Алгебрична геометрія

АЛГЕБРИ́ЧНА ГЕОМЕ́ТРІЯ — роз­діл математики, що ви­вчає алгебричні криві та поверх­ні і їх багатовимірні узагальне­н­ня. У най­простішому ро­зумін­ні А. г. досліджує способи роз­вʼязува­н­ня алгебрич. рівнянь. Становле­н­ня А. г. бере початок у 17 ст. і повʼязане з іменами Р. Декарта, П. Ферма, І. Ньютона, коли в геометрію введено поня­т­тя координат. На першому етапі роз­витку А. г. досліджували алгебричні криві (А. к.). А. к. — це множина точок, що задовольняє рівнян­ню f(x,y) = 0, де f(x,y) = 0 — многочлен з коефіцієнтами з алгебрично за­мкненого поля. Поня­т­тя і результати, які становлять тепер основу теорії А. к., створювали Я. та Й. Бернул­лі, Л. Ейлер, А. Лежандр, К. Ґаусс, Н. Абель, К. Якобі, К. Вайєрштрасс, Б. Ріман під впливом теорії алгебрич. функцій і їхніх інтегралів. Згодом Б. Ріман почав ви­вчати топологію алгебрич. кривих, продовжили — А. Клебш та М. Ньотер. Для ви­вче­н­ня А. к. її занурюють у проективний про­стір і додають скінчен­не число точок (замика­н­ня в топології О. Заріскі). В результаті одержують проективну криву, яка краще під­дається ви­вчен­ню. Одним із осн. зав­дань теорії А. г. є класифікація А. к. із точністю до біраціонального ізоморфізму (до кінця не роз­вʼязано). Існує 4 осн. класи А. к.: криві роду 1, еліптичні криві, гіпереліптичні криві, криві роду більшого, ніж 1. У працях Ф. Клейна і А. Пуанкаре роз­глядалася про­блема уніформізації А. к., яку остаточно роз­вʼязали в 1907 А. Пуанкаре і П. Кобе.

Алгебрична поверх­ня (А. п.) на класич. етапі роз­витку А. г. (1868–1920) — це множина точок у комплексному тривимір. проективному просторі, що задовольняє однорідному алгебрич. рівнян­ню f(x,y,z,w) = 0. Початок теорії А. п. заклали А. Клебш і М. Ньотер, які ввели важл. інваріанти А. п. — геом. рід і каконіч. клас. На роз­виток теорії А. п. значно вплинула італ. школа, засновники якої — Л. Кремона, К. Сеґре, Е. Бертіні, а найві­доміші пред­ставники — Г. Кастельнуово, Ф. Енрікес, Ф. Севері. Вони за­пропонували класифікацію А. п. Кожна не­особлива А. п. над полем нульової характеристики з точністю до біраціональної еквівалентності належить одному з таких типів: лінійчаті поверх­ні, двовимірні абелеві многовиди, К3-поверх­ні, еліптичні поверх­ні та поверх­ні осн. типу. Знач. внесок у теорію А. п. зробили Е. Пікар та А. Пуанкаре. Важл. в теорії А. п. є про­блема модулів — класифікація А. п. з точністю до ізоморфізму та дослідж. групи автоморфізмів А. п., де одержано чимало цікавих результатів.

Алгебричний многовид (А. м.) є узагальне­н­ням А. к. та А. п. Сучасне ви­значе­н­ня А. м. над полем k — це приведена схема скінчен­ного типу над полем k. С. Лефшец заклав основи сучас. теорії А. м. над полем комплексних чисел, роз­винули її В. Годже та Ж. де Рам (теорія гармонічних інтегрaлів), А. Картан, Ж. Лере (теорія пучків). Теорія пучків та теорія роз­шарувань до­зволили сут­тєво узагальнити класичні інваріанти теорії А. п. (теорема Рімана–Роха–Гірцебруха, теорія когерентних алгебрич. пучків Ж.-П. Серра). У працях Г. Ґассе та Б.-Л. ван дер Вардена в 20-х рр. досліджувалися А. м. над довільним полем. На основі цього під­ходу, спочатку Г. Ґассе (для еліптич. кривих), а потім А. Вейлю в 1940 (у заг. випадку) вдалося довести гіпотезу Рімана. У працях О. Заріскі, П. Самуеля, К. Шевале введено в А. г. нові методи комутатив. алгебри. На­прикінці 50-х рр. О. Ґротендік на основі поня­т­тя схеми радикально пере­будував А. г. В Україні у галузі А. г. працювали В. Єрмаков та М. Тихомандрицький. Знач. внесок в А. г. зробили В. Дрінфельд, І. Шафаревич та ін. Курси з А. г. читають у Київ. університеті. А. г. за­стосовується в сучас. фізиці — теорії цілком інтегрованих двовимір. хвильових рівнянь, двовимірної квант. теорії поля, теорії струн.

Літ.: Ермаков В. П. Теория абелевых функций без римановых поверх­ностей. К., 1897; Тихомандрицкий М. А. Основания теории абелевых интегралов. Х., 1895; Шафаревич И. Р. Основы алгебраической геометрии. Москва, 1972; Хирцебрух Ф. Топологические методы в алгебраической геометрии / Пер. с нем. Москва, 1973; Мамфорд Д. Алгебраическая геометрия / Пер. с англ. Москва, 1979; Хартсхорн Р. Алгебраическая геометрия / Пер. с англ. Москва, 1981; Гриф­фитс Ф., Хар­рис Д. Принцип алгебраической геометрии: В 2 т. / Пер. с англ. Москва, 1982; Слободской М. И. Элементы аналитической геометрии и векторной алгебры. Х., 1987; Шафаревич И. Р. Основы алгебраической геометрии. Т. 1, 2. Москва, 1988; Рид М. Алгебраическая геометрия для всех / Пер. с англ. Москва, 1991.

В. В. Шарко

Завантажити статтю