Алгебрична геометрія - Енциклопедія Сучасної України
Beta-версія
Алгебрична геометрія

АЛГЕБРИ́ЧНА ГЕОМЕ́ТРІЯ – розділ математики, що вивчає алгебричні криві та поверхні і їх багатовимірні узагальнення. У найпростішому розумінні А. г. досліджує способи розв’язування алгебрич. рівнянь. Становлення А. г. бере початок у 17 ст. і пов’язане з іменами Р. Декарта, П. Ферма, І. Ньютона, коли в геометрію введено поняття координат. На першому етапі розвитку А. г. досліджували алгебричні криві (А. к.). А. к. – це множина точок, що задовольняє рівнянню f(x,y) = 0, де f(x,y) = 0 – многочлен з коефіцієнтами з алгебрично замкненого поля. Поняття і результати, які становлять тепер основу теорії А. к., створювали Я. та Й. Бернуллі, Л. Ейлер, А. Лежандр, К. Ґаусс, Н. Абель, К. Якобі, К. Вайєрштрасс, Б. Ріман під впливом теорії алгебрич. функцій і їхніх інтегралів. Згодом Б. Ріман почав вивчати топологію алгебрич. кривих, продовжили – А. Клебш та М. Ньотер. Для вивчення А. к. її занурюють у проективний простір і додають скінченне число точок (замикання в топології О. Заріскі). В результаті одержують проективну криву, яка краще піддається вивченню. Одним із осн. завдань теорії А. г. є класифікація А. к. із точністю до біраціонального ізоморфізму (до кінця не розв’язано). Існує 4 осн. класи А. к.: криві роду 1, еліптичні криві, гіпереліптичні криві, криві роду більшого, ніж 1. У працях Ф. Клейна і А. Пуанкаре розглядалася проблема уніформізації А. к., яку остаточно розв’язали в 1907 А. Пуанкаре і П. Кобе.

Алгебрична поверхня (А. п.) на класич. етапі розвитку А. г. (1868–1920) – це множина точок у комплексному тривимір. проективному просторі, що задовольняє однорідному алгебрич. рівнянню f(x,y,z,w) = 0. Початок теорії А. п. заклали А. Клебш і М. Ньотер, які ввели важл. інваріанти А. п. – геом. рід і каконіч. клас. На розвиток теорії А. п. значно вплинула італ. школа, засновники якої – Л. Кремона, К. Сеґре, Е. Бертіні, а найвідоміші представники – Г. Кастельнуово, Ф. Енрікес, Ф. Севері. Вони запропонували класифікацію А. п. Кожна неособлива А. п. над полем нульової характеристики з точністю до біраціональної еквівалентності належить одному з таких типів: лінійчаті поверхні, двовимірні абелеві многовиди, К3-поверхні, еліптичні поверхні та поверхні осн. типу. Знач. внесок у теорію А. п. зробили Е. Пікар та А. Пуанкаре. Важл. в теорії А. п. є проблема модулів – класифікація А. п. з точністю до ізоморфізму та дослідж. групи автоморфізмів А. п., де одержано чимало цікавих результатів.

Алгебричний многовид (А. м.) є узагальненням А. к. та А. п. Сучасне визначення А. м. над полем k – це приведена схема скінченного типу над полем k. С. Лефшец заклав основи сучас. теорії А. м. над полем комплексних чисел, розвинули її В. Годже та Ж. де Рам (теорія гармонічних інтегрaлів), А. Картан, Ж. Лере (теорія пучків). Теорія пучків та теорія розшарувань дозволили суттєво узагальнити класичні інваріанти теорії А. п. (теорема Рімана–Роха–Гірцебруха, теорія когерентних алгебрич. пучків Ж.-П. Серра). У працях Г. Ґассе та Б.-Л. ван дер Вардена в 20-х рр. досліджувалися А. м. над довільним полем. На основі цього підходу, спочатку Г. Ґассе (для еліптич. кривих), а потім А. Вейлю в 1940 (у заг. випадку) вдалося довести гіпотезу Рімана. У працях О. Заріскі, П. Самуеля, К. Шевале введено в А. г. нові методи комутатив. алгебри. Наприкінці 50-х рр. О. Ґротендік на основі поняття схеми радикально перебудував А. г. В Україні у галузі А. г. працювали В. Єрмаков та М. Тихомандрицький. Знач. внесок в А. г. зробили В. Дрінфельд, І. Шафаревич та ін. Курси з А. г. читають у Київ. ун-ті. А. г. застосовується в сучас. фізиці – теорії цілком інтегрованих двовимір. хвильових рівнянь, двовимірної квант. теорії поля, теорії струн.

Літ.: Ермаков В. П. Теория абелевых функций без римановых поверхностей. К., 1897; Тихомандрицкий М. А. Основания теории абелевых интегралов. Х., 1895; Шафаревич И. Р. Основы алгебраической геометрии. Москва, 1972; Хирцебрух Ф. Топологические методы в алгебраической геометрии / Пер. с нем. Москва, 1973; Мамфорд Д. Алгебраическая геометрия / Пер. с англ. Москва, 1979; Хартсхорн Р. Алгебраическая геометрия / Пер. с англ. Москва, 1981; Гриффитс Ф., Харрис Д. Принцип алгебраической геометрии: В 2 т. / Пер. с англ. Москва, 1982; Слободской М. И. Элементы аналитической геометрии и векторной алгебры. Х., 1987; Шафаревич И. Р. Основы алгебраической геометрии. Т. 1, 2. Москва, 1988; Рид М. Алгебраическая геометрия для всех / Пер. с англ. Москва, 1991.

В. В. Шарко

Стаття оновлена: 2001