Алгебра логіки - Енциклопедія Сучасної України
Beta-версія
Алгебра логіки

А́ЛГЕБРА ЛО́ГІКИ – розділ математичної логіки, у якому логічні висловлювання і операції над ними досліджують алгебричними методами. Вперше застосовувати алгебричні методи до розв’язування традиц. логічних задач запропонував у серед. 19 ст. англ. математик Дж. Буль. Він розглядав висловлювання, які можуть набувати лише двох значень – істина або фальш, – і тому термін «А. л.» часто розуміють у цьому вужчому значенні як алгебру двозначної логіки. Логічні сполучники «і», «але», «ні», «якщо...», «то…» дають можливість з уже наявних висловлювань будувати нові, складніші. Їхня істинність чи хибність залежить від істинності чи хибності первісних висловлювань і від того, яким чином логічні сполучники трактуються як операції над істинносними значеннями висловлювань. Якщо значення «істина» позначити числом 1, а «фальш» числом 0, введені операції дають можливість кожній формулі при заданих значеннях висловлювань, які входять у цю формулу, приписати одне із значень – «0» або «1». Отже, кожна формула задає певну функцію, означену на множині {0,1}, яка набуває значень з цієї ж множини, а клас усіх таких функцій є алгебрич. системою (алгеброю). Залежно від того, які логічні сполучники використовуються при побудові формул, одержані алгебри мають різні назви: алгебра Буля, алгебра Жегалкіна, алгебра Лінденбаума тощо. Крім двозначної логіки, існують й інші: тризначна, n-значна, метрична, топологічна тощо. Важл. питаннями в А. л. є питання функціональної повноти, мінімізації формул, одержання всіх наслідків із введених гіпотез тощо. А. л. є теор. основою конструювання схем сучас. обчислюв. машин. Одним із перших науковців, які зробили помітний внесок у розвиток А. л., був виходець з України П. Порецький, який працював у Казан. ун-ті. А. л. має практ. застосування у кібернетиці, теорії електр. схем, у матем. лінгвістиці. Зокрема нині українські математики застосовують методи А. л. до задач програмування і конструювання обчислюв. машин.

Літ.: Порецкий П. С. О способах решения логических равенств и об обратном способе математической логики // Собр. протоколов заседания секции физ.-мат. наук Об-ва естествоиспытателей при Казан. ун-те. Т. 2. 1884; G. Boole. The mathematical analysis of logic. Oxford, 1948; Новиков П. С. Элементы математической логики. Москва, 1959; Яблонский С. В., Гаврилов Г. П., Кудрявцев В. Б. Функции алгебры логики и классы Поста. Москва, 1964; Кужель О. В. Елементи теорії множин і математичної логіки. К., 1977; Мендельсон Э. Введение в математическую логику / Пер. с англ. Москва, 1984; Кужель О. В. Контрприклади в математиці. К., 1988; Бузук Г. Л. Логика и компьютер. Москва, 1995; Кудрик Т. С., Лянце В. Е. Елементи нестандартного аналізу. К., 1996; Гладкий А. В. Математическая логика. Москва, 1998; Лиман Ф. М. Математична логіка і теорія алгоритмів. С., 1998; Тарєлкін Ю. П. Основи формальної логіки. С., 1998; Борисенко О. А. Лекції з дискретної математики (множини і логіка). С., 1999.

М. І. Кратко

Стаття оновлена: 2001