Математичної індукції метод

МАТЕМАТИ́ЧНОЇ ІНДУ́КЦІЇ МЕ́ТОД

В основі М. і. м. лежить твердже­н­ня, що називають принципом матем. індукції: якщо перше твердже­н­ня А(1) певної послідовності тверджень А(n) є правильним, а за кожним правильним твердже­н­ням цієї послідовності на­ступне також правильне, то всі твердже­н­ня за­даної послідовності є правильними. Цей спосіб матем. доведень опирається на поня­т­тя індукції (див. Індукція і дедукція). У 18 ст. академік С.-Пе­тербур. АН Л. Ейлер сказав: «У мене немає для доведе­н­ня жодних інших доказів, за винятком довгої індукції, яку я провів так далеко, що анітрохи не можу сумніватися в законі, що керує утворе­н­ням цих членів… І здається неможливим, щоб закон, що, як було встановлено, виконується, на­приклад, для 20 членів, не можна було б спо­стерігати і для на­ступних».

Однак, на від­міну від дедукції, індукція може при­звести до правил. і неправил. результатів. Тому виникла необхідність у на­уково об­ґрунтов. методі, що до­зволив би робити заг. висновки на основі декількох часткових. Гол. заслуга у роз­роблен­ні цього методу належить франц. математикам Б. Паскалю та Р. Декарту, а також швейцар. математику Я. Бернул­лі.

Від­повід­но до за­значеного вище принципу матем. індукції певні твердже­н­ня є правильними не для всіх натуральних n, а лише починаючи з якогось натурал. числа p. Такі твердже­н­ня інколи можна довести, за­стосовуючи дещо ін. варіант М. і. м., а саме: твердже­н­ня А(n) є правильним для всіх натурал. n≥p, якщо: воно є правильним при n=p (а не при n=1, як це було вище); з правильності цього твердже­н­ня при n=k, k≥p (а не k≥1) випливає, що воно є правильним і при n=k+1. Обидва формулюва­н­ня еквівалентні у тому ро­зумін­ні, що будь-яка теорема, яку можна довести за допомогою М. і. м. в одній формі, може бути доведена за допомогою другої його форми.

Часто також трапляється, що А(1) і А(n+1) доводять аналогіч. міркува­н­нями. У таких випадках зручно користуватися такою еквівалент. формою принципу матем. індукції: якщо для будь-якого n із припуще­н­ня, що A(x) є правильним для довільного натурального x < n, випливає правильність А(х) при х=n, то А(х) справджується для будь-якого натурал. х. У такій формі принцип матем. індукції може бути застосований для доведення тверджень А(х), в яких параметр х перебігає ту чи ін. множину, цілком упорядковану за деяким трансфініт. типом (трансфінітна індукція).

Інколи для доведе­н­ня певного твердже­н­ня А(n), що залежить від натурал. параметра n, індукцією по n потрібно одночасно з А(n) доводити індукцією по n низку ін. тверджень, без яких не можна реалізувати індукцію для А(n). У таких випадках маємо справу із сумісною матем. індукцією. Велика кількість понять, що ви­значають такою індукцією, призводить до необхідності за­стосува­н­ня аксіоматич. методу в індуктив. ви­значен­ні та доведен­ні. Це є наоч. прикладом необхідності аксіоматич. методу для роз­вʼяза­н­ня конкрет. матем. задач, а не лише питань, що стосуються основ математики.

Завантажити статтю