Конструктивна матетматика
КОНСТРУКТИ́ВНА МАТЕМА́ТИКА — конструктивний напрям у математиці. Є абстракт. наукою, сформованою відповідно до того чи ін. конструктив. матем. світогляду, що намагається пов’язати твердження про існування матем. об’єктів з можливістю їх побудови, внаслідок чого відкидає низку настанов традиц. теор.-множин. математики (зокрема абстракцію актуал. нескінченності та універсал. характер закону виключення третього), які призводять до появи чистих теорем існування. Конструкт. тенденція в математиці проявлялася у тій чи ін. формі упродовж всієї її історії, і лише нім. математик кін. 18 — серед. 19 К.-Ф. Гаусс уперше чітко окреслив принципову для К. м. різницю між потенціал. і актуал. матем. нескінченностями та виступав проти вживання останньої. Подальші крит. кроки в цьому напрямку зробили нім. математик 19 ст. Л. Кронекер, франц. математик 19 — поч. 20 ст. Ж.-А. Пуанкаре, нідерланд. математик 20 ст. Л. Брауер та ін. Осн. риси К. м.: 1) предметом вивчення є конструкт. процеси і конструкт. об’єкти, що виникають в результаті виконання цих процесів; 2) розгляд конструкт. процесів і об’єктів відбувається в рамках абстракції потенціал. здійсненності з виключенням ідеї актуал. нескінченності; 3) інтуїтивне поняття ефективності пов’язується з точним поняттям алгоритму; 4) використовується спец. конструкт. логіка, яка враховує специфіку конструкт. процесів і об’єктів. Поняття конструкт. процесу та конструкт. об’єкта є первісними і не потребують означення — уявлення про них мають своїм джерелом матеріал. діяльність людини. Найпростішим видом конструкт. об’єктів є слова у фіксов. алфавіті. Конструкт. процес, результатом якого є слово, полягає в даному випадку у виписуванні цього слова літера за літерою. Частинним випадком слів є натурал. числа. Вони розглядаються як слова в алфавіті 01, що починаються з нуля і не містять далі нулів, тобто як слова 0, 01, 011, 0111, … Додання до цього алфавіту знаків «-» та «/» дає змогу будувати рац. числа як деякі слова в алфавіті 01-/. Таким чином, рац. числа стають конструкт. об’єктами. Після цього постало питання про побудову в рамках К. м. дійс. чисел, а надалі й про включення в ці рамки матем. аналізу. Ця мета була досягнута на основі уточненого поняття алгоритму. Один із найбільш послідовних і завершених підходів до побудови К. м. на цій основі належить школі рос. математика А. Маркова (молодшого), заснованій у 1950-х рр. На базі алгоритмів побудовано конструкт. теорію функцій дійс. змінної. Серед найцікавіших її результатів — теорема про неперервність конструкт. функції скрізь, де вона визначена. Також з’ясовано, що в теорії конструкт. функцій дійс. змінної не мають місця аналоги класич. теорем, сформульованих наприкінці 19 — на поч. 20 ст. нім. вченими К.-Т. Вейєрштрассом і Г. Кантором щодо функцій, неперервних на сегменті. Все це свідчить про суттєву відмінність конструкт. матем. аналізу від аналізу теоретико-множинного. Нині успішно розробляються конструкт. теорії диференціювання та інтегрування, конструкт. теорія метрич. просторів, конструкт. функціонал. аналіз, теорія функцій комплекс. змінної тощо.
Рекомендована література
- Марков А. А. Теория алгорифмов // Тр. Матем. ин-та АН СССР. 1954. Т. 42;
- Проблемы конструктивного направления в математике // Там само. 1958. Т. 52;
- 1962. Т. 67;
- 1964. Т. 72;
- 1967. Т. 93;
- 1970. Т. 93;
- Фан Динь Зиеу. Некоторые вопросы конструктивного функционального анализа // Там само. 1970. Т. 114;
- Кушнер Б. А. Лекции по конструктивному математическому анализу. Москва, 1973;
- Акимов О. Е. Дискретная математика, логика, группы, графы. 2-е изд. Москва, 2003;
- Марков А. А. Избранные труды. Т. 2. Теория алгорифмов и конструктивная математика, математическая логика, информатика и смежные вопросы. Москва, 2003.
Завантажити статтю
