Марковський процес

МА́РКОВСЬКИЙ ПРОЦЕ́С — процес без післядії, тобто випадковий процес, еволюція якого після будь-якого за­даного моменту часу не залежить від попередньої еволюції до цього моменту, за умови, що значе­н­ня процесу в цей момент є ві­домим («майбутнє» та «минуле» процесу не залежать одне від одного при фіксованому «сучасному»). Властивість від­сутності післядії називають марковською. Вперше її сформулював академік С.-Пе­тербур. АН А. Марков. Пізніше осн. засади теорії М. п. з неперерв. часом були роз­роблені академік АН СРСР А. Колмогоровим. Про­стір, в якому при­ймає значе­н­ня М. п., називають фазовим простором. Як правило, М. п. за­дано в неперерв. часі він може при­ймати значе­н­ня в довіл. вимір. фазовому просторі, на від­міну від Маркова ланцюга, щодо якого припускають, що час та/або фазовий про­стір є дис­кретним (скінчен­ним, або злічен­ним). До М. п. від­носять, напр., процеси з незалеж. приростами, зокрема вінерів. і пуас­сонів. процеси, а також дифузійні процеси з коефіцієнтами зносу та дифузії, що залежать лише від поточ. значе­н­ня процесу. М. п. характеризуються пере­хід. функціями P (s, x, t, B), де 0 ≤ s < t — два послідовні моменти часу, B — вимірна множина у фазовому просторі, x — точка у фазовому просторі. Пере­хідна ймовірність — це ймовірність того, що у момент t процес потрапив у множину B за умови, що в момент s він стартував з точки x. Ці пере­хідні ймовірності задовольняють рівня­н­ня Колмогорова–Чепмена, які в заг. випадку мають ви­гляд:

P(s, x, t, B) = ∫S P(u, y, t, B)P(s, x, u, dy), де s ≤ x, ≤ t, S — нормований фазовий про­стір. Також за додатк. умов гладкості та регулярності, щільності пере­хід. імовірностей задовольняють прямі й обернені рівня­н­ня Колмогорова в частин­них похідних другого порядку. Найбільш повно ви­вчені однорідні М. п., у яких пере­хідні ймовірності залежать лише від різниці t — s і не залежать від початк. точки s, тобто мають ви­гляд P (t, x, B), і це ймовірність того, що в момент t процес потрапив у множину B за умови, що в момент 0 він стартував з точки x. За пере­хід. ймовірностями однорід. М. п. будують напів­групи за формулою: Ttf(x) = ∫S f(x)P(t, x, by), де f — обмежена вимірна дійс­но­значна функція, за­дана на фазовому просторі. Водночас за напів­групою Tt ви­значають її генератор, або твірний оператор, за формулою на тих функціях, де вказана границя, існує за нормою фазового простору. Для дифузій. М. п. твір. оператор на до­статньо гладких функціях є диференціал. оператором другого порядку і називається характеристичним. Неоднорідні М. п. зводять до однорідних шляхом спец. роз­шире­н­ня фазового простору. М. п. називають строго марковським, якщо марков. властивість від­сутності післядії має місце і тоді, коли фіксований момент часу заміняється на марковський, тобто випадковий, але не­упереджувал. момент часу. М. п. називають таким, що не обривається, якщо він в усі моменти часу пере­буває у фазовому просторі. Але існують М. п. зі скінчен­ними моментами обриву, коли процес з фазового простору пере­ходить у виключно особливий стан, з якого вже неможливо повернутися у фазовий про­стір, напр., система руйнується, популяція вироджується або прилад виходить із ладу. Знач. внесок у теорію М. п. зробили укр. математики І. Гіхман, А. Скороход, В. Королюк, І. Коваленко, М. Портенко, В. Шуренков, О. Кулик.

Завантажити статтю