Нерівність — Енциклопедія Сучасної України

Нерівність

НЕРІ́ВНІСТЬ Спираючись на означення натурального числа (напр., у теорії Кантора чи Пеано-Ґрассмана), можна довести, що для будь-яких двох натуральних чисел m і n справедливе одне і лише одне з трьох співвідношень (трихономія):

m = n + k, де k – натуральне число;

m = n;

n = m + l, де l – натуральне число.

У першому випадку вказано, що m більше за n і записують це так: m > n, у другому – m дорівнює n (m = n), у третьому – m менше за n (m < n). Якщо числа k і l не відомі, говорять, що m не дорівнює n та вживають символ ≠. Знаки > (більше), < (менше), ≠ (не дорівнює), а також ≥ (більше або дорівнює), ≤ (менше або дорівнює) називають знаками Н. Уперше знаки > і < зустрічаються у праці Т. Гарріота «Практика аналітичного мистецтва…» («Artis analyti­cae praxis…», Londinac, 1631). Варто відзначити, що в серед. школі за означення понять m > n і m < n беруть твердження, що різниця m-n додатна і, відповідно, від'ємна.

Поняття «Н.» поширюють на будь-які дійсні числа зі збереженням її осн. властивостей: якщо m < n, то n > m; якщо m < n і n < p, то m < p; якщо m < n, то m + p < n + p; якщо m < n, то mp < np при p > 0, та mp > np при p < 0. Властивості 1–4 виконуються також для знаків >, ≥, ≤. Окрім цього, Н. однакового змісту можна почленно додавати (зі збереженням знака): з m < n і p < q випливає m + p < n + q, а протилеж. змісту – віднімати, при цьому зберігається знак тої Н., від якої віднімаємо: m-q < n-p. Щодо множення і ділення, то для m, n, p, q > 0 справедливі Н.:

mp < nq і

У випадку m > n > 0, для будь-якого натурального числа l виконуються співвідношення ml > nl, . При m < n < 0 справедливі Н.: ml > nl для парного натурального l, і ml < nl для непарного натурального l. Іноді кілька Н. записують разом, напр.: m ≤ n < p та називають подвій. Н. Поняття «Н.» поширюють також на послідовності, функції. Розв'язати Н. f(x) > g(x) означає знайти всі значення x з множини визначення функцій f та g, для яких ця Н. справджується.

Н. називають тотожно істинною, якщо вона перетворюється в істинну числову Н. при всіх допустимих значеннях змінних. Напр., x2 + 1 > 0. Якщо ж не існує таких значень змінних, при яких задана Н. перетворюється в істинну числову Н., то її називають тотожно хибною. Напр., на множині дійс­них чисел Н. x2 + 3 ≤ -2 є тотожно хибною. Дві Н. називаються еквівалентними, якщо будь-який розв'я­зок першої Н. є розв'язком другої Н., і навпаки.

До базових Н. належать: Н. для модулів, для будь-яких дійсних чи комплекс. чисел a1, a2, ..., an, виконується |a1 + a2 + ... + an| ≤ |a1| + |a2| + ... + |an|; Н. для серед. (гармон., геом., арифмет. і квадратич.), для a1, a2, ..., an > 0 виконується

;

Н. для сум і їхні інтеграл. аналоги (напр., нерівності Буняковського, Гельдера, Гільберта, Коші); Н. для степенів чисел (напр., нерівність Мінковського та її узагальнення на випадок рядів й інтегралів); Н. для деяких класів послідовностей і функцій (напр., нерівність Ієнсена для опуклих функцій); Н. для детермінантів (напр., нерівність Адамара); лінійні Н. мають вигляд f(x) – a ≤ 0 або f(x) – a <=0, де f(x) – лінійна (тобто адитивна і однорідна) функція, задана на дійсному вектор. полі L(R), зі значеннями з поля R дійсних чисел, a ∈ R (це поняття поширюють також на випадок будь-якого впорядкованого поля P).

Н. відіграють важливу роль у всіх розділах математики. Так, у класич. теорії ймовірностей відомими є нерівність Чебишева та її узагальнення – нерівність Колмогорова. У теорії чисел розділ діофант. наближення повністю базується на Н. У теорії функцій часто застосовують Н. для похідних алгебрич. і тригонометр. поліномів (напр., нерівності Бернштейна й Джексона).

Літ.: Завало С. Т. Рівняння і нерівності. К., 1973; Коровкин П. П. Неравенства. 5-е изд. Москва, 1983; Беллман Р., Беккенбах Э. Неравенства. 2-е изд. / Пер. с англ. Москва, 2007; Крыжановский Д. Эле­менты теории неравенств. 2-е изд. Москва, 2016.

К. В. Пожарська


Покликання на статтю