Кінематика

КІНЕМА́ТИКА (від грец.  — рухатись)

у фізиці  — розділ механіки, що вивчає способи опису руху матеріальних тіл без урахування їхньої маси, діючих на них сил і причин виникнення руху. Окрім класич., або ньютонів. К., виокремлюють також релятивістську, яка вивчає способи опису рухів зі швидкостями, близькими до швидкості світла (див. Відносності теорія). Рух об’єктів мікросвіту (атомів, атом. ядер, елементар. частинок) досліджують методами квантової механіки. У класич. К. просторові (довжини відрізків) і часові (проміжки часу) характеристики руху вважаються абсолютними, тобто незалеж. від вибору системи відліку. В релятивіст. К. довжини відрізків і проміжки часу між двома подіями можуть змінюватися при переході від однієї інерціал. системи відліку до іншої. Відносною стає також одночасність. Класична К. є гранич. випадком релятивіст. К. Вихідні поняття К. — поняття простору та часу. У релятивіст. механіці замість окремих понять простір і час вводять поняття простору-часу, в якому інваріант відносно перетворень Лоренца — величина інтервалу. Простір і час є фіз. об’єктами як і будь-які ін. матеріал. тіла, але набагато важливішими й істотнішими. Досліджуючи закони руху матеріал. тіл, вивчають властивості простору-часу. Залежно від властивостей досліджув. матеріал. тіла, що рухається, розрізняють К.: матеріал. точки (матеріал. тіло, розмірами якого можна знехтувати порівняно з характер. відстанями між тілами), абсолютно твердого тіла (тіло, відстань між двома будь-якими точками якого не змінюється, тобто воно не деформується), середовища, що деформується (пружно або пластично), та рідин і газів. Осн. задачі К.: визначення положення матеріал. тіла, що рухається, у будь-який момент часу (закону руху) та знаходження кінемат. рівнянь руху — швидкості та прискорення з визначеними початк. умовами. Крім того, К. вивчає складні (складені) рухи матеріал. точки або абсолютно твердого тіла, тобто рухи, що здійснюються відносно до декількох систем відліку, які взаємно переміщуються. Залежно від того, чи будуть функції координат, швидкості та прискорення задані аналітично, чисельно (таблицями) або графічно, для вирішення задач К. застосовують аналіт., чисел. або графічні методи. Матем. опис мех. руху в К. здійснюють за допомогою методів геометрії, алгебри, диференціал. та інтеграл. числення, варіац. числення, диференціал. геометрії тощо.

Тривалий час поняття про К. ґрунтувалися на працях давньогрец. мислителя Аристотеля (384–322 до н. е.), в яких стверджувалося, що швидкість падіння пропорційна вазі тіла, а рух при відсутності сил неможливий. Наприкінці 16 ст. італ. учений Ґ. Ґалілей (1564–1642), вивчаючи вільне падіння (знамениті досліди на Пізан. вежі) й інерцію матеріал. тіл, довів неправильність ідей Аристотеля. Він же ввів поняття нерівномір. руху та прискорення матеріал. точки, сформулював закон інерції (принцип відносності), який стосується властивостей інерціал. систем відліку. Італ. митець і вчений Леонардо да Вінчі (1452–1519) вивчав траєкторію тіл, кинутих під кутом до горизонту. Нім. астроном Й. Кеплер (1571–1630) відкрив 3 закони руху планет відносно Сонця. Поміт. внесок у розвиток К. зробили франц. філософ, математик, фізик, фізіолог Р. Декарт (1596–1650), який дослідив питання про складання довіл. числа рухів матеріал. точки, та нідерланд. вчений Х.-Х. Ґюйґенс (1596–1650), який розробив теорію коливань фіз. маятника. Франц. фахівець у галузі механіки та математик П. Варіньйон (1654–1722), виступаючи перед Франц. АН 20 січня 1700, вперше використав поняття швидкості та прискорення в диференціал. вигляді. Подальшим досягненням у К. слід вважати роботи швейцар. і рос. математика, фахівця у галузі механіки та фізика Л. Ейлера (1707–83), який розробив К. абсолютно твердого тіла та сформулював рівняння, що описують рух тіла навколо нерухомої точки, поклавши початок, зокрема, теорії гіроскопів. У 18 ст. франц. фізик, математик і хімік А.-М. Ампер (1775–1836) першим використав варіац. числення в К. Після створення спец. теорії відносності 1905 А. Айнштайном К. увійшла у новий етап розвитку в рамках релятивіст. механіки.

Донині початк. зміст механіки — вчення про рух матеріал. точок і абсолютно твердих тіл з швидкостями, набагато меншими за швидкість світла, — значно розширився. Серед ін. осн. понять К.: ступінь вільності абсолютно твердого тіла або системи матеріал. точок (кількість незалеж. параметрів — різних фіз. характеристик, зокрема координат, швидкостей, кутів, що однозначно визначають стан і положення абсолютно твердого тіла або системи матеріал. точок); мех. рух. (зміна взаєм. положення матеріал. точки, матеріал. тіла або його частин у просторі відносно ін. тіл протягом часу: напр., рух небес. тіл, рух літал. апаратів, рух машин і механізмів різного призначення, деформація елементів конструкцій і споруд, рух рідин і газів, коливал. рух матеріал. тіл, зокрема й коливання земної кори та водних мас під впливом Місяця тощо) — прямоліній., криволіній., коловий, поступал., рівноприскорений (рівносповільнений), нерівноприскорений, плоский тощо; кінемат. характеристики матеріал. точки — траєкторія, швидкість та прискорення; тіло відліку (тіло відносно якого розглядається рух; мех. рух відносний — рух одного і того ж тіла відносно різних тіл виявляється різним); система відліку (утворюється тілом відліку або системою нерухомих один відносно ін. тіл відліку, системою координат, що пов’язана з тілом відліку, та синхронізов. між собою годинниками, які можуть бути розташ. в будь-якій точці простору, пов’язаній із системою відліку) — рухома та нерухома, інерціал. та неінерціальна; система координат (спосіб визначення положення матеріал. точки за допомогою чисел або ін. символів; введення відповід. системи координат означає введення системи домовленостей про спосіб надання «адреси» кожній точці системи відліку; кожна точка системи відліку має свою, відмінну від інших «адресу», а кожній «адресі» відповідає лише одна точка системи відліку; система координат є матем. абстракцією, а систему відліку утворюють реал. тіла).

К. матеріал. точки. Існують вектор., координат. і природ. (за допомогою параметрів траєкторії) способи опису руху матеріал. точки. При вектор. способі положення матеріал. точки в про-сторі відносно деякої заздалегідь фіксов. точки — початку координат задають радіус-вектором . При русі матеріал. точки з положення 1 в положення 2 (рис. 1) її радіус-вектор змінюється в заг. вигляді як за модулем, так і за напрямком, тобто радіус-вектор залежить від часу t.
Геом. місце кінців радіус-вектора, що описує положення матеріал. точки у просторі, називають траєкторією (фактично, це неперервна лінія, яку описує матеріал. точка при своєму русі у просторі). Рівняння траєкторії, напр., для плоского руху має вигляд y(x). Вектор переміщення характеризує переміщення радіус-вектора за час ∆t. Відношення /∆t називають серед. вектором швидкості за час ∆t. Вектор збігається з напрямком вектора . Миттєва швидкість матеріал. точки направлена по дотичній до траєкторії у даній точці в сторону руху матеріал. точки (як і вектор ). Рух матеріал. точки характеризується також прискоренням: . Напрямок вектора збігається з напрямком вектора  — приростом вектора за час . Прямою задачею К. є знаходження швидкості та прискорення матеріал. точки в будь-який момент часу за відомою залежністю . Зворотна задача К. полягає у знаходженні і за відомою залежністю . Для однознач. вирішення цієї задачі однієї залежності недостатньо, необхідно ще знати початкові, а саме швидкість і радіус-вектор матеріал. точки в деякий момент часу . Годографом вектора називають криву, яку описує кінець цього вектора з часом, якщо його початок весь час знаходиться в одній точці. Напр., годографом радіуса-вектора є траєкторія матеріал. точки, годографом вектора швидкості — крива, дотична до якої визначає напрямок вектора прискорення в цій точці. Рух матеріал. точки по колу описують залежністю , а кінемат. характеристиками руху є миттєва кутова швидкість та миттєве кутове прискорення (рис. 2). Лінійна та кутова швидкості матеріал. точки пов’язані між собою співвідношенням , де  — радіус-вектор, що проведений від центра кривини траєкторії до точки траєкторії, де розташ. у даний момент часу матеріал. точка.

Координат. спосіб ґрунтується на тому, що матеріал. точку жорстко прив’язують до відповід. системи координат — декартової, циліндричної, сферичної тощо. Вибір тієї чи ін. системи координат визначається характером або симетрією задачі, а також намаганням спростити розв’язок задачі. При декарт. системі координат положення матеріал. точки у просторі задається координатами . Знаючи закон руху матеріал. точки ; ; , можна знайти проекції вектора швидкості на осі координат: ; ; . Модуль вектора швидкості

Напрямок вектора задається напрямляючими косинусами за формулами ; ; , де , ,  — кути між вектором та осями , , відповідно. Скалярна середня швидкість матеріал. точки за час

де  — увесь пройдений матеріал. точкою шлях;  — час, за який матеріал. точка проходить шлях ;  — довжина ділянки шляху, яку матеріал. точка проходить за час . Шлях, пройдений матеріал. точкою, швидкість якої змінюється із часом за законом , за проміжок часу від до , дорівнює

Проекції прискорення матеріал. точки на осі , , ; ; . Опис руху за допомогою параметрів траєкторії (природ. спосіб) застосовують тоді, коли траєкторія матеріал. точки відома. Положення матеріал. точки визначають дуговою координатою  — відстанню вздовж траєкторії від обраного початку відліку O (рис. 3).
При цьому довільно обирають додат. напрямок відліку координати . Закон руху матеріал. точки заданий залежністю . Одинич. вектор , дотичний до траєкторії в довіл. точці A, збігається з напрямом вектора швидкості . Вектор  — змінний вектор, він залежить від координати . Тоді , де  — проекція вектора на напрямок вектора . Прискорення матеріал. точки

де радіус кривини траєкторії в даній точці: , причому при виконується умова ;  — одинич. вектор нормалі до траєкторії, направлений до центра кривини: . Модуль повного прискорення МТ

де ,  — нормал. та тангенціал. компоненти прискорення.

Рух абсолютно твердого тіла. Найпростішими є поступал. і обертал. рухи абсолютно твердого тіла навколо нерухомої (закріпленої) осі. При поступал. русі всі точки абсолютно твердого тіла рухаються однаково та для завдання його руху достатньо задати рух будь-якої однієї точки. Отже, поступал. рух абсолютно твердого тіла задається так само як і рух матеріал. точки. При обертал. русі навколо нерухомої осі тіло має одну ступінь вільності, його положення визначається кутом повороту і закон цього руху задається рівнянням . Кінемат. характеристики руху — кутові швидкість і прискорення тіла. Складнішим випадком обертал. руху є рух абсолютно твердого тіла, коли воно закріплене в одній точці (тіло має одну нерухому точку). Прикладом такого руху може служити рух гіроскопа. У цьому випадку тіло має 3 ступеня вільності. Рух тіла біля нерухомої точки складається із елементар. поворотів навколо миттєвих осей обертання, що проходять через цю точку. Осн. кінемат. характеристики руху: вектор миттєвої кутової швидкості, спрямов. по миттєвій осі обертання, і вектор миттєвого кутового прискорення, спрямов. паралельно дотичній до кривої, описуваної кінцем вектора . У заг. випадку вільне абсолютне тверде тіло має 6 ступенів вільності, а його рух описується 6-ма рівняннями у вигляді перших похідних по часу від координат , , полюса будь якої точки С тіла (зазвичай, центра мас тіла) та від кутів Ейлера, що визначають положення тіла відносно до осей, які переміщуються поступально разом з точкою С. Рух вільного абсолютно твердого тіла складається з поступал. руху тіла разом з полюсом С і елементар. поворотів навколо миттєвих осей обертання, що проходять через цей полюс. Кінемат. характеристиками руху служать поступал. швидкість і поступал. прискорення, рівні швидкості і прискоренню полюса, а також миттєва кутова швидкість і миттєве кутове прискорення руху тіла навколо полюса.

Складним, або складовим рухом матеріал. точки та абсолютно твердого тіла називається рух, що відбувається одночасно відносно до двох і більше систем відліку, одна з яких (К — СВ) вважається нерухомою, а інша (К′ — СВ) рухається відносно першої. Рух, що здійснюється при цьому матеріал. точкою або твердим тілом відносно до К′ — СВ, називається відносним. Рух самої К′ — СВ і всіх пов’язаних з нею матеріал. точок і тіл відносно до К — СВ є для рухомої точки (тіла) переносним. Рух матеріал. точки або твердого тіла відносно до К — СВ називається абсолютним. Абсолютна швидкість матеріал. точки, що здійснює склад. рух, дорівнює геом. сумі відносної і переносної швидкостей: . Відповідно: . Абсолютне прискорення в такому простому вигляді не подається: у К′ — СВ, що обертається, при переході з однієї точки системи координат в іншу змінюється переносна швидкість матеріал. точки. Тому, якщо навіть при русі матеріал. точки не змінюється, вона повинна зазнавати прискорення, відмінного від переносного. Ось чому для К′ — СВ, що обертається, абсолютне прискорення дорівнює геом. сумі трьох прискорень: відносного , переносного і прискорення, яке називається прискоренням Коріоліса . Останнє зумовлене рухом матеріал. точки відносно неінерціальної К′ — СВ, що обертається.

При склад. русі абсолютно твердого тіла, коли його складові рухи є поступал., абсолют. рух тіла також буде поступал. зі швидкістю . Якщо складові руху абсолютно твердого тіла обертальні навколо двох миттєвих осей обертання, які перетинаються або паралельні, але , то результуючий рух буде також обертальним з кутовою швидкістю . Якщо складовими рухами абсолютно твердого тіла є обертання навколо деякої осі та поступал. рух у напрямку, паралельному цій осі, то результуючим рухом тіла є гвинт. рух.

К. рідини  — розділ гідродинаміки, який вивчає лише геом. властивості руху рідини, незалежно від того, розглядається в’язка або нев’язка рідина. К. рідини базується на властивості неперервності течії рідини, з якої випливає неперервність зміни кінемат. параметрів (швидкостей, прискорень). Тобто швидкість рідини передбачається неперерв. функцією від координат, а отже такою, яку можна диференціювати. При дослідж. К. рідини її об’єм представляють складеним із великої кількості частинок рідини. Існують 2 осн. методи дослідж. К. рідини: метод Лаґранжа і метод Ейлера. Найрозповсюдженішим є метод Ейлера, за яким розглядається поле швидкостей у різних точках течії.

Нині результати дослідж. в К. використовують як допоміжні при розв’язуванні задач динаміки. К. стала основою для створення багатьох приклад. напрямів: гідромеханіки, механіки деформов. твердого тіла, теорії коливань, гіроскопії, теорії автомат. керування, теорії польоту, навігації та ін. Крім того, методи К. мають важливе значення при розрахунках передач склад. (складених) рухів у різноманіт. механізмах і машинах, при розрахунках у небес. механіці тощо. Розділ геоморфології — К. рельєфу — вивчає зміну взаєм. положення точок земної поверхні в часі та русі, але незалежно від сил. Поширюються методи прямої К. та інверс. К., які пов’язані з «плануванням руху» в розробках робототехніки, трьохвимір. графіки, анімац. комп’ютер. ігор тощо.

Поміт. внесок у розвиток К., як і механіки в цілому, зробили укр. вчені Д. Ґраве, О. Динник, Г. Савін, С. Тимошенко, А. Коваленко, М. Кільчевський, Г. Писаренко. Питаннями К. займаються на кафедрах низки ВНЗів України та в інститутах НАНУ: Механіки, Проблем міцності, Гідромеханіки (усі — Київ), Фізико-механічному, Приклад. проблем механіки і математики (обидва — Львів), Приклад. математики і механіки (Донецьк), Тех. механіки (Дніпропетровськ). Серед укр. наук. журналів, в яких друкують праці з різних питань, пов’язаних з К., — «Кинематика и физика небесных тел», «Технічна механіка», «Прикладная механика», «Механика твердого тела».

Завантажити статтю