Морфізм

МОРФІ́ЗМ (від морфо...) – загальноматематичне поняття, що неформально означає відповідність (відображення) між двома математичними об’єктами, яке зберігає їхню структуру. Точне означення залежить від того, який розділ математики (точніше, яку категорію) розглядають. У множин теорії М. – довіл. відображення між множинами, а в категорії частково впорядкованих множин – монотонні відображення. М. алгебрич. систем (категорії груп, кілець, модулів, алгебр) – гомоморфізми. М. топологіч. просторів – неперервні відображення між просторами, а диференційов. многовидів – гладкі відображення. М. вектор. просторів – лінійні відображення. У категорії малих категорій М. – функтори між категоріями. М. є базовим поняттям категорій теорії. Кожна категорія складається з елементів двох класів – об’єктів і М., що самі по собі не ви­значаються. Для кож­ного М. має бути визначений вхідний об’єкт (source) a та вихідний об’єкт (tar­get) b, при цьому використовують позначення f : a → b. Тому в теорії категорій М. також називають стрілкою. У класі М. довіл. категорії заданий частковий за­­кон множення: для до­вільних f : a → b та g : b → c існує М. gоf : a → c. Виконується закон асоціативності та для кож­ного об’єкта a існує тотожний М. id_a : a → a. Об’єктами категорії не обов’яз­ково є множини, а М. між об’єк­тами не обов’язково є відображеннями. Проте основна термінологія, пов’язана з М., та інтуїція роботи з ними походить від конкрет. категорій, в яких об’єк­тами є множини з додатк. структурою, М. є структурозберігаючі відображення між об’єктами, а операцією множення М. є композиція відображень. Напр., у категорії груп об’єктами є групи, а М. є гомоморфізми між групами. Залежно від властивостей М. відносно операції множення виділяють такі класи. М. f : a → b називають ізоморфізмом, якщо існує такий М. g : b → a, що gоf = id_a і fоg = id_b. М. f : a → a, в якого вхід. і вихід. об’єкти збігаються, називають ендоморфізмом об’єк­та a. Множина ендоморфізмів об’єкта a утворює моноїд з одинич. елементом id_a. М., що є одночасно ендоморфізмом та ізоморфізмом, називають автоморфізмом. У довіл. категорії автоморфізми об’єкта утворюють групу, що називають групою авто­мор­фізмів цього об’єкта. М. f : a → b називають мономорфізмом, якщо для довіл. М. g₁,g₂ : c → a з рівності fоg₁ = fоg₂ випливає g₁ = g₂. М. f : a → b називають епі­морфізмом, якщо для довіл. М. g₁,g₂ : b → c з рівності g₁оf = g₂оf випливає g₁ = g₂. М., що є одночасно мономорфізмом і епіморфізмом, називають біморфізмом. Кожний ізоморфізм є біморфізмом, але не навпаки.

Літ.: B. Mitchell. Theory of categories // Pure and Applied Mathematics. 1965. Vol. 17; Маклейн С. Категории для работающего математика / Пер. с англ. Москва, 2004; S. Awodey. Category Theo­ry. New York; Oxford, 2006.

Є. В. Бондаренко