Коливання

КОЛИВА́ННЯ — зміна в часі деякої фізичної величини навколо значе­н­ня, що від­повід­ає рівноважному стану системи. Найчастіше спо­стерігаються періодичні та квазіперіодичні К., бувають також аперіодичні та стохастичні. К., які з часом поширюються в просторі, називають хвилями. За своєю природою К. фіз. систем бу­вають мех. або електромагнітними. Можливі також К. у хім. (реакції Бєлоусова–Жаботинсь­­кого, що су­проводжуються періодич. зміною концентрації реа­­гентів), екол. (К. кількості особин при взаємодії популяцій хи­­жак–здобич), біол. (робота сер­­ця) системах. Коливні системи різної природи в багатьох випад­­ках мають подібні властивості й описуються однак. диференціал. рівня­н­нями. Най­простіший приклад колив. системи — модель ліній. консе­рватив. осцилятора, яка описує широкий клас реал. систем при невеликих від­хиле­н­нях від положе­н­ня рівноваги: фіз. маятник (вантаж на під­вісі), пружин. маятник (ван­­таж на пружині), колив. контур у радіотехніці, акустич. резонатор, резонатор електромагніт. К. тощо. У ліній. осцилятора си­­­ла, що повертає систему в положе­н­ня рівноваги, лінійно залежить від від­хиле­н­ня від цього положе­н­ня. Вільні К. такої системи (тобто К., зумовлені тим, що в початк. момент часу систему вивели зі стану рівноваги, а потім від­пустили) є гармонічними: зміна від­хиле­н­ня системи від положе­н­ня рівноваги з часом від­бувається за законом синуса (або косинуса): x(t) = Asinφ(t), де φ(t) = ω₀t + φ₀.

Гармонічні К. характеризуються амплітудою A (макс. від­хиле­н­ня від положе­н­ня рівноваги), фазою φ(t) (характеризує стадію К. у даний момент часу; φ₀ — початк. фаза), періодом T₀ (наймен­­ший проміжок між двома моментами часу, коли система пе­­ребуває в однак. стані; ви­значається лише властивостями осцилятора). Період ви­значає циклічну частоту ν₀ = 1/T₀ (кількість К. за одиницю часу) та кругову частоту ω₀ = 2πν₀. Двічі за період К. у системі від­бувається пере­творе­н­ня кінет. енер­­гії в потенціальну (в мех. системах) або енергії електрич. поля в енергію магніт. поля (в електромагніт. системах). Для ліній. консе­рватив. осцилятора справ­­джується закон збереже­н­ня енер­­гії: сума потенціал. (електрич.) та кінет. (магніт.) енергії з часом зберігається. К. ліній. ос­­цилятора є ізохрон­ними (період К. T₀ не залежить від їхньої амплітуди A). Врахува­н­ня втрат (дисипації) енергії (тертя в мех. осциляторах, актив. опір у радіо­­тех. контурі та ін.) призводить до того, що з часом амплітуда вільних К. згасає (модель ліній. дисипатив. осцилятора). Таке зга­­са­н­ня притаман­не майже всім реал. макро­скопіч. осциляторам. За наявності дуже сильної диси­пації від­хиле­н­ня від стану рівноваги з часом зменшується екс­­поненціально (аперіодичні К.). При великих від­хиле­н­нях систем від положе­н­ня рівноваги К. стають нелінійними: повертал. сила починає нелінійно залежати від від­хиле­н­ня від положе­н­ня рівноваги (модель неліній. осцилятора). У цьому випад­­ку форма К. пере­стає бути гар­­мо­­нічною (в спектрі зʼявля­­ють­­ся вищі гармоніки), а період К. починає залежати від їхньої амплі­­туди (неізохрон­ність). К., спричинені дією на осцилятор зовн. сили, називають вимушеними. Якщо зовн. сила є гармонічною, а її частота w збігається з частотою влас. К. ω₀, у ліній. консе­рватив. осциляторі спо­стерігається резонанс — лінійне в часі зро­ста­н­ня амплітуди К. до нескінчен­ності. У реал. системах резонансна амплітуда К. обмежується ефектами згаса­н­ня (дисипатив. осцилятор) або неізохрон­ності, коли зі зрос­­та­н­ням амплітуди частота влас. К. змінюється та зʼявляється роз­строюва­н­ня між нею і частотою зовн. сили (неліній. осци­­лятор). Дія періодич. сили на не­­ліній. осцилятор може призвес­­ти до появи стохастич. (випадк.) К. У такому режимі поведінка колив. системи виявляється не­­передбачуваною, оскільки вона залежить від початк. умов, які в реал. системах ви­значаються в результаті вимірювань і тому ні­­коли не ві­домі абсолютно точно. Коливна система (неліній. осцилятор) може містити неліній. елемент, величина якого здатна змінюватися під дією зовн. сили (прикладом такого еле­­менту може бути варикап, електрична ємність якого залежить від прикладеної напруги). Якщо зовн. напруга, прикладена до варикапа, значно більша за напругу, спричинену влас. К. колив. контуру з варикапом, можна вважати, що ємність варикапа змінюється лише під ді­єю прикладеної ззовні напруги, незалежно від руху самої системи. Коливні системи, в яких який-небудь параметр змінюєть­­ся з часом під дією зовн. сили незалежно від руху самої системи, називають параметрични­­ми. У таких системах можливий параметрич. резонанс — екс­поненціал. зро­ста­н­ня амплітуди влас. К. Якщо зовн. сила змінюється гармонічно, умовою пара­­метрич. резонансу є певне спів­­­відноше­н­ня між частотами зовн. сили (частота накачува­н­ня) ω_p і влас. К. ω₀; у най­простішому випадку ω_p = 2ω₀. Якщо система дисипативна, параметрич. резонанс можливий лише тоді, коли зміна параметра пере­вищує деяке граничне значе­н­ня — поріг параметрич. резонансу. В цьому випадку потужність, що від­бирається від джерела зовн. сили (джерела накачува­н­ня), пере­вищує втрати (які й ви­значають поріг) і частково витрачається на зро­ста­н­ня влас. К. Зро­ста­н­ня амплітуди К. у цьому режимі принципово обмежуєть­­ся зворот. впливом збуджених влас. К. на неліній. елемент.

Кла­­сич. прикладом параметрич. ре­­зонансу є маятник зі змін. довжиною під­вісу (звичайна гойдалка): зміна довжини під­вісу двічі за період К. (людина на гой­­далці присідає й ви­простується) призводить до зро­ста­н­ня амплітуди К. (роз­гойдува­н­ня гойдал­­ки). Якщо потужність, що надходить від джерела накачува­н­ня, лише частково компенсує втра­­ти, то вимушені К. в такій системі встановлюються на вищому рівні, ніж за від­сутності накачува­н­ня. Цей принцип лежить в основі роботи параметрич. під­силювачів, які характеризуються над­звичайно низьким рів­­нем влас. шумів. Автоколив. сис­­темами, або автогенераторами називають системи, в яких за від­сутності зовн. періодич. си­­ли можуть виникати та встановлюватися періодичні К. (автоко­­лива­н­ня), властивості яких ви­значаються властивостями самої системи та слабко залежать від початк. умов. Прикладами автогенераторів різної природи можуть бути мех. та електрон. годин­ники, LC-, RC- та різноманітні імпульсні автогенератори в радіотехніці, реакція Білоусова–Жаботинського (в хімії), сер­­це (в біо­логії). Енергія на збудже­н­ня автоколивань береться або від зовн. джерела (елект­­рон. годин­ник, уві­мкнений в елек­­тромережу), або за рахунок енергії, накопиченої в самій системі (потенціал. енергія під­тягнутої вгору гирі в мех. годин­­нику). Встановле­н­ня амплітуди в автогенераторах від­бувається за рахунок їхньої нелінійності, тому будь-який автогенератор — це нелінійна система. За формою вихід. сигналу серед автогенераторів виділяють генератори квазігармоніч. сигналів (форма сигналу майже гармонічна) та генератори релаксацій. сигналів (форма сигналу сут­тєво від­різняється від гармоніч. і може бути, напр., періодич. послідовністю прямокут. або трикут. імпульсів). Якщо на автогенератор квазігармоніч. сигналів діє зовн. гармонічна сила, можливе явище вимушеної синхронізації, або навʼязу­­ва­н­ня частоти. Воно полягає в тому, що під дією зовн. сили (її амплітуда може бути й малою) автоколива­н­ня придушуються, і на виході спо­стерігаються ли­­ше К. з частотою та фазою зовн. сили. Це явище використовують для стабілізації частоти автогенераторів великої потужності. Деяке ускладне­н­ня схеми автогенератора призводить до того, що він може стати джерелом стохастич. (непередбачу­­ваного) сигналу. Подібні прист­­рої ві­домі як генератори шуму, які нині за­стосовують в багатьох задачах науки і техніки. Коливні системи з багатьма ступенями вільності (в най­простішому випадку кількість ступенів вільності — це мін. кількість координат і швидкостей, необхідних для опису системи) можна уявити як набір звʼязаних осциляторів. Прикладами можуть служити маятники, звʼязані пружиною, коливні контури з індуктив. або ємніс. звʼязком та ін. Такі системи характеризуються не однією, а кількома (за кількістю ступенів вільності) частотами влас. К. У ліній. консе­рватив. системах із багатьма ступенями вільності можливий ефект обміну енергією між окремими (парціал.) осциляторами (обмін енергією між ступенями вільності). Його результатом є від­мін­ність влас. частот від парціал. частот (тобто влас. частот окремих осциляторів за від­сутності звʼязку між ними).

Кожній влас. частоті від­повід­ає своя мода — тип К., що характеризується певним спів­від­ноше­н­ням між амплітудами та фазами К. окремих осциляторів. Якщо на лінійну коливну систему з багатьма ступенями вільності діє зовн. гармонічна сила, резонанс можливий на кожній із влас. частот системи. Якщо сила діє на один із звʼязаних осциляторів, у ньому на деякій частоті К. можуть зникнути за рахунок ком­­пенсації зовн. сили дією ін. ос­­циляторів системи (явище динаміч. демпфірува­н­ня). В ін. ос­­циляторах К. теж можуть зникати (явище компенсації різних типів звʼязку). Якщо звʼязок існує між автогенераторами (або колив. контурами в багаточастот. автогенераторі), він спричиняє ефект конкуренції мод. Спів­­­­існува­н­ня мод можливе лише за слабкого звʼязку. В усіх ін. випадках у результаті конкуренції виживає лише одна мода, яка і встановлюється в системі. Результат конкуренції може бу­ти ви­значений наперед характером звʼязку (коли один з автогенераторів може ефективно придушувати К. інших, не за­знаючи поміт. впливу з їхнього боку — випадок сильного невзаєм. звʼязку), а може залежати від початк. умов (коли за наявності сильного звʼязку всі автогенератори є від­носно рівноправними — випадок сильного взаєм. звʼязку). В остан. випадку в системі встановлюється та мода, яка пере­важала в початк. момент часу. В системі звʼяза­­них автогенераторів можливі також режими стохастич. автоколивань. Існують і роз­поділені коливні системи (формально вони мають нескінчен­ну кількість ступенів вільності). Най­простіший одновимір. приклад такої системи — це натягнута пружна струна, кінці якої жорстко закріплені. К. такої струни можна формально пред­ставити як суму двох гармоніч. хвиль однак. амплітуди, що біжать назу­стріч одна одній (стояча хвиля). На довжині струни повин­на вкладатися ціла кількість пів­хвиль стоячої хвилі, чим і ви­значається нескінчен. набір влас. частот такої системи. Двовимір. аналогом даної системи є жорстко закріплена периметром мем­брана (напр., прямокут. фор­­ми), тривимірним — резонатор для електромагніт. К. з провід. стінками (напр., у формі паралелепіпеда або циліндра).

Завантажити статтю