Математична модель

Визначення і загальна характеристика

МАТЕМАТИ́ЧНА МОДЕ́ЛЬ

Наук. термін «модель» (від лат. modulus — міра, зразок) почали використовувати у 2-й пол. 19 ст. у своїх працях італ. математик Е. Бельтрамі, нім. математик Ф.-Х. Кляйн і франц. математик Ж.-А. Пуанкаре. Модель є матеріал. або уявним, тобто інформ., обʼєктом, що в процесі дослідж. заміщує обʼєкт-оригінал, при цьому маючи його істотні інформ. властивості. Вибір характеристик ви­значають від­повід­но до цілей моделюва­н­ня. Процес абстрагува­н­ня від несут­тєвих параметрів називають формалізацією — заміною реал. обʼєкта або процесу формал. описом. М. м. — спеціал. метод, що до­зволяє оцінити недо­ступні прямим вимірам властивості систем і процесів. Вона є системою матем. спів­від­ношень, що всебічно описують обʼєкт дослідж., і джерелом нових ві­домостей, отриманих з їхньою допомогою. М. м. мають бути властиві адекватність, точність, універсальність, спроможність до ви­значе­н­ня оцінок стійкості та чутливості. Вид М. м. залежить від природи реал. обʼєкта, зав­дань дослідж., необхід. достовірності та точності тощо. Донині створ. величезну кількість різноманіт. моделей. Рос. і амер. економіст, лауреат Нобелів. премії В. Леонтьєв на основі закону Вальраса роз­робив лінійну дис­кретно-детермінов. модель між­галуз. балансу виробництва та роз­поділу продукції: Xi = ∑nj=1aijXj + yi , i = 1,—n, де Xi — валовий випуск продукції i галуз­зю; aij — коефіцієнт прямих витрат продукції i галузі на одиницю випуску j галуз­зю; Xj — валовий випуск продукції j галуз­зю; yi — кінцевий продукт i галузі. Модель від­ображає виробництво та роз­поділ сусп. продукту в галузі, між­галуз. звʼязки, викори­ста­н­ня матеріал. і труд. ресурсів, створе­н­ня та роз­поділ нац. доходу. Модель Мальтуса, що належить до неперервно-детермінов. моделей, — швидкість зро­ста­н­ня популяції — диференц. рівня­н­ня xʼ = ax, де a — деякий параметр, що ви­значають різницею між народжуваністю та смертністю. Роз­вʼязком рівня­н­ня є екс­поненціал. функція x(t) = x0eat. Якщо a > 0 , то популяція необмежено, швидко зро­стає, але модель не враховує ресурси. На основі моделі Мальтуса побудовано модель хижак–жертва — роз­виток двох антагоністич. популяцій (модель Лотки–Вольтер­ра)

де x, y — від­повід­но кількість жертв і хижаків; a, b, c, d — ко­ефіцієнти, що від­ображають взаємодії між видами. Поведінка системи є структурно не­стійкою. Систему моделі гармоніч. осцилятора (або вільних коливань) пред­ставляють як масу, під­вішену на закріпленій на одному кінці пружині. Її отримали на базі фундам. законів фізики (Ньютона та Гука), а описують ліній. диференц. рівня­н­ням 2-го порядку m • x" + k • x = 0, де k — коефіцієнт пружності, m — маса тіла. Якщо врахувати фактори впливу на коефіцієнт пружності та пред­ставити його як k(x), то отримаємо нелінійну модель x: m • x" + k(x) • x = 0. Для моделей у частин. похідних незалеж. змін­ними є координати. Диференц. рівня­н­ня Лапласа

описує: роз­поділ електрич. потенціалу в області простору; стаціонар. роз­поділ температури в суціл. середовищі; потік ідеал. рідини. Система масового обслуговува­н­ня (стохаст. модель) — матем. обʼєкт, що складається з приладів (ка­налів) обслуговува­н­ня замовлень, що надходять у систему через накопичувач з утворе­н­ня черги або без черги. Для систем із дис­крет. станами та часом стаціонар. режим описують системою ліній. рівнянь: ∑n i=1,j≠1pi • pij = pj ∑ i=1,j≠1pji, ∑ni=1pi = 1; для систем з дис­крет. станами та неперерв. часом — системою диференц. рівнянь Колмогорова:

де pi — ймовірність пере­бува­н­ня системи у стані; pij — пере­хідні ймовірності; lij — інтенсивність потоку із стану i в стан j.

В. М. Михайленко, О. В. Горда

Завантажити статтю