Нерівність

НЕРІ́ВНІСТЬ — математичне спів­від­ноше­н­ня між двома числами, змін­ними чи виразами, яке показує, що одне з них більше, менше або не дорівнює іншому. Спираючись на означе­н­ня натурального числа (на­приклад, у теорії Кантора чи Пеано-Ґрас­смана), можна довести, що для будь-яких двох натуральних чисел \( m \) і \( n \) справедливе одне і лише одне з трьох спів­від­ношень (трихотомія):

\[ m = n + k, \quad \text{де } k \text{ — натуральне число};
\quad m = n;
\quad n = m + l, \quad \text{де } l \text{ — натуральне число}. \]

У першому випадку вказано, що \( m \) більше за \( n \) і записують це так: \( m > n \), у другому — \( m \) дорівнює \( n \) (\( m = n \)), у третьому — \( m \) менше за \( n \) (\( m < n \)). Якщо числа \( k \) і \( l \) не відомі, говорять, що \( m \) не дорівнює \( n \) та вживають символ \( \neq \).

Знаки \( > \) (більше), \( < \) (менше), \( \neq \) (не дорівнює), а також \( \geq \) (більше або дорівнює), \( \leq \) (менше або дорівнює) називають знаками нерівності. Уперше їх використано у праці Томаса Гарріота «Практика аналітичного мистецтва…» («Artis analyticae praxis…», Londinac, 1631). У середній школі за означення понять \( m > n \) і \( m < n \) беруть твердження, що різниця \( m - n \) додатна і, відповідно, відʼємна.

Поня­т­тя «нерівність» поширюють на будь-які дійсні числа зі збереже­н­ням її основних властивостей:

1. Якщо \( m < n \), то \( n > m \);
2. Якщо \( m < n \) і \( n < p \), то \( m < p \);
3. Якщо \( m < n \), то \( m + p < n + p \);
4. Якщо \( m < n \), то \( mp < np \) при \( p > 0 \), та \( mp > np \) при \( p < 0 \).

Властивості 1–4 виконуються також для знаків \( > \), \( \geq \), \( \leq \). Окрім цього, нерівності однакового змісту можна почлен­но додавати (зі збереже­н­ням знака): з \( m < n \) і \( p < q \) випливає \( m + p < n + q \), а протилежного змісту — віднімати, при цьому зберігається знак тієї нерівності, від якої віднімаємо: \( m - q < n - p \). Щодо множення і ділення, то для \( m, n, p, q > 0 \) справедливі нерівності:

\[ mp < nq \quad \text{і} \quad \frac{m}{q} < \frac{n}{p}. \]

У випадку \( m > n > 0 \), для будь-якого натурального числа \( l \) виконуються спів­від­ноше­н­ня \( ml > nl \). При \( m < n < 0 \) справедливі нерівності: \( ml > nl \) для парного натурального \( l \), і \( ml < nl \) для непарного натурального \( l \).

Іноді кілька нерівностей записують разом, на­приклад:

\[ m \leq n < p \]

та називають по­двійною нерівністю. Поня­т­тя «нерівність» поширюють також на послідовності, функції. Роз­вʼязати нерівність \( f(x) > g(x) \) означає зна­йти всі значе­н­ня \( x \) з множини ви­значе­н­ня функцій \( f \) та \( g \), для яких ця нерівність справджується.

Нерівність називають тотожно істин­ною, якщо вона пере­творюється в істин­ну числову нерівність при всіх допустимих значе­н­нях змін­них. На­приклад, \( x^2 + 1 > 0 \). Якщо ж не існує таких значень змін­них, при яких за­дана нерівність пере­творюється в істин­ну числову нерівність, то її називають тотожно хибною. На­приклад, на множині дійсних чисел нерівність \( x^2 + 3 \leq -2 \) є тотожно хибною. Дві нерівності називаються еквівалентними, якщо будь-який роз­вʼязок першої нерівності є роз­вʼязком другої нерівності і навпаки.

До базових нерівностей належать: нерівності для модулів, для будь-яких дійсних чи комплексних чисел \( a_1, a_2, \ldots, a_n \) виконується

\[ \frac{n}{\frac{1}{a_1} + \frac{1}{a_2} + \ldots + \frac{1}{a_n}} \leq \sqrt[n]{a_1 a_2 \ldots a_n} \leq \frac{a_1 + a_2 + \ldots + a_n}{n} \leq \sqrt{\frac{a_1^2 + a_2^2 + \ldots + a_n^2}{n}} \]

Нерівності для сум і їхні інтегральні аналоги (на­приклад, нерівності Буняковського, Гельдера, Гільберта, Коші); нерівності для степенів чисел (на­приклад, нерівність Мінковського та її узагальне­н­ня на випадок рядів і інтегралів); нерівності для деяких класів послідовностей і функцій (на­приклад, нерівність Ієнсена для опуклих функцій); нерівності для детермінантів (на­приклад, нерівність Адамара).

Лінійні нерівності мають ви­гляд

\[ f(x) - a \leq 0, \]

де \( f(x) \) — лінійна (тобто адитивна та однорідна) функція, за­дана на дійсному векторному полі \( L(\mathbb{R}) \), зі значе­н­нями з поля \( \mathbb{R} \) дійсних чисел, \( a \in \mathbb{R} \). Це поня­т­тя поширюють також на випадок будь-якого впорядкованого поля \( P \).

Нерівності ві­ді­грають важливу роль у всіх роз­ділах математики. Так, у класичній теорії ймовірностей ві­домими є нерівність Чебишева та її узагальне­н­ня — нерівність Колмогорова. У теорії чисел роз­діл діофантового на­ближе­н­ня повністю базується на нерівностях. У теорії функцій часто за­стосовують нерівності для похідних алгебричних і тригонометричних поліномів (на­приклад, нерівності Бернштейна й Джексона).