Математичний аналіз

Визначення і загальна характеристика

МАТЕМАТИ́ЧНИЙ АНА́ЛІЗ — широка галузь математики, що повʼязана з поня­т­тями «функція», «похідна» й «інтеграл». Нині вона охоплює велику кількість вужчих галузей — диференціал. (звичайні та з частин. похідними; див. диференціальних рівнянь теорія) й інтегральні рівня­н­ня, функції дійс. і комплекс. змін­них, диференціальну геометрію, варіац. числе­н­ня, функціональний аналіз та ін. Ви­вчає також обʼєкти, які є результатом за­стосува­н­ня необмеженої кількості арифмет. операцій до елементів різноманіт. просторів (ряди, нескінчен­ні добутки). Методи М. а. за­стосовують і роз­вивають сучасні чисел теорія та ймовірностей теорія. М. а. як наука ґрунтується на теорії границь, а границя змін. величини та методи її від­шука­н­ня є гол. інструментом для ви­значе­н­ня таких категорій, як сума ряду, нескінчен. добуток, дійсне число, похідна, інтеграл тощо. Оскільки термін «границя» асоціюється з поня­т­тям «нескінчен­но мала величина», то можна вважати, що осн. методом у М. а. є метод нескінчен­но малих. У класич. М. а. осн. обʼєктами є перш за все функції. У природі та техніці всюди зу­стрічаються рухи, процеси, що описують функціями, так само як і закони явищ природи, що свідчить про важливість М. а. як засобу ви­вче­н­ня функцій. Однак термін «М. а.» пере­важно вживають лише для основ М. а., що обʼ­єд­нують теорії дійс. чисел, границь, рядів, диференціал. й інтеграл. числе­н­ня та їхнє за­стосува­н­ня. Якщо зміст М. а. можна вважати усталеним, то в по­глядах на його структуру з часом від­буваються сут­тєві зміни. Напр., якщо у класич. курсі 1920-х рр. франц. математика Е. Ґурса весь аналіз по­дано на єдиному рівні абстракції, то нині значну увагу приділяють виявлен­ню в ньому різних «поверхів» абстракції, тобто різних структур, що характеризують матем.-логічні основи вихід. побудов. Зверне­н­ня до основ призводить до ясності суті справи, звільняючи математика від врахува­н­ня конкрет. індивідуальності обʼєкта, а ро­зумі­н­ня суті справи до­зволяє роз­глядати нові обʼєкти з ін. індивідуальністю, але з тією ж глибин. побудовою. Так, ві­домим було доведе­н­ня франц. математика кін. 19 — серед. 20 ст. Е. Пікара існува­н­ня та єдиності роз­вʼяза­н­ня диференціал. рівня­н­ня, що базується на методі послідов. на­ближень певними функціями, а згодом укр. математик С. Банах сформулював метод нерухомої точки, яким довів ту саму теорему. У доведен­ні Е. Пікара він помітив наявність стискаючого оператора у деякому метрич. просторі. У результаті метод нерухомої точки не тільки зробив більш про­зорим, «геометричним» доведе­н­ня Е. Пікара, але й дав змогу, роз­виваючи закладену в ньому ідею, довести низку теорем (і не лише про функції та диференціал. рівня­н­ня). Те саме стосується геометрії гільберт. просторів, числе­н­ня диференці­йов. функціоналів та ін. На сучас. етапі роз­витку математики її абстрактність різко зро­стає. Вона оперує дуже склад. абстракт. поня­т­тями (багатовимірні простори, функціонали, структури), що також від­ображають дійсність, хоч і не без­посередньо. Деякі з них мають вже й прямі за­стосува­н­ня. Напр., у теорії від­носності широко використовують чотиривимір. про­стір, у ядер. фізиці — важливі пита­н­ня теорії груп. Гол. особливість матем. абстракцій полягає в тому, що в них від­дзеркалюються лише кількісні від­ноше­н­ня та простор. форми матеріал. світу і їм байдуже до природи предметів та реал. процесів. Від­повід­но до сучас. по­глядів на будову математики, М. а. можна ви­значати як високоорганізов. систему структур різних ступенів абстракції, тісно повʼязаних між собою.

Літ.: Валле-Пус­сен Ш. Ж. Курс анализа бесконечно малых. Мос­ква; Ленин­град, 1933. Т. 1–2; Шилов Г. Е. Математический анализ. Мос­ква, 1969; Фихтенгольц Г. М. Курс диф­ференциального и интегрального исчисления / Пер. с франц. Мос­ква, 1970. Т. 1–3; Ильин В. А., Позняк Э. Г. Основы математического анализа. Мос­ква, 1971. Ч. 1; 1980. Ч. 2; Ляшко І. І., Ємельянов В. Ф., Боярчук О. К. Математичний аналіз. К., 1992. Ч. 1–2.

В. І. Горбачук

Завантажити статтю