Алгебра логіки

А́ЛГЕБРА ЛО́ГІКИ — роз­діл математичної логіки, у якому логічні висловлюва­н­ня і операції над ними досліджують алгебричними методами. Вперше за­стосовувати алгебричні методи до роз­вʼязува­н­ня традиц. логічних задач за­пропонував у серед. 19 ст. англ. математик Дж. Буль. Він роз­глядав висловлюва­н­ня, які можуть набувати лише двох значень — істина або фальш, — і тому термін «А. л.» часто ро­зуміють у цьому вужчому значен­ні як алгебру дво­значної логіки. Логічні сполучники «і», «але», «ні», «якщо...», «то…» дають можливість з уже наявних висловлювань будувати нові, складніші. Їхня істин­ність чи хибність залежить від істин­ності чи хибності первісних висловлювань і від того, яким чином логічні сполучники трактуються як операції над істин­носними значе­н­нями висловлювань. Якщо значе­н­ня «істина» по­значити числом 1, а «фальш» числом 0, введені операції дають можливість кожній формулі при за­даних значе­н­нях висловлювань, які входять у цю формулу, приписати одне із значень — «0» або «1». Отже, кожна формула задає певну функцію, означену на множині {0,1}, яка набуває значень з цієї ж множини, а клас усіх таких функцій є алгебрич. системою (алгеброю). Залежно від того, які логічні сполучники використовуються при побудові формул, одержані алгебри мають різні назви: алгебра Буля, алгебра Жегалкіна, алгебра Лінденбаума тощо. Крім дво­значної логіки, існують й інші: три­значна, n-значна, метрична, топологічна тощо. Важл. пита­н­нями в А. л. є пита­н­ня функціональної повноти, мінімізації формул, одержа­н­ня всіх наслідків із введених гіпотез тощо. А. л. є теор. основою конструюва­н­ня схем сучас. обчислюв. машин. Одним із перших науковців, які зробили помітний внесок у роз­виток А. л., був виходець з України П. Порецький, який працював у Казан. університеті. А. л. має практ. за­стосува­н­ня у кібернетиці, теорії електр. схем, у матем. лінгвістиці. Зокрема нині українські математики за­стосовують методи А. л. до задач про­грамува­н­ня і конструюва­н­ня обчислюв. машин.

Літ.: Порецкий П. С. О способах решения логических равенств и об обратном способе математической логики // Собр. протоколов засе­дания секции физ.-мат. наук Об-ва естествоиспытателей при Казан. університете. Т. 2. 1884; G. Boole. The mathematical analysis of logic. Oxford, 1948; Новиков П. С. Элементы математической логики. Москва, 1959; Яблонский С. В., Гаврилов Г. П., Кудрявцев В. Б. Функции алгебры логики и клас­сы Поста. Москва, 1964; Кужель О. В. Елементи теорії множин і математичної логіки. К., 1977; Мендельсон Э. Введение в математическую логику / Пер. с англ. Москва, 1984; Кужель О. В. Контр­приклади в математиці. К., 1988; Бузук Г. Л. Логика и компьютер. Москва, 1995; Кудрик Т. С., Лянце В. Е. Елементи не­стандартного аналізу. К., 1996; Гладкий А. В. Математическая логика. Москва, 1998; Лиман Ф. М. Математична логіка і теорія алгоритмів. С., 1998; Тарєлкін Ю. П. Основи формальної логіки. С., 1998; Борисенко О. А. Лекції з дис­кретної математики (множини і логіка). С., 1999.

М. І. Кратко

Завантажити статтю