Математична біологія

МАТЕМАТИ́ЧНА БІО­ЛО́ГІЯ — між­дисциплінарна наукова галузь, що ґрунтується на за­стосуван­ні математичного апарату до опису біо­логічних систем у широкому спектрі наук про живе та ви­вчає чисельний аналіз фундаментальних про­блем цих наук на під­ставі математичного моделюва­н­ня біо­логічних процесів і їхніх досліджень математичними методами. Ін. назва — біо­математика. Для М. б. характерним також є за­стосува­н­ня однієї і тієї ж самої матем. концепції до біол. про­блем різного походже­н­ня. У М. б. будують та ви­вчають матем. моделі, ін­спіровані біол. гіпотезами. При цьому встановлюють ланцюг взаємо­­звʼязків між біол. змін­ними і, на під­ставі екс­периментів, вимірів або спо­стережень у природі, ви­значають значе­н­ня параметрів у рівня­н­нях. Змін­ними стають неві­домі, які обчислюють на основі моделі, або аналізують їхню поведінку. У таких дисциплінах, як екологія та епідеміологія, є традиційним роз­вивати прості матем. моделі для динаміки популяцій, щоб надати інтер­претува­н­ня та оцінку параметрів. Проте дослідж. у М. б. можуть бути не лише мотивовані біол. пита­н­нями до математиків, але й формувати по­єд­на­н­ня матем. понять, методів і під­ходів з екс­периментом або дослідже­н­ням, сут­тєво зосереджуючись на покращен­ні біол. ро­зумі­н­ня. Для цього опрацьовують гіпотетич. механізм у ви­гляді матем. моделі, зокрема роблять певне матем. припуще­н­ня та пропонують екс­перименти, які біо­логічно під­тверджують або спростовують модель. У випадку корект. побудови матем. моделі одним із двох способів вона стає обʼєктом аналітич. і компʼютер. дослідж., що надають значе­н­ня її роз­вʼязків. Для того, щоб матем. теорія ві­діграла роль у роз­вʼязан­ні практ. біол. про­блем, найбільший акцент потрібно ставити на дослідж., орієнтовані на конкретні показники (дані) та на уважне порівня­н­ня перед­бачень і спо­стережень. Уперше точні кількісні дані викори­став у біо­логії та статистично їх обробив у 2-й пол. 19 ст. австр. природо­знавець Ґ.-Й. Мендель. Він заклав принцип спадк. ознак, що згодом став базою для законів Менделя в класич. генетиці. Найдавнішим ві­домим прикладом за­стосува­н­ня математики до біол. про­блеми було встановле­н­ня послідовності до опису росту популяції кроликів у 13 ст. італ. математиком Л. Фібонач­чі (Пізанський). Числа Фібонач­чі не лише роз­вʼязали по­ставлену перед дослідником задачу, але й мали числен­ні звʼязки з різними науками, зокрема з ботанікою. До кін. 19 — поч. 20 ст. дослідники не були обмежені сучас. концепцією спеціалізації, тому чиста математика тісно пере­пліталася з прикладною. Напр., у 18 ст. швейцар. проф. медицини Д. Бернул­лі, який опублікував одну з перших матем. моделей, що доводила доцільність вакцинува­н­ня, спів­працював зі швейцар. математиком і механіком Л. Ейлером, який викладав за­стосува­н­ня математики та механіки у фізіології; у серед. 19 ст. нім. математик і фізик Г.-Л. Гельмгольц математично об­ґрунтував закон збереже­н­ня енергії для організму, який вперше ви­значався як фіз.-хім. середовище; 1899 нім. фізіолог О. Франк і англ. фізіолог Е.-Г. Старлінґ за­пропонували модель для досягне­н­ня від­току крові від серця, яка згодом стала ві­дома як закон Франка–­Старлінґа, або закон серця, який від­ображає залежність сили скороче­н­ня серця від роз­тягува­н­ня мʼязових волокон його стінок. До витоків теорії популяцій від­носять рівня­н­ня Мальтуса (1798) та його узагальне­н­ня, що ілюструють демогр. зро­ста­н­ня за екс­поненцій. законом, тоді як до­ступність харч. ресурсів зро­стає лише в арифметич. про­гресії. Новим етапом у роз­витку цієї теорії став опис динаміки популяції у термінах неліній. диференціал. рівнянь Лотки–Вольтер­ра на поч. 20 ст. Цей клас т. зв. рівнянь хижак–жертва не лише започаткував новий етап роз­витку популяц. біо­логії, а й набув за­стосува­н­ня в ін. напрямах, зокрема в екології та епідеміології. У 1920–30-х рр. М. б. від­окремилася від теор. біо­логії як самодо­статня наука. Спів­праця біо­логів і вчених-лікарів з математиками при­звела до формулюва­н­ня абсолютно нових матем. задач, роз­вʼязуван­­ня яких сприяло роз­виткові як математики, так і біо­логії та медицини. У 1970-х рр. почали за­стосовувати нові матем. галузі до опису про­блем з різних напрямів наук про живі організми, зокрема й теорію ігор до біол. систем. У біол. світі успішно ви­брана стратегія генерує, напр., домінацію популяції та контролює поведінку індивідуумів. На основі теорії ігор описано Дарвін. процес, а засобом ви­вче­н­ня еволюц. динаміки в іграх стало реплікативне рівня­н­ня. Матем. моделі біол. процесів пере­важно над­звичайно складні, зокрема таким є моделюва­н­ня клітин. процесів, оскільки кількість клітин, напр., у люд. організмі досягає 1013, які є різного типу і які при цьому взаємодіють неперервно. Тому у більшості випадків моделі можуть роз­глядатися лише при обмежених умовах. Біол. системи індивідуумів (частинок), що взаємодіють, можна описати трьома способами. Якщо число таких індивідуумів велике, то їхня щільність, за­звичай, моделюється звичай. диференціал. рівня­н­нями. При помір. кількості (скажімо, 102 або 103) їх можна апроксимувати неперерв. дифузій. процесами. У випадку не­знач. кількості індивідуумів систему потрібно описувати в тер­­мі­­нах стохаст. процесів, як неперервний за часом марков. ланцюжок. Функціонал. поведінку серця та мозку при звичай. або патол. умовах описують у термінах неліній. аналізу даних електрокардіо­грами та електроенцефало­грами. Такі дослідж. можуть перед­бачити спонтан­ну кардіол. смерть, а також початок епілептич. нападів. У цьому та багатьох ін. випадках за­стосовують рівня­н­ня реакції-дифузії, крім того, деякі моделі, напр., модель руху кисню під час хірург. транс­плантації тканин, ґрунтуються на багатофаз. під­ході. Під час боротьби з раковими захворюва­н­нями та генетич. хворобами мозку, зокрема хворобами Альцгаймера чи Паркінсона, а також під­тримки здоровʼя пацієнтів із такими хворобами, як СНІД, подола­н­ня резистентності антибіо­тиків, були зроблені перші кроки до ро­зумі­н­ня молекуляр. генетики люд. організму. Починаючи з дослідж. поведінки протеїнів з одним рецептором і закінчуючи контролем гормонал. коливань усього тіла, матем. методи залишаються інтеграл. частиною сучас. фізіології. Досягне­н­ня у роз­витку динаміч. систем, які багато в чому залежать від початк. даних, при­звели до виникне­н­ня теорії ха­осу. Хаотич. характер існує в багатьох природ. (біол.) системах (напр., погода або клімат), поведінку яких можна ви­вчати у термінах рекурент. графіків і від­ображень Пуанкаре. Теорію хаосу за­стосовують в багатьох на­уках, зокрема екології, метеоро­логії. У М. б. використовують диференціал. рівня­н­ня та рівня­н­ня з частин. похідними, теорію збурень, матем. і функціонал. аналіз, теорію динаміч. систем, матем. фізику, чисел. та нелінійні методи, теорію ймовірностей, стохаст. процеси, комбінаторику, статистику, лінійну й абстрактну алгебру, теорію графів, теорію фракталів, алгебричну геометрію, топологію, теорію роз­пі­знава­н­ня образів, теорію обробле­н­ня зображень та сигналів, теорію кодува­н­ня. Задачі М. б. роз­вʼязують за допомогою пакетів компʼютер. моделюва­н­ня (MatLab, Mapple та ін.). Окрім теор. біо­логії, з М. б. повʼязані біо­фізика, біо­інформатика та біо­інженерія. 1973 у США засн. Товариство М. б., 1991 у Франції під час проведе­н­ня 1-ї конф. з математики, що за­стосовують до біо­логії та медицини, — Європ. товариство матем. і теор. біо­логії. Від 1939 виходить темат. наук. бюлетень (згодом отримав назву «Bulletin of Mathematical Biology»), від 1974 — «Journal of Mathematical Biology». Серед учених, які за­стосовували математику та її під­ходи до біол. систем і стали Нобелів. лауреатами, — А.-В. Гілл (1922), Ф.-Г. Крік (1962), Е.-Ф. Гакслі (1963; усі — Велика Британія), Б. Закманн (1991, Німеч­чина), Л. Бак (2004), M.-Р. Капек­кі (2007; обидва — США). Дослідж. у галузі М. б. за­ймаються в Ін­ституті математики НАНУ (Київ) та низці укр. ВНЗів.

Літ.: Уинфри A. T. Время по биологическим часам / Пер. с англ. Москва, 1990; L. Glass, P. Hunter, A. McCulloch. Theory of Heart: Biomechanics, Biophysics and Nonlinear Dynamics of Cardiac Func­­tion. New York, 1991; Алексеев В. В., Крышев И. И., Сазыкина Т. Г. Физическое и математическое моделирование экосистем. С.-Пе­тербург, 1992; С. Fall, E. Marland, J. Wagner, J. Tyson. Compu­­tational Cell Biology. New York, 2002; A. Beuter, L. Glass, M. C. Mackey, M. S. Tit­­combe. Nonlinear Dynamics in Physiology and Medicine. New York, 2003; V. I. Agosh­­kov. Encyclopedia of Mathematical Scien­­ces. Mathematical Models of Life Support Systems // Encyclopedia of Life Support Systems. Oxford, 2004; J. Keenner, J. Sneyd. Mathematical Physiology. New York, 2009; Мюр­рей Дж. Математическая биология / Пер. с англ. Москва; Ижевск, 2009. T. 1; 2011. T. 2–3; Братусь А. С., Новожилов А. С., Платонов А. П. Динамические системы и мо­­дели в биологии. Москва, 2010; Ризниченко Г. Ю. Лекции по математическим моделям в биологии. Москва; Ижевск, 2011; L. A. Segel, L. Edelstein-Keshet. A primer on mathematical models in biology. Philadelphia, 2013; A. Freidman, C.-Y. Kao. Mathematical Modeling of Biological Pro­­cesses. New York, 2014; J. Müller, C. Kut­­tler. Methods and Models in Mathematical Biology. Deterministic and Stochastic Ap­­proaches. Berlin, 2015.

Т. В. Рябуха

Завантажити статтю