Нелінійний аналіз

НЕЛІНІ́ЙНИЙ АНА́ЛІЗ — роз­діл математики, частина математичного аналізу, що ви­вчає обʼєкти (рівня­н­ня, системи, функціонали, оператори тощо) з нелінійними залежностями. Найбільш заг. методами Н. а. є методи неліній. функціонального аналізу та диференціал. топології. Серед засн. Н. а. були Л. Кронекер, А. Пуанкаре, Л. Брауер та Х. Хопф, які побудували топол. теорію неперерв. від­ображень скінчен­новимір. просторів. Важливу роль ві­діграли здобутки С. Банаха, Р. Кач­чіополі, Ю.-П. Шау­дера, Ж. Лере, що стосуються принципів нерухомої точки, а також роботи О. Ляпунова, Е. Шмідта, П. Урисона, А. Гам­мерштейна та ін. з теорії неліній. інтеграл. рівнянь, роботи М. Боголюбова, М. Крилова та створеної ними наук. школи з теорії неліній. коливань. Потужні наук. школи у галузі Н. а. створили укр. математики М. Красносельський (працював в Україні до 1953) та І. Скрипник. До осн. напрямів дослідж. у галузі Н. а. зараховують: диференціал. числе­н­ня неліній. від­ображень, зокрема теореми про локал. оберне­н­ня та неявну функцію; дослідж. умов неперервності й компактності неліній. операторів у нескінчен­новимір. просторах, спектрал. властивостей таких операторів; монотон. і опук­лих операторів в упорядкованих просторах та їхніх узагальнень; теореми про нерухому точ­ку для різноманіт. класів операторів із властивостями стиску, компакт­ності, монотон­ності тощо; варіац. методи дослідж. неліній. операторів; методи на­ближеного роз­вʼяза­н­ня неліній. оператор. рівнянь. Осн. полем за­стосува­н­ня методів Н. а. є дослідж. неліній. диференціал. рівнянь у частин. похідних. Фундам. результати в цій галузі отримали багато вчених, зокрема Х. Брезіс, М. Крендалл, Ж.-Л. Ліонс, Л. Ніренберґ.

Завантажити статтю