Наближень теорія

НАБЛИ́ЖЕНЬ ТЕО́РІЯ — галузь математичного аналізу. Виникла як результат внутр. роз­витку матем. науки та її практ. за­стосува­н­ня. У термінах поня­т­тя функції від­ображається одна з фундам. ідей — на­ближе­н­ня (або заміна) склад. обʼєктів більш простими й зручними в користуван­ні. Ідеї на­ближе­н­ня існували в математиці від­давна, але формува­н­ня осн. понять Н. т. почалося від серед. 19 ст. Так, у 1850-х рр. ві­домий рос. математик П. Чебишов увів поня­т­тя найкращого на­ближе­н­ня неперервної на від­різку функ­ції за допомогою алгебрич. по­ліномів за­даного степеня в рівномірній метриці. Крім на­ближе­н­ня функцій многочленами, П. Чебишов роз­глядав найкращі набли­жен­ня рац. дробами, на­ближе­н­ня інтерполяц. многочленами, а також квадратурні формули. Ін. напрям у теорії на­ближе­н­ня функцій (Т. н. ф.) веде свій початок від теореми нім. математика К. Вейєр­штрас­са (1885), згідно з якою кожну неперервну на від­різку функцію можна як завгодно точно на­близити поліномами. Від поч. 20 ст. проводять системат. дослідж., по­вʼязані зі швидкістю спа­да­н­ня послідовності найкращих на­ближень функцій. У перших роботах бельгій. математика Ш.-Ж. Валле-Пус­сена та франц. вченого А. Лебеґа було виявлено, що швидкість спа­­да­н­ня величини найкращого на­ближе­н­ня повʼязана з гладкіс. вла­стивостями функції, і тому природньо по­стало пита­н­ня про ви­вче­н­ня цієї залежності. Знач. вплив на подальший роз­виток Т. н. ф. мали прямі й обернені теореми, одержані 1911–12 С. Бернштейном і амер. математиком Д. Джексоном. Так, прямі теореми Т. н. ф. встановлюють звʼязок оцінки похибки на­ближе­н­ня функ­цій із її гладкіс. характеристиками: наявністю похідних певного порядку, модулем неперервності чи модулем гладкості самої функції чи деякої її похідної. Зі свого боку обернені теореми Т. н. ф. характеризують диференціал.-різнице­ві властивості функцій, що базуються на швидкості спа­да­н­ня до нуля її найкращих (чи якихось ін.) на­ближень. У заг. по­становці задачі Т. н. ф. можна виділити такі осн. частини: вибір множини A, до якої належать на­ближаючі агрегати; вибір міри похибки на­ближе­н­ня; вибір методу на­ближе­н­ня (тобто правила, згідно з яким кожній функції ставиться у від­повід­ність деякий елемент із множини A); оцінка похибки на­ближе­н­ня. Класич. апара­том на­ближе­н­ня функцій є поліно­ми (тригонометр. у періодич. випадку й алгебричні в неперіодич.). У низці практ. задач ефективнішим є викори­ста­н­ня сплайнів, а в деяких випадках, зокрема при на­­ближен­ні в необмежених областях, зручним апаратом є рац. дро­би. Для на­ближе­н­ня неперіодич. функцій, за­даних на всій дійс. осі, використовують цілі функції екс­поненціал. типу. При виборі міри похибки на­ближе­н­ня враховують належність функцій до функціонал. просторів із від­повід. метрикою. Роз­глядають рівномірні (або чебишов.), середньо­степеневі на­бли­же­н­ня (зокрема, на­ближе­н­ня в середньому і середньоквадратичне на­ближе­н­ня), інтерполяцію. Методи Н. т. поділяють на лінійні та нелінійні. Особливістю ліній. апро­ксимації є те, що на­ближе­н­ня здій­снюється за допомогою елементів із за­даного ліній. під­простору скінчен­ної роз­мірності. Це — на­ближе­н­ня сумами Фурʼє, ліній. ме­то­дами під­сумовува­н­ня рядів Фурʼє (методи Фейєра, Рісса, Берн­штей­на, Рогозинського, Валле-Пус­сена та ін.). При дослідж. питань оптимал. вибору від­повід. ліній. під­простору, виникають задачі про поперечники (колмогорів., ліній., орто­проекц., тригонометр., берн­штейнів., гельфандів. та ін.). Роз­виток науки й техніки спричинив активне ви­вче­н­ня методів неліній. апроксимації, що сприяли під­­вищен­ню ефективності обчислень у практ. задачах інженерії, біо­логії, медицини, а також при кодуван­ні й пере­дачі інформації та статист. роз­рахунках. Сюди нале­жать М-член­ні (роз­ріджені) та білінійні на­ближе­н­ня, гріді алгоритми та ін. Щодо Т. н. ф. комплекс. змін­ної, то вона тісно повʼязана з ін. роз­ділами комплекс. аналізу, зо­крема з теорією конформ. від­о­бражень, інтеграл. пред­ставлен­нями, теорією потенціалу. Її осн. метою є ви­вче­н­ня питань апроксимації функцій комплекс. змін­ної ана­літ. функціями зі спец. класів. З роз­витком функціонального ана­лізу виникали все більш заг. по­становки задач Н. т., зокрема щодо на­ближе­н­ня елементів довіл. метр. простору Х. При цьому виділяють три осн. типи задач: найкраще на­­ближе­н­ня елемента x∈X фіксованою множиною A⊆X; найкраще на­­ближе­н­ня за­даної множини N⊆X фіксованою множиною A⊆X; найкраще на­ближе­н­ня за­даної множини N⊆X сукупністю апроксимуючих під­множин M⊆X. Серед фун­даторів Т. н. ф. в Україні — Н. Ахієзер, М. Кравчук, М. Лаврентьєв, С. Нікольський, Є. Ремез, В. Дзядик, М. Корнійчук, О. Степанець.

Завантажити статтю