Марковський процес

Визначення і загальна характеристика

МА́РКОВСЬКИЙ ПРОЦЕ́С  — процес без післядії, тобто випадковий процес, еволюція якого після будь-якого заданого моменту часу не залежить від попередньої еволюції до цього моменту, за умови, що значення процесу в цей момент є відомим («майбутнє» та «минуле» процесу не залежать одне від одного при фіксованому «сучасному»). Властивість відсутності післядії називають марковською. Вперше її сформулював академік С.-Пе­тербур. АН А. Марков. Пізніше осн. засади теорії М. п. з неперерв. часом були розроблені академік АН СРСР А. Колмогоровим. Простір, в якому приймає значення М. п., називають фазовим простором. Як правило, М. п. задано в неперерв. часі він може приймати значення в довіл. вимір. фазовому просторі, на відміну від Маркова ланцюга, щодо якого припускають, що час та/або фазовий простір є дискретним (скінченним, або зліченним). До М. п. відносять, напр., процеси з незалеж. приростами, зокрема вінерів. і пуассонів. процеси, а також дифузійні процеси з коефіцієнтами зносу та дифузії, що залежать лише від поточ. значення процесу. М. п. характеризуються перехід. функціями P (s, x, t, B), де 0 ≤ s < t — два послідовні моменти часу, B — вимірна множина у фазовому просторі, x — точка у фазовому просторі. Перехідна ймовірність — це ймовірність того, що у момент t процес потрапив у множину B за умови, що в момент s він стартував з точки x. Ці перехідні ймовірності задовольняють рівняння Колмогорова–Чепмена, які в заг. випадку мають вигляд:

P(s, x, t, B) = ∫S P(u, y, t, B)P(s, x, u, dy), де s ≤ x, ≤ t, S — нормований фазовий простір. Також за додатк. умов гладкості та регулярності, щільності перехід. імовірностей задовольняють прямі й обернені рівняння Колмогорова в частинних похідних другого порядку. Найбільш повно вивчені однорідні М. п., у яких перехідні ймовірності залежать лише від різниці t — s і не залежать від початк. точки s, тобто мають вигляд P (t, x, B), і це ймовірність того, що в момент t процес потрапив у множину B за умови, що в момент 0 він стартував з точки x. За перехід. ймовірностями однорід. М. п. будують напівгрупи за формулою: Ttf(x) = ∫S f(x)P(t, x, by), де f — обмежена вимірна дійс­нозначна функція, задана на фазовому просторі. Водночас за напівгрупою Tt визначають її генератор, або твірний оператор, за формулою на тих функціях, де вказана границя, існує за нормою фазового простору. Для дифузій. М. п. твір. оператор на достатньо гладких функціях є диференціал. оператором другого порядку і називається характеристичним. Неоднорідні М. п. зводять до однорідних шляхом спец. розширення фазового простору. М. п. називають строго марковським, якщо марков. властивість відсутності післядії має місце і тоді, коли фіксований момент часу заміняється на марковський, тобто випадковий, але неупереджувал. момент часу. М. п. називають таким, що не обривається, якщо він в усі моменти часу перебуває у фазовому просторі. Але існують М. п. зі скінченними моментами обриву, коли процес з фазового простору переходить у виключно особливий стан, з якого вже неможливо повернутися у фазовий простір, напр., система руйнується, популяція вироджується або прилад виходить із ладу. Знач. внесок у теорію М. п. зробили укр. математики І. Гіхман, А. Скороход, В. Королюк, І. Коваленко, М. Портенко, В. Шуренков, О. Кулик.

Завантажити статтю