Наближень теорія

НАБЛИ́ЖЕНЬ ТЕО́РІЯ — галузь математичного аналізу. Виникла як результат внутрішнього роз­витку математичної науки та її практичного за­стосува­н­ня. У термінах поня­т­тя функції від­ображається одна з фундаментальних ідей — на­ближе­н­ня (або заміна) складних обʼєктів більш простими і зручними в користуван­ні. Ідеї на­ближе­н­ня існували в математиці від­давна, але формува­н­ня основних понять теорії на­ближе­н­ня почалося від середини 19 столі­т­тя. Так, у 1850-х роках ві­домий російський математик П. Чебишов увів поня­т­тя найкращого на­ближе­н­ня неперервної на від­різку функції за допомогою алгебраїчних поліномів за­даного степеня в рівномірній метриці. Крім на­ближе­н­ня функцій многочленами, П. Чебишов роз­глядав найкращі на­ближе­н­ня раціональними дробами, на­ближе­н­ня інтерполяційними многочленами, а також квадратурні формули. Інший напрям у теорії на­ближе­н­ня функцій веде свій початок від теореми німецького математика К. Вейєрштрас­са (1885), згідно з якою кожну неперервну на від­різку функцію можна як завгодно точно на­близити поліномами. Від початку 20 столі­т­тя проводять систематичні дослідже­н­ня, повʼязані зі швидкістю спа­да­н­ня послідовності найкращих на­ближень функцій. 

У перших роботах бельгійського математика Ш.-Ж. Валле-Пус­сена та французького вченого А. Лебеґа було виявлено, що швидкість спа­да­н­ня величини найкращого на­ближе­н­ня повʼязана з гладкісними властивостями функції, і тому природньо по­стало пита­н­ня про ви­вче­н­ня цієї залежності. Значний вплив на подальший роз­виток теорії на­ближе­н­ня функцій мали прямі й обернені теореми, одержані 1911–12 С. Бернштейном і американським математиком Д. Джексоном. Так, прямі теореми теорії на­ближе­н­ня функцій встановлюють звʼязок оцінки похибки на­ближе­н­ня функцій із її гладкісними характеристиками: наявністю похідних певного порядку, модулем неперервності чи модулем гладкості самої функції чи деякої її похідної. Зі свого боку, обернені теореми теорії на­ближе­н­ня функцій характеризують диференціально-різницеві властивості функцій, що базуються на швидкості спа­да­н­ня до нуля її найкращих (чи якихось інших) на­ближень. У загальній по­становці задач теорії на­ближе­н­ня функцій можна виділити такі основні частини: 

• вибір множини A, до якої належать на­ближаючі агрегати; 
• вибір міри похибки на­ближе­н­ня; 
• вибір методу на­ближе­н­ня (правила, згідно з яким кожній функції ставиться у від­повід­ність деякий елемент із множини A); 
• оцінка похибки на­ближе­н­ня. 

Класичним апаратом на­ближе­н­ня функцій є поліноми (тригонометричні у періодичному випадку й алгебраїчні в неперіодичному). У низці практичних задач ефективнішим є викори­ста­н­ня сплайнів, а в деяких випадках, зокрема при на­ближен­ні в необмежених областях, зручним апаратом є раціональні дроби. Для на­ближе­н­ня неперіодичних функцій, за­даних на всій дійсній осі, використовують цілі функції екс­поненціального типу. При виборі міри похибки на­ближе­н­ня враховують належність функцій до функціональних просторів із від­повід­ною метрикою. Роз­глядають рівномірні (або чебишовські), середньо­степеневі на­ближе­н­ня (зокрема, на­ближе­н­ня в середньому і середньоквадратичне на­ближе­н­ня), інтерполяцію. Методи теорії на­ближе­н­ня поділяють на лінійні та нелінійні. Особливістю лінійної апроксимації є те, що на­ближе­н­ня здійснюється за допомогою елементів із за­даного лінійного під­простору скінчен­ної роз­мірності. Це — на­ближе­н­ня сумами Фурʼє, лінійними методами під­сумовува­н­ня рядів Фурʼє (методи Фейєра, Рісса, Бернштейна, Рогозинського, Валле-Пус­сена та інші). 

При досліджен­ні питань оптимального вибору від­повід­ного лінійного під­простору виникають задачі про поперечники (колмогорівські, лінійні, орто­проекційні, тригонометричні, бернштейнівські, гельфандівські та інші). Роз­виток науки й техніки спричинив активне ви­вче­н­ня методів нелінійної апроксимації, що сприяли під­вищен­ню ефективності обчислень у практичних задачах інженерії, біо­логії, медицини, а також при кодуван­ні й пере­дачі інформації та статистичних роз­рахунках. Сюди належать М-член­ні (роз­ріджені) та білінійні на­ближе­н­ня, гріді алгоритми та інші. Щодо теорії на­ближе­н­ня функцій комплексної змін­ної, то вона тісно повʼязана з іншими роз­ділами комплексного аналізу, зокрема з теорією конформних від­ображень, інтегральними пред­ставле­н­нями, теорією потенціалу. Її основною метою є ви­вче­н­ня питань апроксимації функцій комплексної змін­ної аналітичними функціями зі спеціальних класів. 

З роз­витком функціонального аналізу виникали дедалі загальніші по­становки задач теорії на­ближе­н­ня, зокрема щодо на­ближе­н­ня елементів довільного метричного простору Х. При цьому виділяють три основні типи задач: 

• найкраще на­ближе­н­ня елемента x∈X фіксованою множиною A⊆X; 
• найкраще на­ближе­н­ня за­даної множини N⊆X фіксованою множиною A⊆X; 
• найкраще на­ближе­н­ня за­даної множини N⊆X сукупністю апроксимуючих під­множин M⊆X. 

Серед фундаторів теорії на­ближе­н­ня функцій в Україні — Н. Ахієзер, М. Кравчук, М. Лаврентьєв, С. Нікольський, Є. Ремез, В. Дзядик, М. Корнійчук, О. Степанець.