Математична фізика

Визначення і загальна характеристика

МАТЕМАТИ́ЧНА ФІ́ЗИКА — роз­діл математики, який ви­вчає математичні структури фізичних теорій. На від­міну від суто матем. наук, М. ф. досліджує сутність явищ Всесвіту за допомогою матем. методів. Нині методи М. ф. за­стосовують до опису не лише фіз. явищ, а також до склад. систем різноманіт. природи, які є предметом дослідж., напр., біол. і соц. наук. Перші методи М. ф. сформулював на­прикінці 17 ст. англ. учений, засн. класич. механіки І. Ньютон. У 18 ст. роз­виток методів М. ф. повʼязаний з дослідж. колив., акуст. і гідродинам. процесів. Тоді закладено основи аналіт. механіки (франц. учені Ж.-Л. Лаґранж, Ж.-Л. Даламбер, П.-С. Лаплас, рос. і нім. учений Л. Ейлер, нім. учені Ґ.-В. Ляйбніц, К.-Ф. Ґаусс, швейцар. учений Я. Бернул­лі). У 19 ст. від­бувалося інтенсивне ви­вче­н­ня рівнянь, які виникли в теорії тепло­провід­ності, дифузії, хвильових процесів, стійкості руху, електродинаміці, гідродинаміці, газовій динаміці, оптиці (франц. учені Ж.-Б. Фурʼє, С.-Д. Пуас­сон, О.-Л. Коші, Ж.-А. Пуанкаре, Ж. Адамар, австр. учений Л. Больцман, рос. учені М. Остро­градський, С. Ковалевська, О. Ляпунов, В. Стек­­лов, нім. учені Г.-Л. Діріхле, Б. Ріман, Г.-Р. Кірхгофф, Д. Гільберт, англ. учені Дж.-К. Максвелл, англ. Дж.-Г. Стокс). На поч. 20 ст. у звʼязку з дослідж. явищ квант. фізики та кінет. властивостей систем багатьох частинок сформульовано низку нових рівнянь М. ф., зокрема Шредінґера та Больц­мана. У задачах класич. М. ф. роз­глядають 3 осн. типи диференціал. рівнянь у частин. похідних: Лап­ласа (однорідне рівня­н­ня Пуас­сона), тепло­провід­ності та хвильове (обидва до рівня­н­ня Пуас­сона зводять в стаціонар. випадку). Їх доповнюють краєвими умовами — граничними (Діріхле, Не­ймана) або мішаними граничними; і початк. умовою, яка ви­значає задачу Коші для цих рівнянь. Оскільки матем. моделі фіз. явищ повин­ні мати від­повід­ні властивості із задач класич. М. ф. виділяють задачі, для яких існує неперервно залежний від кра­йових умов єдиний роз­вʼязок — клас коректно по­ставлених задач за Адамаром. Якщо задача по­ставлена некоректно, тоді виникає потреба в її пере­формулюван­ні, напр., із викори­ста­н­ням методів регуляризації. У 20 ст. зʼявилися нові можливості для дослідж. більш широкого кола фіз. явищ, унаслідок чого виникли нові фіз. теорії: квантова механіка, релятивіст. механіка, статист. механіка, квантова теорія поля, астрофізика (Ж.-А. Пуанкаре, Д. Гільберт, амер. учені Дж.-В. Ґіббс, Дж. фон Ней­­ман, А. Айнштайн, Ю.-П. Віґнер, С. Чандрасекар, Р.-Ф. Фейнман, Дж. Швінґер, Ф.-Дж. Дайсон, швейцар. учений В. Паулі, англ. учені П.-А. Дірак, Р. Пенроуз, нім. учені В. Гейзенберґ, Г. Вейль, австр. учені Е. Шредінґер, укр. учений М. Боголюбов, рос. учений В. Фок). Водночас сформульовано нові матем. методи: тео­рії операторів і узагальнених функцій, нескінчен­новимір. аналіз, ймовірнісні, алгебричні, топол. методи, методи алгебрич. геометрії. У серед. 20 ст. тенденція до синергетич. взаємодії теор. фізики та математики при­звела до виникне­н­ня сучас. М. ф. У наук. обіг цей термін уві­йшов у 1980-х рр. завдяки М. Боголюбову, який роз­глядав математику не тільки як засіб для обчислень, але й як метод отрима­н­ня нового зна­н­ня за допомогою математики: «У нас на очах за остан­ні роки сформувалася цілковито нова галузь науки, яку найдоречніше на­звати сучасною математичною фізикою. Вона має те ж генетичне походже­н­ня, що й класична математична фізика... Фізики встиг­­ли пере­конатися, що з метою отримати ро­зумну від­повідь на свої пита­н­ня вони мають глибше зро­зуміти математичну природу обʼєктів дослідже­н­ня, таких як узагальнені функції або необмежені оператори, під­вищити прийнятий стандарт доказової сили аргументації... Тоді стало очевидним, що сучасні математичні методи до­зволяють отримувати іноді дуже сильні резуль­­тати...». Тобто математика почала ві­ді­гравати не лише роль інструмента для опису фіз. явищ, але й виявилося, що вона має здатність проникне­н­ня в їхню сутність. Один із напрямів роз­витку сучас. М. ф. полягає в строгому виведен­ні рівнянь із фундам. еволюц. рівнянь, якими описують природу речей у Всесвіті. За сучас. уявле­н­нями, будь-яка система характеризується спо­стережуваними обʼєктами та станом. Тому існує два еквівалент. способи опису їхньої еволюції — за допомогою рівня­н­ня Гейзенберґа для спо­стережуваних або дво­їстого до нього рівня­н­ня фон Ней­мана для стану (квант. рівня­н­ня Ліуві­л­ля). У класич. на­ближен­ні за­значені рівня­н­ня ві­домі як рівня­н­ня Ліуві­л­ля від­повід­но для спо­стережуваних і стану системи. Для опису еволюції т. зв. чистих станів, які не зображуються через ін. стани, у квант. випадку до­статнім є за­стосува­н­ня рівня­н­ня Шредінґера, а для класич. систем — рівня­н­ня Гамільтона. Рівня­н­ня Гейзенберґа для конкрет. систем (гамільтоніанів) квант. теорії поля зводяться до ві­домих еволюц. рівнянь для полів, квантами яких описують частинки в стандарт. моделі елементар. частинок: рівня­н­ням Дірака описують три поколі­н­ня лептонів і кварків, рівня­н­ням Макс­вел­ла — фотони, рівня­н­нями Янґа–Міл­лса — проміжні бозони слабкої взаємодії та глюони сильної взаємодії, рівня­н­ням Клейна–Ґордона–Фока — гіґ­ґсів. бозони, рівня­н­ням Айнштайна — гравітац. поле. У статист. механіці еволюцію станів систем багатьох частинок описують також в еквівалент. спосіб за допомогою ієрархії еволюц. рівнянь ББҐКІ (Боголюбов–Борн–Ґрiн–Кiрквуд–Iвон). Роз­вʼязок стаціонар. ієрархії рівнянь ББҐКІ описує ґіб­бсів. рівноваж. стан систем частинок. Від­повід­ні скейлінг. асимптотики роз­вʼязку задачі Коші для ієрархії рівнянь ББҐКІ описують кінет. рівня­н­нями (Больцмана, Власова, Фок­кера–Планка, Шредінґера) та для станів близьких до рівноваги — рівня­н­нями гідродинаміки (рівня­н­ня Ейлера, Навʼє–Стокса, Барнет­та). Нині М. ф. інтенсивно роз­вивається в багатьох провід. університетах і наук. центрах світу. Зокрема, це об­умовлено дослідж. нових фіз. явищ, повʼязаних із від­кри­т­тям темної енергії та темної матерії, чорних дірок, гравітац. хвиль; ви­вче­н­ням властивостей нано­структур і мʼяких конденсов. речовин, а також із побудовою більш заг. теорій, ніж стандартна модель елементар. частинок, напр., суперсиметр. теорій і теорії струн. Від 1972 кожні 3 р. проводять між­нар. кон­греси з М. ф. 1976 засн. Між­нар. асоц. з М. ф. Від 1997 найвагоміші досягне­н­ня в галузі М. ф. від­значають між­нар. премією А. Пуанкаре. В Україні осн. пріоритетні результати з М. ф. та її за­стосувань отримано у Києві в Ін­ституті математики НАНУ та Ін­ституті теор. фізики НАНУ (М. Боголюбов, О. Парасюк, Д. Петрина) й Харкові в матем. від­діл. Фіз.-тех. ін­ституту низьких т-р НАНУ (В. Марченко, Л. Пастур, Є. Хруслов).

Літ.: Боголюбов Н. Н. Про­блемы динамической теории в статистической физике. Москва, 1946; Курант Р., Гиль­­берт Д. Методы математической физики. Москва, 1951. Т. 1–2; Владимиров В. С. Уравнения математической физики. Москва, 1981; W. E. Thirring. A Course in Mathematical Physics. New York, 1983. Vol. 1–4; R. Dautray, J. L. Lions. Mathematical Analysis and Numerical Methods for Science and Technology. New York, 2000. Vol. 1–6; Modern Encyclo­­pedia of Mathematical Physics. New York, 2008; M. Reed, B. Simon. Methods of Modern Mathematical Physics. New York, 2015. Vol. 1–4.

В. І. Герасименко

Завантажити статтю