Логіцизм

ЛОГІЦИ́ЗМ  — напрям у філософії математики, що виник наприкінці 19 — на початку 20 ст. Думку про здійснення логістич. тези висловив ще у 17 ст. нім. вчений Ґ. Ляйбніц. Її практичне втілення належить нім. філософу, логіку і мате­матику Г. Фреґе та брит. філо­софу, логіку і математику Б. Рас­селу. Суть Л. полягала в прагненні звести математику до логіки (математичної) і таким чином обґрунтувати істинність та несуперечливість математики. Першу серйозну спробу в цьому напрямі здійснив Г. Фреґе, визначивши осн. поняття арифметики натурал. чисел (натурал. число, додавання та множення) в термінах логіки (клас, кон’юнкція, диз’юнк­ція). Так, натурал. число визначалося як клас всіх рівночисел. класів (означення натурал. чис­ла за Фреґе–Расселом). До того часу вже було показано принципову можливість зведення всієї математики або до теорії множин (теоретико-множинна інтерпретація і обґрунтування всіх розділів математики), або до арифметики натурал. чисел, а самі теорія множин і арифметика натурал. чисел були побудовані аксіоматично (останнє було здійснено наприкінці 19 ст. школою Пеано). Таким чином, проблема зведення математики до логіки зводилася до цілком осяж. проблеми — переформулювання аксіом арифметики натурал. чисел у термінах логіки та виведення цих логіч. висловлювань як теорем одного з логіч. числень. Втім, спроба Г. Фреґе закінчилася невдачею, оскільки в рамках його конструкції виявлялося можливим сформулю­вати логіч. парадокс. Згодом це вдалося зробити Б. Расселу. Він же взяв на себе роль послідовни­ка справи Г. Фреґе. Нова спроба була реалізована в спіл. монографії Б. Рассела та А.-Н. Вайт­геда «Principia Mathematica» / «Основи математики» (т. 1–3, Лондон, 1910–13). Завдяки введенню ієрарх. теорії ідеал. мови (теорії типів) система Рассела–Вайтгеда була надійно захищена від логіч. парадоксів типу парадоксу Рассела. Б. Расселу та А.-Н. Вайтгеду в запропонованій ними системі дійсно вдалося вивести аксіоми арифметики натурал. чисел як теореми логіки. Однак, їх система викли­кала з самого початку серйозні заперечення як сукупність тільки логічно істиних висловлювань. Обґрунтовані сумніви у їхньому логіч. характері стосувалися трьох аксіом — аксіоми вибору, аксіоми зведення та аксіоми не­скінченності. Таким чином, логістична програма Рассела–Вайтгеда виявилася, за словами амер. логіка та математика А. Чорча, реалізованою «не більш ніж на половину». Остаточно ж безперспективність Л. показано у 1930-х рр. завдяки результатам австр. і амер. логіка та математика К. Ґьоделя, який довів виключно інтуїціоніст. методами принципову неможливість абсолютно повної формалізації будь-якими засобами (а, отже, і чисто логічними) арифметики натурал. чисел (теорема про неповноту будь-яких формалізов. систем арифметики відносно до її змістов. варіанта). Таким чином, гіпотеза логіцистів про те, що математика — не більш скла­дна (зріла), ніж логіка, виявилася хибною. Математика не є сукупністю чисто логіч. істин (в силу тільки їх логіч. форми). Втім, з ін. боку, логіцисти переконливо продемонстрували величезну роль чисто логіч. методів у побудові й обґрунтуванні математики.

Завантажити статтю