯ — роз­діл математики, у якому досліджують поведінку траєкторій з часом. Динамiчна система (ДС) — математична модель, що складається з множини станiв системи — точок деякого (абстрактного) простору ξ, який називають фазовим простором, — та закону, що ви­значає еволюцiю станiв за час t, — вiдображе­н­ня Φ_t простору ξ в ξ. Простiр та вiдображе­н­ня завжди задовольняють певні умови. Найчастiше фазовим простором є n-вимiрний (евклiдiв) простiр, а вiдображе­н­ня Φ_t є неперервними чи диференцi­йовними i утворюють групу вiдносно t, тобто Φ_t3+t2=Φ_t1(Φ_t2). Кожному (початковому) стану x з Х вiдповiдає траєкторiя — множина {Φ_t(ξ)_t≥0}. Д. с. т. є теор. базою для рiзноманiт. моделей у фiзицi, бiологiї, економiцi. Виникла на поч. 20 ст. як iнструмент для дослiдж. роз­вʼязкiв диференцiал. рiвнянь (див. Диференціальних рівнянь теорія). Основи Д. с. т. заклали франц. математик А. Пуанкаре i амер. Дж. Бiркгофф, остан­ній написав моно­графiю «Dynamical Systems» («Динамiчнi системи», 1928). Поряд із класич. напрямами Д. с. т. — топол., диференцiал. та символьною динамiками, ергодич. теорiєю — нині по­стали новi — комбiнаторна та алгебраїчна динамiки. ДС може ви­значатися диферецiал. рiвня­н­нями, тодi час змiнюється неперервно. Проте часто є сенс дослiджувати ДС з дис­кретним часом, у якій складну поведiнку траєкторiй можна спостерiгати навiть у одновимiрному просторi, а коли час неперервний, — лише починаючи з тривимiр. простору. Для дослiдж. регуляр. динамiки до­статньо таких понять, як стала або перiодична траєкторiя (цикл) i траєкторiя, асимптотично стала або асимптотично перiодична, тобто така, що на­ближається до перших, ко- ли час зро­стає. Для опису складної динамiки у 1960–70-х рр. введено новi поня­т­тя — «фрактал», «дивний атрактор», «чутлива залежнiсть вiд початкових умов», «хаос». Поня­т­тя фрактала як обʼєкта, що має дробову роз­мiрнiсть, за­пропонував польс. математик Б. Мандельброт. Завдяки бельг.-франц. фізику Д. Рюе­л­лю i нідерланд. математику Ф. Такенсу, котрі ви­вчали можливостi моделюва­н­ня турбулентностi, зʼявилося поня­т­тя дивного атрактора як обʼєкта, що притягує до себе траєкторiї i має складну геом. будову, найчастiше є фракталом. Як виявив амер. математик і метеоролог Е. Лоренц, у моделях атмо­сфери доводиться мати справу з т. зв. чутливою залежнiстю вiд початкових умов: траєкторiї, дуже близькi спочатку, можуть швидко роз­iйтися i опинитися у зовсiм рiзних частинах простору, — у звʼязку з цим зʼявився термiн «ефект метелика». Ще одне важливе поня­т­тя — хаос, або хаотична ДС, як ДС, в якiй присутнiй хаос. Нині iснує багато матем. означень хаосу, проте всi вони (використовуючи рiзнi спец. термiни — топол. ентропiя, iнварiантна мiра тощо) кон­статують наявнiсть у ДС великої кiлькостi траєкторiй з рiзноманiт. асимптот. поведiнкою.

Велику роль у роз­витку Д. с. т. ві­діграли й укр. математики. Перший важливий внесок зробили у серед. 1930-х рр. М. Крилов i М. Боголюбов, встановивши фундам. факт: кожна ДС на компакт. просторi має iнварiантну мiру. Від 60-х рр. Д. с. т. почали активно роз­вивати в Iн-тi математики АН УРСР (Київ), де закладено основи топол. теорiї одновимiрних ДС, яка нинi є одним із най­ефективнiших iнструментiв дослiдж. різноманіт. еволюц. задач. У наук. лiт-рi широко вживані такi термiни, як «теорема Шарковського» та «впорядкува­н­ня Шарковського». Саме це впорядкува­н­ня натурал. чисел, введене при дослiдж. спiвiснува­н­ня перiод. траєкторiй, часто характеризує еволюцiю ДС, пере­хiд вiд простої поведiнки її траєкторiй до складної. Із теоремою Шарковського повʼязане започаткува­н­ня нового напряму в Д. с. т. — комбiнатор. динамiки. Завдяки дослідж. нескінчен­новимірних ДС О. Шарковським і О. Романенко засн. теорiю рiзницевих рiвнянь з неперерв. часом; ви­вче­н­ня ж нелiнiй. задач матем. фiзики дало змогу зʼясувати матем. закономiрностi самозародже­н­ня хаотич. еволюцiй у детермiнованих системах (автостохастичностi) i виявити матем. механiзми одного з най­складнiших природ. феноменiв — турбулентностi, зокрема каскад. процесу утворе­н­ня когерент. структур аж до формува­н­ня з часом фрактальних структур, що дало пiд­стави для введе­н­ня поня­т­тя «iдеальна турбулентність». О. Шарковський та його учні отримали також результати у топол. динамiці: зна­йдено типи глобал. стiйкостi, характернi для майже кожної ДС; встановлено точнi оцiнки топол. складностi множин, утворених траєкторiями з різною поведiнкою, показано, що бiльшiсть із цих оцiнок за­стосовні і для одновимiрних ДС; зна­йдено критерiї простоти й складностi ДС. Крім того, дослiджено властивостi топологiчно транзитивних і мiн. ДС, зокрема зʼясовано звʼязки мiж мiнiмальнiстю, оборотністю та вiдкритiстю вiдображень, а також звʼязки мiж рiзними поня­т­тями хаосу (С. Коляда), закладено основи теорiї трикут. неперервних вiдображень.

Від 70-х рр. у Фіз.-тех. ін­ституті низьких т-р АН УРСР (Харків) працює створена В. Голодцем школа з ергодич. теорiї — теорії ДС з інваріант. мірою. Зокрема пред­ставники цієї школи дослідили умови траєктор. еквівалентності ергодич. ДС, властивості квант. динаміч. ентропії для спец. класів ДС. У Харків. університеті для дисипатив. нескiнчен­новимiрних ДС роз­роблено новi методи дослiдж. глобал. атракторiв, зокрема їхніх топол. та фрактал. роз­мiрностей; дослiджено вплив стохаст. збурень на поведiнку системи та на можливiсть синхронiзацiї її пiдсистем (І. Чуєшов). Результати цих дослiдж. за­стосовано у теорiї нелiнiй. коливань, гiдродинамiцi, хiм. кiнетицi. У Київ. університеті роз­вивають алгебраїчну динаміку (В. Некрашевич, В. Сущанський та ін.). Дослідж. класiв багато­значних ДС, що породжуються еволюц. нескiнчен­новимiрними обʼєктами без єдиностi роз­вʼязку, здійснено у Нац. тех. університеті України «Київ. політех. ін­ститут» під керівництвом В. Мельника.

Завантажити статтю