Математичної індукції метод

МАТЕМАТИ́ЧНОЇ ІНДУ́КЦІЇ МЕ́ТОД

В основі М. і. м. лежить твердження, що називають принципом матем. індукції: якщо перше твердження А(1) певної послідовності тверджень А(n) є правильним, а за кожним правильним твердженням цієї послідовності наступне також правильне, то всі твердження заданої послідовності є правильними. Цей спосіб матем. доведень опирається на поняття індукції (див. Індукція і дедукція). У 18 ст. академік С.-Пе­тербур. АН Л. Ейлер сказав: «У мене немає для доведення жодних інших доказів, за винятком довгої індукції, яку я провів так далеко, що анітрохи не можу сумніватися в законі, що керує утворенням цих членів… І здається неможливим, щоб закон, що, як було встановлено, виконується, наприклад, для 20 членів, не можна було б спостерігати і для наступних».

Однак, на відміну від дедукції, індукція може призвести до правил. і неправил. результатів. Тому виникла необхідність у на­уково обґрунтов. методі, що дозволив би робити заг. висновки на основі декількох часткових. Гол. заслуга у розробленні цього методу належить франц. математикам Б. Паскалю та Р. Декарту, а також швейцар. математику Я. Бернуллі.

Відповідно до зазначеного вище принципу матем. індукції певні твердження є правильними не для всіх натуральних n, а лише починаючи з якогось натурал. числа p. Такі твердження інколи можна довести, застосовуючи дещо ін. варіант М. і. м., а саме: твердження А(n) є правильним для всіх натурал. n≥p, якщо: воно є правильним при n=p (а не при n=1, як це було вище); з правильності цього твердження при n=k, k≥p (а не k≥1) випливає, що воно є правильним і при n=k+1. Обидва формулювання еквівалентні у тому розумінні, що будь-яка теорема, яку можна довести за допомогою М. і. м. в одній формі, може бути доведена за допомогою другої його форми.

Часто також трапляється, що А(1) і А(n+1) доводять аналогіч. міркуваннями. У таких випадках зручно користуватися такою еквівалент. формою принципу матем. індукції: якщо для будь-якого n із припущення, що A(x) є правильним для довільного натурального x < n, випливає правильність А(х) при х=n, то А(х) справджується для будь-якого натурал. х. У такій формі принцип матем. індукції може бути застосований для доведення тверджень А(х), в яких параметр х перебігає ту чи ін. множину, цілком упорядковану за деяким трансфініт. типом (трансфінітна індукція).

Інколи для доведення певного твердження А(n), що залежить від натурал. параметра n, індукцією по n потрібно одночасно з А(n) доводити індукцією по n низку ін. тверджень, без яких не можна реалізувати індукцію для А(n). У таких випадках маємо справу із сумісною матем. індукцією. Велика кількість понять, що визначають такою індукцією, призводить до необхідності застосування аксіоматич. методу в індуктив. визначенні та доведенні. Це є наоч. прикладом необхідності аксіоматич. методу для розв’язання конкрет. матем. задач, а не лише питань, що стосуються основ математики.

Завантажити статтю