Обернена функція

Визначення і загальна характеристика

ОБЕ́РНЕНА ФУ́НКЦІЯ О. ф. (обернене відображення) до даної функції y = f(x), що визначена на множині X і множиною значень якої є множина Y, називається така функція x = φ(y), яка визначена на множині значень заданої функції f(x) та ставить у відповідність кожному елементу з множини Y те значення з множини X, для якого f(x) = y. Відтак множина визначення функції y = f(x) є множиною значень оберненої до неї функції x = φ(y), а множина значень y = f(x) — множиною визначення О. ф. Якщо функція позначена символом f, то О. ф. найчастіше позначають f^-1. Функцію, що має обернену, називають оборотною. Дане означення також можна записати в такій формі: функцію φ:Y → X називають оберненою до функції f:X → Y, якщо виконані рівності: f(φ(y)) = y для всіх y ∈ Y; φ(f(x)) = x для всіх x ∈ X. Якщо множини X та Y є підмножинами числ. прямої (або будь-яких впорядк. множин), то умова строгої монотонності функції f є необхідною і достатньою для існування О. ф. Щоб знайти О. ф., потрібно розв’язати рівняння y = f(x) щодо x, якщо воно має більше ніж один корінь, то функції, оберненої до даної, не існує. Отже, функція f(x) має обернену на проміжку (a, b) тоді й тільки тоді, коли на цьому проміжку вона взаємно-однозначна (кожен елемент y ∈ Y є образом лише одного елемента x ∈ X). Якщо функція φ обернена до функції f, то функція f буде оберненою до функції φ, такі функції f та φ називають взаємно оберненими. Знаючи властивості функції f, можна робити висновок і про відповідні властивості О. ф. φ, що має важливе значення для одержання інформації щодо розв’язку рівняння y = f(x), який і є О. ф. Так, зокрема, якщо функція f строго монотонна й неперервна на деякому проміжку числової прямої, то її О. ф. φ також монотонна й неперервна на відповідному проміжку. Для неперервних функцій не завжди можна говорити про строгу монотонність на множині визначення, проте можна виділити проміжки, на яких вона буде строго монотонною, і на цих проміжках для неї існує О. ф. Для функції y = x² на всій області визначення (-∞; +∞) знайти обернену не можна, проте якщо розглядати цю функцію на проміжку [0, +∞), де вона зростає, то отримаємо О. ф. x = √¯y (див. Рис.). Найбільш відоми­ми та часто вживаними взаємно О. ф. є тригонометричні та обернені тригонометричні функції (sin x та arcsin x (синус — арксинус), cos x та arccos x (косинус — арккосинус), tg x та arctg x (тангенс — арктангес), ctg x та arcctg x (котангенс — арккотангенс); показник. та логарифм. функції (a^x та log_ax). Графіки взаємно О. ф. (де незалежна змінна позначена тією самою буквою x) симетричні відносно бісектриси 1-го і 3-го координатних кутів.

Завантажити статтю