Обернена функція

Визначення і загальна характеристика

ОБЕ́РНЕНА ФУ́НКЦІЯ О. ф. (обернене від­ображе­н­ня) до даної функції y = f(x), що ви­значена на множині X і множиною значень якої є множина Y, називається така функція x = φ(y), яка ви­значена на множині значень за­даної функції f(x) та ставить у від­повід­ність кожному елементу з множини Y те значе­н­ня з множини X, для якого f(x) = y. Від­так множина ви­значе­н­ня функції y = f(x) є множиною значень оберненої до неї функції x = φ(y), а множина значень y = f(x) — множиною ви­значе­н­ня О. ф. Якщо функція по­значена символом f, то О. ф. найчастіше по­значають f^-1. Функцію, що має обернену, називають оборотною. Дане означе­н­ня також можна записати в такій формі: функцію φ:Y → X називають оберненою до функції f:X → Y, якщо виконані рівності: f(φ(y)) = y для всіх y ∈ Y; φ(f(x)) = x для всіх x ∈ X. Якщо множини X та Y є під­множинами числ. прямої (або будь-яких впорядк. множин), то умова строгої монотон­ності функції f є необхідною і до­статньою для існува­н­ня О. ф. Щоб зна­йти О. ф., потрібно роз­вʼязати рівня­н­ня y = f(x) щодо x, якщо воно має більше ніж один корінь, то функції, оберненої до даної, не існує. Отже, функція f(x) має обернену на проміжку (a, b) тоді й тільки тоді, коли на цьому проміжку вона взаємно-одно­значна (кожен елемент y ∈ Y є образом лише одного елемента x ∈ X). Якщо функція φ обернена до функції f, то функція f буде оберненою до функції φ, такі функції f та φ називають взаємно оберненими. Знаючи властивості функції f, можна робити висновок і про від­повід­ні властивості О. ф. φ, що має важливе значе­н­ня для одержа­н­ня інформації щодо роз­вʼязку рівня­н­ня y = f(x), який і є О. ф. Так, зокрема, якщо функція f строго монотон­на й неперервна на деякому проміжку числової прямої, то її О. ф. φ також монотон­на й неперервна на від­повід­ному проміжку. Для неперервних функцій не завжди можна говорити про строгу монотон­ність на множині ви­значе­н­ня, проте можна виділити проміжки, на яких вона буде строго монотон­ною, і на цих проміжках для неї існує О. ф. Для функції y = x² на всій області ви­значе­н­ня (-∞; +∞) зна­йти обернену не можна, проте якщо роз­глядати цю функцію на проміжку [0, +∞), де вона зро­стає, то отримаємо О. ф. x = √¯y (див. Рис.). Найбільш ві­доми­ми та часто вживаними взаємно О. ф. є тригонометричні та обернені тригонометричні функції (sin x та arcsin x (синус — арксинус), cos x та arccos x (косинус — арк­косинус), tg x та arctg x (тангенс — арктангес), ctg x та arcctg x (котангенс — арк­котангенс); показник. та логарифм. функції (a^x та log_ax). Графіки взаємно О. ф. (де незалежна змін­на по­значена тією самою буквою x) симетричні від­носно бісектриси 1-го і 3-го координатних кутів.

Літ.: Колмогоров А. М., Фомін С. В. Елементи теорії функцій і функціонального аналізу. 1974; Дороговцев А. Я. Математичний аналіз: Під­руч. Ч. 1. 1993; Шкіль М. І. Математичний аналіз. Ч. 1. 2005 (усі — Київ).

С. Я. Янченко

Завантажити статтю