Математична статистика

МАТЕМАТИ́ЧНА СТАТИ́СТИКА — роз­діл прикладної математики, який роз­робляє методи виявле­н­ня та аналізу статистичних закономірностей на основі математичних моделей, що описують досліджувані дані. Статистичними називають закономірності, які виявляються лише при аналізі великої кількості однотип. спо­стережень і не до­зволяють перед­бачати індивідуал. особливості кожного окремого спо­стереже­н­ня. Основою теор. моделей таких закономірностей є ймовірностей теорія. Методи статист. аналізу, роз­роблені у М. с., за­стосовують у економетриці, страх. і фінанс. математиці, біо­­­­інформатиці, психометриці, роз­пі­знаван­ні образів, машин. на­вчан­ні, статист. упр. якістю продукції тощо. Під час за­стосува­н­ня ймовірніс. моделей статист. дані роз­глядають як спо­стереже­н­ня випадк. обʼєктів (подій, величин або векторів, процесів, полів, геом. фігур). При такому трактуван­ні осн. характеристикою даних є їхній роз­поділ, тобто ймовірність того, що дані набуватимуть тих чи ін. значень. У М. с. роз­поділ даних, за­звичай, вважають неві­домим, висновки про нього потрібно робити на основі спо­стережув. даних. Осн. задачами, що роз­вʼя­­зують у М. с., є оцінюва­н­ня неві­домих параметрів роз­поділу даних, пере­вірка гіпотез про роз­поділ, статист. про­гнозува­н­ня, класифікація та фільтрація. За типом ймовірніс. моделей і способами їхнього викори­ста­н­ня роз­різняють параметр., непараметр. та де­скриптивну статистику. При параметр. під­ході роз­поділ даних намагаються описати невеликою кількістю числ. параметрів так, щоб, знаючи ці параметри, можна було одно­значно ви­значити всі ймовірності, повʼяза­­ні з даними. Якщо справж. роз­поділ даних добре описується такою моде­л­лю, методи параметр. статистики до­зволяють обирати оптимал. оцінки параметрів і тести для пере­вірки гіпотез про них. Але висновки на основі параметр. моделі можуть бути цілком хибними, якщо вона не від­повід­ає даним. Класич. прикладом параметр. під­ходу є статистика ґаусс. вибірок, але у статистиці широко за­стосовують й ін. параметр. сімʼї роз­поділів. При непараметр. під­ході для опису даних намагаються обрати якомога ширшу модель, яка містила б усі можливі роз­поділи. Для характеризува­н­ня таких моделей потрібні пере­важно не числ., а функціонал. параметри. У результаті виникають задачі непараметр. оцінки функції роз­поділу, щільності, функції ре­гресії, коваріації, спектра та задачі пере­вірки гіпотез про такі функції. Методи непараметр. статистики до­зволяють будувати алгоритми для роз­вʼяза­н­ня таких задач, але ефективність цих алгоритмів нижча, ніж у параметричних. Тому для змістов. вис­новків на основі непараметр. моделей, як правило, потрібні значно більші обсяги даних, ніж при викори­стан­ні параметр. моделей. У багатьох напрямах М. с., зокрема ре­гресій., кореляцій., дис­персій. аналізі, аналізі часових рядів, можливе викори­ста­н­ня як параметр., так і непараметр. під­ходів. Методи де­скриптив. (опис.) статистики при­значені для виявле­н­ня внутр. структури та статист. особливостей даних без за­даної наперед ймовірніс. моделі. Вибір моделі може бути результатом де­скриптив. дослідже­н­ня. У де­скриптив. статистиці значну роль ві­ді­грають графічні методи аналізу, які до­зволяють досліднику використовувати свою зорову інтуїцію. До де­скриптив. аналізу належать методи багатовимір. шкалува­н­ня, роз­відниц. фактор. аналізу, кластер. аналізу. У приклад. статист. дослідж. досить часто буває, що ймовірнісна модель описує дані лише на­ближено. У таких ситуаціях доцільно використовувати для аналізу лише такі методи, які є стійкими від­носно помір. від­хилень від моделі роз­поділу. Аналізом стійкості (робастності) статист. методів і побудовою робаст. алгоритмів за­ймається робастна статистика. Інколи, крім статист. даних, дослідник має додатк. інформацію про неві­домі параметри, яка до­зволяє охарактеризувати ймовірність різних значень цих параметрів. Для врахува­н­ня такої апріор. інформації використовують методи баєс. статистики. При баєс. під­ході неві­домі параметри ймовірніс. моделі вважаються не фіксованими, а випадк. обʼєктами зі своїм влас. апріор. роз­поділом. Теор. дослідж. багатьох статист. задач значно спрощується, коли їх роз­глядають при необмеженому зро­стан­ні обсягу досліджув. даних (роз­міру вибірки, дов­­жини спо­стережув. траєкторії випадк. процесу). Такі дослідж. називають асимптотич. статистикою. Вони до­зволяють будувати статист. алгоритми, які най­ефективніше працюють при великих обсягах вибірки. Крім аналізу наяв. статист. даних, М. с. до­зволяє також роз­вʼя­­зувати задачі оптимал. вибору алгоритмів від­бору даних для дослідж. та побудови планів екс­периментів з урахува­н­ням випадковості можливих результатів. У 18–19 ст. матем. методи у статистиці використовували пере­важно для узгодже­н­ня теор. кривих з даними екс­перименту (методи абсолют. від­хилень та найменших квадратів; серб. та італ. учений Р.-Й. Бошкович, франц. учені П.-С. Лаплас і А.-М. Лежандр, нім. учений К.-Ф. Ґаусс) та у страх. математиці для оцінки ризиків і побудови таблиць смертності (англ. учений Е. Гал­лей). 1846 у «Тр. С.-Петербур. АН» М. Остро­градський роз­глядав матем. задачі, що виникають при за­стосуван­ні вибірк. методів контролю якості продукції. 1887 проф. Університету св. Володимира у Києві В. Єрмаков опублікував під­руч. «Методъ наименьшихъ квадра­товъ». На­прикінці 19 — на поч. 20 ст. М. с. сформувалася як самост. дисципліна, що ґрунтується на принципах теорії ймовірностей, знач. мірою завдяки роботам англ. учених К. Пірсона, Р. Фішера, швед. ученого Г. Крамера та їхніх учнів. 1899–1901 Д. Ґраве читав курс страх. математики у Харків., 1902–39 — у Київ. університетах, а 1912 опублікував під­ручник «Математика страхового дѣла». У 1930-х рр. у Києві М. Кравчук видав низку праць з М. с., а також очолював від­діл М. с. в Ін­ституті математики ВУАН. 1907–34 у Харків. університеті працював С. Бернштейн — автор нерівності Бернштейна, яку за­стосовують в асимптотич. статистиці, та гіпотези про асимптотичну поведінку апостеріор. роз­поділів у баєс. оцінюван­ні, яку пізніше на­звали теоремою Бернштейна–Мізеса. Нового роз­витку набули дослідж. з М. с. у Київ. університеті й Ін­ституті математики АН УРСР у 2-й пол. 20 ст., коли Й. Гіхман, Б. Гнєденко та їхні учні почали за­стосовувати новітні результати в галузі теорії випадк. процесів до роз­вʼязуван­­ня статист. задач. Зокрема Й. Гіхман ви­значив асимптотич. роз­поділ статистики непараметр. тесту узгодженості Колмогорова у випадку, коли теор. роз­поділ має неві­домі параметри. В. Королюк зна­йшов асимптотичні роз­клади для роз­поділів двовибірк. критеріїв згоди та роз­робив методи обчисле­н­ня таких роз­поділів при малих обсягах вибірки. У подальших роботах він досліджував асимптотичну поведінку U-статистик, які за­стосовуються у різних статист. алгоритмах. В. Михалевич ви­вчав за­стосува­н­ня баєс. процедур у статист. контролі якості. Під впливом Київ. і Донец. шкіл теорії випадк. процесів в Україні роз­вивалася М. с. випадк. процесів і полів. М. Ядренко, М. Леоненко та їхні учні ви­вчали оцінюва­н­ня матем. сподівань та кореляц. функцій випадк. полів. Ю. Козаченко та Б. Бондарев роз­робили тести для пере­вірки гіпотез про випадк. процеси. Статист. дослідж. В. Булдигіна та його учнів присвяч. оцінюван­ню імпульс. пере­хід. функцій ліній. систем. Статистиці ґаусс. спо­стережень зі значе­н­нями у гільберт. просторах присвяч. цикл робіт А. Скорохода та І. Ібрамхалілова. А. Дороговцев роз­глянув методи побудови оптимал. ліній. оцінок у моделях із нескінчен­новимір. заважаючими параметрами та методи оцінюва­н­ня параметрів роз­поділів випадк. процесів. П. Кнопов дослідив пита­н­ня статистики випадк. процесів і полів у звʼязку із задачами оптимал. керува­н­ня, ідентифікації та роз­пі­знава­н­ня. Ю. Ліньков і його учні на основі теорії великих від­хилень роз­винули асимптотичну теорію тестів від­ноше­н­ня вірогідності із за­стосува­н­ням до пере­вірки гіпотез про роз­поділи незалеж. спо­стережень та випадк. процесів. Нині роз­робле­н­ням алгоритмів роз­пі­знава­н­ня зображень із за­стосува­н­ням статист. методів, зокрема баєсових, за­ймається М. Шлезінгер. Дослідж. у галузі ре­гресій. аналізу проводять О. Іванов (ре­гресій. аналіз випадк. процесів), О. Кукуш (моделі з похибками у змін­них і за­стосува­н­ня статист. методів у біо­інформатиці), І. Мацак (моделі роз­поділів з важкими та легкими хвостами). Л. Сахно ви­вчає асимптотику оцінок спектрал. щільнос­­ті випадк. процесів. Ю. Мішура, Г. Шевченко та їхні учні досліджують задачі оцінюва­н­ня параметрів дифуз. і мультифрактал. випадк. процесів. М. Моклячук за­ймається задачами мінімакс. про­гнозува­н­ня випадк. процесів і полів. Цикл праць Р. Майбороди й О. Сугакової присвяч. статист. аналізу даних, що описуються непараметр. моделями суміші кількох роз­поділів. Навч. за спеціальністю «статистика» проводять на матем. ф-тах Київ., Дні­проп., Львів., Донец., Ужгород., Чернів. університетів та в ін. укр. ВНЗах.

Завантажити статтю