Конструктивна матетматика - Енциклопедія Сучасної України
Beta-версія
Конструктивна матетматика

КОНСТРУКТИ́ВНА МАТЕМА́ТИКА – конструктивний напрям у математиці. Є абстракт. наукою, сформованою відповідно до того чи ін. конструктив. матем. світо­гляду, що намагається пов’язати твердження про існування матем. об’єктів з можливістю їх по­будови, внаслідок чого відкидає низку настанов традиц. теор.-множин. математики (зокрема абстракцію актуал. нескінченно­сті та універсал. характер зако­ну виключення третього), які приз­водять до появи чистих тео­рем існування. Конструкт. тенден­ція в математиці проявлялася у тій чи ін. формі упродовж всієї її історії, і лише нім. математик кін. 18 – серед. 19 К.-Ф. Гаусс уперше чітко окреслив принципову для К. м. різницю між потенціал. і актуал. матем. нескінченностями та виступав проти вживання ос­танньої. Подальші крит. кроки в цьому напрямку зробили нім. математик 19 ст. Л. Кронекер, франц. математик 19 – поч. 20 ст. Ж.-А. Пуанкаре, нідерланд. математик 20 ст. Л. Брауер та ін. Осн. риси К. м.: 1) предметом вивчення є конструкт. процеси і конструкт. об’єкти, що виникають в результаті виконання цих про­цесів; 2) розгляд конструкт. про­цесів і об’єктів відбувається в рамках абстракції потенціал. здій­сненності з виключенням ідеї актуал. нескінченності; 3) інтуїтивне поняття ефективності по­в’язується з точним поняттям ал­горитму; 4) використовується спец. конструкт. логіка, яка вра­ховує специфіку конструкт. про­цесів і об’єктів. Поняття конс­трукт. процесу та конструкт. об’єк­та є первісними і не потребують озна­чення – уявлення про них мають своїм джерелом матеріал. діяльність людини. Найпростішим видом конструкт. об’єктів є слова у фіксов. алфавіті. Конструкт. процес, результатом яко­го є слово, полягає в даному ви­падку у виписуванні цього слова літера за літерою. Частинним ви­падком слів є натурал. числа. Вони розглядаються як слова в алфавіті 01, що починаються з нуля і не містять далі нулів, тобто як слова 0, 01, 011, 0111, … Додання до цього алфавіту зна­ків «-» та «/» дає змогу будувати рац. числа як деякі слова в алфавіті 01-/. Таким чином, рац. числа стають конструкт. об’єк­тами. Після цього постало питан­ня про побудову в рамках К. м. дійс. чисел, а надалі й про вклю­чення в ці рамки матем. аналі­зу. Ця мета була досягнута на ос­нові уточненого поняття алго­ритму. Один із найбільш послідовних і завершених підходів до побудови К. м. на цій основі належить школі рос. математика А. Маркова (молодшого), засно­ваній у 1950-х рр. На базі алгоритмів побудовано конструкт. теорію функцій дійс. змінної. Се­ред найцікавіших її результатів – теорема про неперервність кон­структ. функції скрізь, де вона ви­значена. Також з’ясовано, що в теорії конструкт. функцій дійс. змінної не мають місця аналоги класич. теорем, сформульованих наприкінці 19 – на поч. 20 ст. нім. вченими К.-Т. Вейєрштрассом і Г. Кантором щодо функцій, неперервних на сегменті. Все це свідчить про суттєву відмінність конструкт. матем. аналізу від ана­лізу теоретико-множинного. Нині успішно розробляються кон­структ. теорії диференціювання та інтегрування, конструкт. теорія метрич. просторів, конс­трукт. функціонал. аналіз, теорія функ­цій комплекс. змінної тощо.

Літ.: Марков А. А. Теория алгорифмов // Тр. Матем. ин-та АН СССР. 1954. Т. 42; Проблемы конструктивного на­­правления в математике // Там само. 1958. Т. 52; 1962. Т. 67; 1964. Т. 72; 1967. Т. 93; 1970. Т. 93; Фан Динь Зиеу. Не­­которые вопросы конструктивного функ­ционального анализа // Там само. 1970. Т. 114; Кушнер Б. А. Лекции по конструк­тивному математическому анализу. Мос­­ква, 1973; Акимов О. Е. Дискретная ма­­тематика, логика, группы, графы. 2-е изд. Москва, 2003; Марков А. А. Из­­бранные труды. Т. 2. Теория алгорифмов и конструктивная математика, мате­­ма­­ти­ческая логика, информатика и смеж­­ные вопросы. Москва, 2003.

В. І. Горбачук

Стаття оновлена: 2014