Розмір шрифту

A

Арифметика

АРИФМЕ́ТИКА (грец. ἀριϑμητική (τέχνη) — мистецтво лічби, вче­н­ня про числа, від ajriϑmoζ — число) — галузь математики, що ви­вчає числа та їхні властивості. Необхідність рахува­н­ня предметів при­звела до виникне­н­ня поня­т­тя «натуральне число», яке є осн. у математиці. Множина натурал. чисел по­значається N = {1, 2, 3, …}, а множина цілих чисел Z = {…, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, …}. Із роз­витком письма різні числа почали записувати у ви­гляді різних символів. Так зародились непозиц. системи числе­н­ня: римська система нумерації, алфавітна система та ін. Недоліком непозиц. систем числе­н­ня є те, що в них не можна здійснювати арифмет. операції. Першою позиц. системою числе­н­ня була шістдесяткова система стародав. вавилонян (бл. 2 тис. р. до н. е.). Десяткова система вперше виникла в Індії, звідки поширилась в ін. країни. У різний час і в різних народів знаходили за­стосува­н­ня ін. позиційні системи числе­н­ня — двійкова, дванадцяткова, двадцяткова. Нуль як матем. знак виник у Месопотамії і використовувався при записі чисел у позиц. системі числе­н­ня. Систематично використовувати нуль почали в Індії після введе­н­ня десяткової системи числе­н­ня (бл. 500 р. н. е.). Від 3 ст. н. е. грец. математики, зокрема Діофант, використовували від­ʼємні числа. Їх ви­вче­н­ня почали індій. вчені у 6–11 ст. У Європі лише у 17 ст. остаточно усві­домили рівноправність додатніх і від­ʼємних чисел (до цього їх називали «меншими від нічого», «без­глуздими» тощо). Сучасна побудова від­ʼємних чисел здійснюється у ви­гляді упорядкованих пар натур. чисел або додатніх дробів. Ір­раціональні числа право на існува­н­ня вперше здобули в індійських, а пізніше — араб. учених. Європ. математики тільки іноді користувалися іррац. числами, бо майже до кін. 16 ст. вважали їх неповноцін­ними («глухими», «недійсними», «абсурдними» тощо). Широкого викори­ста­н­ня іррац. числа набули лише після появи геометрії Декарта (1637). Раціональні числа — від­ноше­н­ня цілих чисел або дроби — були ві­домі ще в Стародав. Єгипті та Вавилоні (2 тис. рр. до н. е.). Десяткові дроби ввів на поч. 15 ст. самарканд. математик аль-Каші. У 5 ст. до н. е. грец. математики довели, що не є раціональним числом. Множину дійсних чисел R остаточно побудували німецькі математики К. Вайєрштрасс, Ґ. Кантор та Р. Дедекінд у 2-й пол. 19 ст. У сучас. термінології множина дійсних чисел R є нескінчен­ним роз­шире­н­ням множини раціональних чисел Q, а множина комплекс. чисел C є двомірним роз­шире­н­ням множини дійсних чисел R. Комплексні числа вперше зʼявилися 1545 в книзі Дж. Кар­дано «Велике мистецтво». Ві­дома теорема нім. математика Фробеніуса (1877) стверджує, що немає скінчен­них комутатив. роз­ширень множини комплекс. чисел С, тобто множина С є універсал. числовою множиною, елементи якої називаються числами. Великий внесок у роз­виток теорії комплекс. чисел зробив видат. математик 18 ст. Л. Ейлер, який побудував основи теорії конгруенцій. Геом. інтер­претацію комплекс. чисел за­пропонував нім. математик К. Ґаусс, який у праці «Арифметичні дослідже­н­ня» (1801) заклав основу сучас. теорії чисел, побудував теорію квадратичних лишків і довів квадратичний закон взаємності. Ви­вче­н­ня законів додава­н­ня та множе­н­ня комплекс. чисел дало змогу довести т. зв. правило знаків, згідно з яким a·(–b)=(a·b) та (–a)·(–b)=a·b, для будь-яких комплекс. чисел a і b.

Сучасну А. часто ототожнюють з теорією чисел, що поділяється на елементарну теорію чисел, в якій ви­вчають властивості цілих чисел Z (алгоритм Евкліда для знаходже­н­ня найбільшого спільного дільника, решето Ератосфена, конгруенції, діофантові рівня­н­ня, подільність, роз­клад на прості числа та ін.) та теорію алгебричних чисел, яка ви­вчає скінчен­ні роз­шире­н­ня поля раціональних чисел. Ця теорія виникла у звʼязку зі спробами доведе­н­ня Великої теореми Ферма — твердже­н­ня, що для довільного натурал. числа n>2 рівня­н­ня xn+yn=zn не має роз­вʼязків у натуральних числах. П. Ферма написав це твердже­н­ня (бл. 1630) на полях книги «Арифметика» Діофанта, додавши, що йому ві­доме доведе­н­ня, однак поля книжки замалі, щоб умістити це доведе­н­ня. Частин­ні випадки Великої теореми Ферма довели Л. Ейлер (n=5, 1770), П. Діріхле та А. Лежандр (n=7, 1825).

За­стосовуючи методи теорії алгебрич. чисел, нім. математик Е. Кум­мер у 1850 довів Велику теорему Ферма для всіх простих чисел p<100. На поч. 90-х рр. 20 ст. англ. математик Е. Вайлс довів Велику теорему Ферма, спираючись на потужні неелементарні методи алгебрич. геометрії та сучас. теорії чисел. Наприкінці 19 — поч. 20 ст. дослідження у галузі арифмет. теорії квадратич. форм проводив видатний укр. математик Г. Вороний. Вагомий внесок у роз­виток теорії чисел зробив Б. Делоне. Роз­діл теорії чисел, осн. твердже­н­ня якого одержують за допомогою методів матем. аналізу, має назву аналіт. теорії чисел. Фундам. внесок у цей роз­діл зробив Г. Вороний. Його роботи стали осн. віхою при роз­вʼязан­ні числен. адитивних задач (І. Вино­градов, Г. Гарді, Дж. Літ­тлвуд). Г. Вороний разом з Г. Мінковським є засновником геом. теорії чисел. Праця Г. Вороного «Ис­следования о примитивных парал­лелоэдрах» (С.-Петербург, 1908) — одне з най­глибших світ. досягнень геометрії чисел. Після неї в математику вві­йшли терміни «діа­грами Вороного», «клітина Вороного», «роз­би­т­тя Вороного», «мозаїки Вороного». В Україні аналіт. теорію чисел роз­робляє П. Варбанець. Різним арифмет. пита­н­ням присвячені праці Ю. Дрозда, П. Гудівка, В. Андрійчука, О. Кужеля та їхніх учнів.

Літ.: Арнольд И. В. Теоретическая арифметика. Москва, 1939; Вороной Г. Ф. Со­брание сочинений: В 3-х т. К., 1952–53; Погребиський Й. Б. Арифметика. К., 1953; Хассе Г. Лекции по теории чисел / Пер. с нем. Москва, 1953; Гонин Е. Г. Теоретическая арифметика. Москва, 1959; Депман И. Я. История арифметики. Москва, 1965; Кужель О. В. Основи арифметики. К., 1965; Калужнин Л. А. Основная теорема арифметики. Москва, 1969; Бородін О. І. Теорія чисел. К., 1970; Боревич З. И., Шафаревич И. Р. Теория чисел. Москва, 1972; Завало С. Т., Ко­старчук В. М., Хацет Б. І. Алгебра і теорія чисел: В 2 т. К., 1974; 1976; Кужель О. В. Роз­виток поня­т­тя про число. Ознаки подільності. Досконалі числа. К., 1974; Нечаев В. И. Числовые системы. Москва, 1975; Бельский А. А., Калужнин Л. А. Деление с остатком. К., 1977; Эдвардс Г. Последняя теорема Ферма. Генетическое введение в алгебраическую теорию чисел. Москва, 1980; Постников М. М. Введение в теорию алгебраических чисел. Москва, 1982; Клейн Ф. Элементарная математика с точки зрения высшей. Москва, 1987. Т. 1; Дрозд Ю. А. Теорія алгебричних чисел. К., 1997; C. J. Mozzochi. The Fermat Diary. Princeton, 2000.

В. В. Кириченко

Додаткові відомості

Рекомендована література

Іконка PDF Завантажити статтю

Інформація про статтю


Автор:
Статтю захищено авторським правом згідно з чинним законодавством України. Докладніше див. розділ Умови та правила користування електронною версією «Енциклопедії Сучасної України»
Дата останньої редакції статті:
груд. 2001
Том ЕСУ:
1
Дата виходу друком тому:
Тематичний розділ сайту:
Наука і вчення
EMUID:ідентифікатор статті на сайті ЕСУ
43227
Вплив статті на популяризацію знань:
загалом:
414
сьогодні:
1
Дані Google (за останні 30 днів):
  • кількість показів у результатах пошуку: 15
  • середня позиція у результатах пошуку: 11
  • переходи на сторінку: 2
  • частка переходів (для позиції 11): 888.9% ★★★★★
Бібліографічний опис:

Арифметика / В. В. Кириченко // Енциклопедія Сучасної України [Електронний ресурс] / редкол. : І. М. Дзюба, А. І. Жуковський, М. Г. Железняк [та ін.] ; НАН України, НТШ. – Київ: Інститут енциклопедичних досліджень НАН України, 2001. – Режим доступу: https://esu.com.ua/article-43227.

Aryfmetyka / V. V. Kyrychenko // Encyclopedia of Modern Ukraine [Online] / Eds. : I. М. Dziuba, A. I. Zhukovsky, M. H. Zhelezniak [et al.] ; National Academy of Sciences of Ukraine, Shevchenko Scientific Society. – Kyiv : The NASU institute of Encyclopedic Research, 2001. – Available at: https://esu.com.ua/article-43227.

Завантажити бібліографічний опис

ВСІ СТАТТІ ЗА АБЕТКОЮ

Нагору нагору
Арифметика Енциклопедія сучасної України