Наближень теорія

НАБЛИ́ЖЕНЬ ТЕО́РІЯ  — галузь математичного аналізу. Виникла як результат внутр. розвитку матем. науки та її практ. застосування. У термінах поняття функції відображається одна з фундам. ідей — наближення (або заміна) склад. об’єктів більш простими й зручними в користуванні. Ідеї наближення існували в математиці віддавна, але формування осн. понять Н. т. почалося від серед. 19 ст. Так, у 1850-х рр. відомий рос. математик П. Чебишов увів поняття найкращого наближення неперервної на відрізку функ­ції за допомогою алгебрич. по­ліномів заданого степеня в рівномірній метриці. Крім наближення функцій многочленами, П. Чебишов розглядав найкращі набли­жен­ня рац. дробами, наближення інтерполяц. многочленами, а також квадратурні формули. Ін. напрям у теорії наближення функцій (Т. н. ф.) веде свій початок від теореми нім. математика К. Вейєр­штрасса (1885), згідно з якою кожну неперервну на відрізку функцію можна як завгодно точно наблизити поліномами. Від поч. 20 ст. проводять системат. дослідж., по­в’язані зі швидкістю спадання послідовності найкращих наближень функцій. У перших роботах бельгій. математика Ш.-Ж. Валле-Пус­сена та франц. вченого А. Лебеґа було виявлено, що швидкість спа­дання величини найкращого наближення пов’язана з гладкіс. вла­стивостями функції, і тому природньо постало питання про вивчення цієї залежності. Знач. вплив на подальший розвиток Т. н. ф. мали прямі й обернені теореми, одержані 1911–12 С. Бернштейном і амер. математиком Д. Джексоном. Так, прямі теореми Т. н. ф. встановлюють зв’язок оцінки похибки наближення функ­цій із її гладкіс. характеристиками: наявністю похідних певного порядку, модулем неперервності чи модулем гладкості самої функції чи деякої її похідної. Зі свого боку обернені теореми Т. н. ф. характеризують диференціал.-різнице­ві властивості функцій, що базуються на швидкості спадання до нуля її найкращих (чи якихось ін.) наближень. У заг. постановці задачі Т. н. ф. можна виділити такі осн. частини: вибір множини A, до якої належать наближаючі агрегати; вибір міри похибки наближення; вибір методу наближення (тобто правила, згідно з яким кожній функції ставиться у відповідність деякий елемент із множини A); оцінка похибки наближення. Класич. апара­том наближення функцій є поліно­ми (тригонометр. у періодич. випадку й алгебричні в неперіодич.). У низці практ. задач ефективнішим є використання сплайнів, а в деяких випадках, зокрема при на­ближенні в необмежених областях, зручним апаратом є рац. дро­би. Для наближення неперіодич. функцій, заданих на всій дійс. осі, використовують цілі функції експоненціал. типу. При виборі міри похибки наближення враховують належність функцій до функціонал. просторів із відповід. метрикою. Розглядають рівномірні (або чебишов.), середньостепеневі на­бли­ження (зокрема, наближення в середньому і середньоквадратичне наближення), інтерполяцію. Методи Н. т. поділяють на лінійні та нелінійні. Особливістю ліній. апро­ксимації є те, що наближення здій­снюється за допомогою елементів із заданого ліній. підпростору скінченної розмірності. Це — наближення сумами Фур’є, ліній. ме­то­дами підсумовування рядів Фур’є (методи Фейєра, Рісса, Берн­штей­на, Рогозинського, Валле-Пуссена та ін.). При дослідж. питань оптимал. вибору відповід. ліній. підпростору, виникають задачі про поперечники (колмогорів., ліній., ортопроекц., тригонометр., берн­штейнів., гельфандів. та ін.). Розвиток науки й техніки спричинив активне вивчення методів неліній. апроксимації, що сприяли під­вищенню ефективності обчислень у практ. задачах інженерії, біології, медицини, а також при кодуванні й передачі інформації та статист. розрахунках. Сюди нале­жать М-членні (розріджені) та білінійні наближення, гріді алгоритми та ін. Щодо Т. н. ф. комплекс. змінної, то вона тісно пов’язана з ін. розділами комплекс. аналізу, зо­крема з теорією конформ. відо­бражень, інтеграл. представлен­нями, теорією потенціалу. Її осн. метою є вивчення питань апроксимації функцій комплекс. змінної ана­літ. функціями зі спец. класів. З розвитком функціонального ана­лізу виникали все більш заг. постановки задач Н. т., зокрема щодо наближення елементів довіл. метр. простору Х. При цьому виділяють три осн. типи задач: найкраще на­ближення елемента x∈X фіксованою множиною A⊆X; найкраще на­ближення заданої множини N⊆X фіксованою множиною A⊆X; найкраще наближення заданої множини N⊆X сукупністю апроксимуючих підмножин M⊆X. Серед фун­даторів Т. н. ф. в Україні — Н. Ахієзер, М. Кравчук, М. Лаврентьєв, С. Нікольський, Є. Ремез, В. Дзядик, М. Корнійчук, О. Степанець.

Завантажити статтю