Конструктивна матетматика

КОН­СТРУКТИ́ВНА МАТЕМА́ТИКА — кон­структивний напрям у математиці. Є абстракт. наукою, сформованою від­повід­но до того чи ін. кон­структив. матем. світо­­гляду, що намагається повʼязати твердже­н­ня про існува­н­ня матем. обʼєктів з можливістю їх по­будови, внаслідок чого від­кидає низку на­станов традиц. теор.-множин. математики (зокрема абстракцію актуал. нескінчен­но­сті та універсал. характер зако­ну виключе­н­ня третього), які приз­водять до появи чистих тео­рем існува­н­ня. Кон­структ. тенден­ція в математиці проявлялася у тій чи ін. формі упродовж всієї її історії, і лише нім. математик кін. 18 — серед. 19 К.-Ф. Гаусс уперше чітко окреслив принципову для К. м. різницю між потенціал. і актуал. матем. нескінчен­ностями та ви­ступав проти вжива­н­ня ос­тан­ньої. Подальші крит. кроки в цьому напрямку зробили нім. математик 19 ст. Л. Кронекер, франц. математик 19 — поч. 20 ст. Ж.-А. Пуанкаре, нідерланд. математик 20 ст. Л. Брауер та ін. Осн. риси К. м.: 1) предметом ви­вче­н­ня є кон­структ. процеси і кон­структ. обʼєкти, що виникають в результаті викона­н­ня цих про­цесів; 2) роз­гляд кон­структ. про­цесів і обʼєктів від­бувається в рамках абстракції потенціал. здій­снен­ності з виключе­н­ням ідеї актуал. нескінчен­ності; 3) інтуїтивне поня­т­тя ефективності по­вʼязується з точним поня­т­тям ал­горитму; 4) використовується спец. кон­структ. логіка, яка вра­ховує специфіку кон­структ. про­цесів і обʼєктів. Поня­т­тя конс­трукт. процесу та кон­структ. обʼєк­та є первісними і не потребують озна­че­н­ня — уявле­н­ня про них мають своїм джерелом матеріал. діяльність людини. Най­простішим видом кон­структ. обʼєктів є слова у фіксов. алфавіті. Кон­структ. процес, результатом яко­го є слово, полягає в даному ви­падку у виписуван­ні цього слова літера за літерою. Частин­ним ви­падком слів є натурал. числа. Вони роз­глядаються як слова в алфавіті 01, що починаються з нуля і не містять далі нулів, тобто як слова 0, 01, 011, 0111, … До­да­н­ня до цього алфавіту зна­ків «-» та «/» дає змогу будувати рац. числа як деякі слова в алфавіті 01-/. Таким чином, рац. числа стають кон­структ. обʼєк­тами. Після цього по­стало питан­ня про побудову в рамках К. м. дійс. чисел, а надалі й про вклю­че­н­ня в ці рамки матем. аналі­зу. Ця мета була досягнута на ос­нові уточненого поня­т­тя алго­ритму. Один із найбільш послідовних і завершених під­ходів до побудови К. м. на цій основі належить школі рос. математика А. Маркова (молодшого), засно­ваній у 1950-х рр. На базі алгоритмів побудовано кон­структ. теорію функцій дійс. змін­ної. Се­ред найцікавіших її результатів — теорема про неперервність кон­­структ. функції скрізь, де вона ви­­значена. Також зʼясовано, що в теорії кон­структ. функцій дійс. змін­ної не мають місця аналоги класич. теорем, сформульованих на­прикінці 19 — на поч. 20 ст. нім. вченими К.-Т. Вейєрштрас­сом і Г. Кантором щодо функцій, неперервних на сегменті. Все це свідчить про сут­тєву від­мін­ність кон­структ. матем. аналізу від ана­лізу теоретико-множин­ного. Нині успішно роз­робляються кон­­структ. теорії диференціюва­н­ня та інте­грува­н­ня, кон­структ. теорія метрич. просторів, конс­трукт. функціонал. аналіз, теорія функ­цій комплекс. змін­ної тощо.

Завантажити статтю