Диференціальна геометрія

ДИФЕРЕНЦІА́ЛЬНА ГЕОМЕ́ТРІЯ — роз­діл геометрії, у якому геометричні обʼєкти (гладкі криві, поверх­ні та їх багатовимірні аналоги — диференці­йовні многовиди) ви­вчають за допомогою диференціального числе­н­ня. Основи класичної Д. г. заклали рос. учений Л. Ейлер (1707–83), франц. Ґ. Монж (1746–1818) і нім. К. Ґаусс (1777–1855). Так, для гладкої кривої γ (s) введено її характеристики «кривина» k(s) і «скрут» κ(s), які у випадку k(s) ≠ 0 ви­значають криву γ(s) з точністю до положе­н­ня в просторі; встановлено, як змінюються k (s) і κ (s) при русі вздовж кривої (формули Френе). Із гладкою поверх­нею r (u, v) у просторі можна звʼязати дві квадратичні форми I=dr² та II = — dr (u, v) dn (u, v), де n (u, v) — вектор одинич. нормалі до r (u, v). Перша квадратична форма I = dr² = Edu² + 2Fdudv + Gdv² характеризує метричні властивості r (u, v). Друга квадратична форма II = — dr (u, v) dn (u, v) = = Ldu² + 2Mdudv + Ndv² описує викривле­н­ня r (u, v) у просторі. Коефіцієнти I і II повʼязані спів­від­ноше­н­нями Ґаус­са та Петерсена–Кодац­ці. Теорема Бонне дає критерій одно­значності з точністю до руху у просторі ви­значе­н­ня поверх­ні за двома квадратич. формами. Вагомі результати у теорії поверхонь отримали франц. вчені Ж. Ліувілль, Ж. Дарбу, італ. Е. Бельтрамі, Л. Бʼянкі, рос. Д. Єгоров, М. Лузін, А. Александров, укр. О. Погорєлов. Внесок у роз­виток Д. г. зробили також М. Лобачевський (неевклідова геометрія), Б. Ріман (ріманова геометрія), М. Лі (групи і алгебри Лі), Ф. Кляйн (Ерланґен. про­грама з ви­вче­н­ня інваріантів груп пере­творень), Ґ. Річчі-Курбастро і Т. Леві-Чивіта (тензорне числе­н­ня), Г. Вайль (теорія звʼязностей), Е. Картан (теорія зовн. диференціал. форм), Г. Морс (варіац. теорія геодезичних). Важливим напрямом сучас. Д. г. є дослідж. різноманітних роз­шарувань над гладкими многовидами та їх пере­різів. Від 2-ї пол. 20 ст. на роз­виток Д. г. сут­тєво почали впливати суміжні роз­діли математики — топологія, динамічні системи, теорія неліній. диференціал. рівнянь із частин­ними похідними. Результати Д. г. широко за­стосовують у теор. фізиці. У Рос. імперії перший під­ручник з Д. г. видав проф. Університету св. Володимира (Київ) Б. Букреєв — «Курсъ приложеній диф­ференціального и інтегрального исчисленія къ геометриі» (К., 1900).

Завантажити статтю