Диференціальних рівнянь теорія (ДРТ)

ДИФЕРЕНЦІА́ЛЬНИХ РІВНЯ́НЬ ТЕО́РІЯ (ДРТ) — само­стійна математична дисципліна, присвячена диференціальним рівня­н­ням. Диференціальне рівня­н­ня (Д. р.) — рівня­н­ня від­носно неві­домої функції однієї або кількох незалеж. змін­них, яке певним спів­від­ноше­н­ням повʼязує між собою аргумент (аргументи), функцію та її похідні першого і, можливо, вищих порядків. Від­повід­но до кількості незалеж. змін­них роз­різняють два осн. типи Д. р.: звичайні (шукана функція залежить від одного аргументу) та з частин. похідними (шукана функція залежить від кількох аргументів). Неві­дома функція може бути як скалярною, так і векторною. Ви­вче­н­ня Д. р. роз­почато у 2-й пол. 17 ст. у звʼязку із за­стосува­н­нями диференціал. та інтеграл. числень до роз­вʼяза­н­ня задач геометрії та механіки (І. Бар­роу, І. Ньютон, Ґ. Ляйбніц). Термін «Д. р.» за­провадив 1676 Ґ. Ляйбніц. У 18 ст. — 1-й пол. 19 ст. від­булося становле­н­ня ДРТ як самост. матем. дисципліни, зокрема роз­роблено окремі методи роз­вʼязува­н­ня як у за­мкненому ви­гляді (методи точного інте­грува­н­ня), так і у ви­гляді функціонал. рядів, закладено основи теорії збурень (брати Бернул­лі, Л. Ейлер, Ж. ДʼАламбер, Ж. Лаґранж, П. Лаплас, Ж. Фурʼє, К. Ґаусс, С. Пуас­сон, О. Коші, М. Остро­градський, Н. Абель, Ж. Ліувілль). У 2-й пол. 19 ст. в ДРТ сформувалися кілька повʼязаних між собою роз­ділів: аналіт. теорія Д. р. (Б. Ріман, К. Вайєрштрасс, І. Фукс, Ф. Фробеніус, А. Пуанкаре, О. Ляпунов); якісна теорія Д. р., з якої роз­винулися теорія стійкості та теорія динаміч. систем (А. Пуанкаре, О. Ляпунов, І. Бендіксон); теорія збурень (А. Лінстедт, С. Ньюком, А. Пуанкаре). На­прикінці 19 ст. — на поч. 20 ст. роз­роблено низку строгих методів доведе­н­ня існува­н­ня та єдиності роз­вʼязків важливих класів задач для рівнянь із частин. похідними (А. Пуанкаре, О. Ляпунов, К. Но­йманн, Ш. Пікар, Е. Фредгольм, Д. Гілберт, С. Бернштейн). Упродовж 20 ст. сформувалися нові роз­діли ДРТ: теорія функціон.-диференціал. рівнянь (зокрема й рівнянь з від­хиле­н­ням аргументу), теорія Д. р. в абстракт. просторах, теорія стохастичних Д. р. Значно роз­винулися функціон. методи дослідж. Д. р. із частин. похідними. Д. р. широко за­стосовують у механіці, фізиці, хімії, біо­логії, медицині, економіці, соціології, техніці. Як інструмент приклад. математики Д. р. є універсальними, оскільки нерідко явища і процеси різної природи вдається описати однаковими Д. р.

Серед ві­домих учених, котрі працювали в Україні над пита­н­нями ДРТ, — О. Ляпунов, В. Стєклов, Г. Пфейф­фер, М. Крилов, C. Бернштейн, М. Кравчук, Ю. Соколов, К. Латишева, Й. Штокало, Ю.-П. Шаудер, М. Лаврентьєв, Я. Лопатинський, М. Крейн, М. Боголюбов, С. Крейн, С. Ейдельман, Ю. Далецький, І. Данилюк, І. Скрипник, чиї досягне­н­ня здобули світ. ви­зна­н­ня. Зокрема, М. Кравчук об­ґрунтував метод моментів на­ближ. роз­вʼязува­н­ня ліній. Д. р. М. Крилов, М. Боголюбов та Ю. Митропольський створили асимптот. методи теорії неліній. коливань, заснували київ. наук. школу неліній. механіки та Д. р. А. Самойленко роз­робив низку ефектив. методів аналізу одно- і багаточастот. неліній. коливань та інваріант. многовидів неліній. динаміч. систем, разом зі своїми учнями (Д. Мартинюком, М. Ронто, М. Пере­стюком, В. Куликом, О. Бойчуком, Ю. Теплинським, Р. Петришиним, С. Трофимчуком та ін.) виконав дослідж., спрямов. на роз­робле­н­ня теорії неліній. коливань систем із запізне­н­ням аргументу, чисельно-аналіт. методів роз­вʼяза­н­ня багатоточк. кра­йових задач, теорії ліній. роз­ширень динаміч. систем на торі, якісної теорії імпульсних, злічен­них та стохастичних систем Д. р. М. Крейн та Ю. Далецький роз­винули теорію стійкості Д. р. у нескінчен­новимірних (банахових) просторах. Методи дослідж. стійкості на основі ідей О. Ляпунова за­провадили А. Мартинюк і С. Персидський. О. Шарковський від­крив універс. порядок спів­існува­н­ня циклів для одновимір. динаміч. систем (порядок Шарковського). Ю. Далецький, С. Фещенко, М. Шкіль та їхні учні роз­винули методи асимптотич. інте­грува­н­ня ліній. систем звичай. Д. р. з повільно змін­ними коефіцієнтами. А. Мишкіс започаткував дослідж. в Україні Д. р. із запізне­н­ням аргументу. В. Слюсарчук дослідив про­блеми стійкості функціон.-диференціал. рівнянь у банаховому просторі. Я. Лопатинський, І. Данилюк, В. Скрипник, С. Ейдельман, І. Чуєшов та вихованці їхніх шкіл роз­винули теорію гранич. задач для рівнянь еліптичного та параболічного типів. А. Кочубей роз­робив теорію рівнянь із частин. похідними над неархімедовими полями. Дослідж. питань ДРТ з частин. похідними методами функціонал. аналізу здійснили Ю. Березанський, М. Горбачук, С. Крейн, Л. Нижник, Я. Ройтберґ, Ф. Рофе-Бекетов та їхні учні. В. Марченко, Є. Хруслов, І. Скрипник і Т. Мельник роз­робили теорію кра­йових задач із дрібнозерни­стою межею. Некоректні й нелокальні кра­йові задачі для гіперболіч. рівнянь роз­глянув Б. Пташник з учнями. В. Фущич, А. Нікітін та учні їхньої школи провели аналіз симетрій. властивостей Д. р. матем. фізики. Алгебро-геом. методи дослідж. еволюц. рівнянь із частин. похідними роз­винули А. Прикарпатський та В. Самойленко.

Серед ви­дань, у яких систематично публікують дослідж. стосовно ДРТ, — «Український математичний журнал», «Нелінійні колива­н­ня», «Нелінійні граничні задачі», «Меthods of Functional Analysis and Topology» («Методи функціонального аналізу і топології»), «Труды Ин­ститута прикладной математики и механики», «Математическая физика, анализ, геометрия», «Динамические системы».

Завантажити статтю