Коливання

КОЛИВА́ННЯ – зміна в часі деякої фізичної величини навколо значення, що відповідає рівноважному стану системи. Найчастіше спостерігаються періодичні та квазіперіодичні К., бувають також аперіодичні та стохастичні. К., які з часом поширюються в просторі, називають хвилями. За своєю природою К. фіз. систем бу­вають мех. або електромагнітними. Можливі також К. у хім. (реакції Бєлоусова–Жаботинсь­­кого, що супроводжуються періодич. зміною концентрації реа­­гентів), екол. (К. кількості особин при взаємодії популяцій хи­­жак–здобич), біол. (робота сер­­ця) системах. Коливні системи різної природи в багатьох випад­­ках мають подібні властивості й описуються однак. диференціал. рівняннями. Найпростіший приклад колив. системи – модель ліній. консерватив. осцилятора, яка описує широкий клас реал. систем при невеликих відхиленнях від положення рівноваги: фіз. маятник (вантаж на підвісі), пружин. маятник (ван­­таж на пружині), колив. контур у радіотехніці, акустич. резонатор, резонатор електромагніт. К. тощо. У ліній. осцилятора си­­­ла, що повертає систему в положення рівноваги, лінійно залежить від відхилення від цього положення. Вільні К. такої системи (тобто К., зумовлені тим, що в початк. момент часу систему вивели зі стану рівноваги, а потім відпустили) є гармонічними: зміна відхилення системи від положення рівноваги з часом відбувається за законом синуса (або косинуса): x(t) = Asinφ(t), де φ(t) = ω₀t + φ₀.

Гармонічні К. характеризуються амплітудою A (макс. відхилення від положення рівноваги), фазою φ(t) (характеризує стадію К. у даний момент часу; φ₀ – початк. фаза), періодом T₀ (наймен­­ший проміжок між двома моментами часу, коли система пе­­ребуває в однак. стані; визначається лише властивостями осцилятора). Період визначає циклічну частоту ν₀ = 1/T₀ (кількість К. за одиницю часу) та кругову частоту ω₀ = 2πν₀. Двічі за період К. у системі відбувається перетворення кінет. енер­­гії в потенціальну (в мех. системах) або енергії електрич. поля в енергію магніт. поля (в електромагніт. системах). Для ліній. консерватив. осцилятора справ­­джується закон збереження енер­­гії: сума потенціал. (електрич.) та кінет. (магніт.) енергії з часом зберігається. К. ліній. ос­­цилятора є ізохронними (період К. T₀ не залежить від їхньої амплітуди A). Врахування втрат (дисипації) енергії (тертя в мех. осциляторах, актив. опір у радіо­­тех. контурі та ін.) призводить до того, що з часом амплітуда вільних К. згасає (модель ліній. дисипатив. осцилятора). Таке зга­­сання притаманне майже всім реал. макроскопіч. осциляторам. За наявності дуже сильної диси­пації відхилення від стану рівноваги з часом зменшується екс­­поненціально (аперіодичні К.). При великих відхиленнях систем від положення рівноваги К. стають нелінійними: повертал. сила починає нелінійно залежати від відхилення від положення рівноваги (модель неліній. осцилятора). У цьому випад­­ку форма К. перестає бути гар­­мо­­нічною (в спектрі з’явля­­ють­­ся вищі гармоніки), а період К. починає залежати від їхньої амплі­­туди (неізохронність). К., спричинені дією на осцилятор зовн. сили, називають вимушеними. Якщо зовн. сила є гармонічною, а її частота w збігається з частотою влас. К. ω₀, у ліній. консерватив. осциляторі спостерігається резонанс – лінійне в часі зростання амплітуди К. до нескінченності. У реал. системах резонансна амплітуда К. обмежується ефектами згасання (дисипатив. осцилятор) або неізохронності, коли зі зрос­­танням амплітуди частота влас. К. змінюється та з’являється розстроювання між нею і частотою зовн. сили (неліній. осци­­лятор). Дія періодич. сили на не­­ліній. осцилятор може призвес­­ти до появи стохастич. (випадк.) К. У такому режимі поведінка колив. системи виявляється не­­передбачуваною, оскільки вона залежить від початк. умов, які в реал. системах визначаються в результаті вимірювань і тому ні­­коли не відомі абсолютно точно. Коливна система (неліній. осцилятор) може містити неліній. елемент, величина якого здатна змінюватися під дією зовн. сили (прикладом такого еле­­менту може бути варикап, електрична ємність якого залежить від прикладеної напруги). Якщо зовн. напруга, прикладена до варикапа, значно більша за напругу, спричинену влас. К. колив. контуру з варикапом, можна вважати, що ємність варикапа змінюється лише під ді­єю прикладеної ззовні напруги, незалежно від руху самої системи. Коливні системи, в яких який-небудь параметр змінюєть­­ся з часом під дією зовн. сили незалежно від руху самої системи, називають параметрични­­ми. У таких системах можливий параметрич. резонанс – експоненціал. зростання амплітуди влас. К. Якщо зовн. сила змінюється гармонічно, умовою пара­­метрич. резонансу є певне спів­­відношення між частотами зовн. сили (частота накачування) ω_p і влас. К. ω₀; у найпростішому випадку ω_p = 2ω₀. Якщо система дисипативна, параметрич. резонанс можливий лише тоді, коли зміна параметра перевищує деяке граничне значення – поріг параметрич. резонансу. В цьому випадку потужність, що відбирається від джерела зовн. сили (джерела накачування), перевищує втрати (які й визначають поріг) і частково витрачається на зростання влас. К. Зростання амплітуди К. у цьому режимі принципово обмежуєть­­ся зворот. впливом збуджених влас. К. на неліній. елемент.

Кла­­сич. прикладом параметрич. ре­­зонансу є маятник зі змін. довжиною підвісу (звичайна гойдалка): зміна довжини підвісу двічі за період К. (людина на гой­­далці присідає й випростується) призводить до зростання амплітуди К. (розгойдування гойдал­­ки). Якщо потужність, що надходить від джерела накачування, лише частково компенсує втра­­ти, то вимушені К. в такій системі встановлюються на вищому рівні, ніж за відсутності накачування. Цей принцип лежить в основі роботи параметрич. підсилювачів, які характеризуються надзвичайно низьким рів­­нем влас. шумів. Автоколив. сис­­темами, або автогенераторами називають системи, в яких за відсутності зовн. періодич. си­­ли можуть виникати та встановлюватися періодичні К. (автоко­­ливання), властивості яких визначаються властивостями самої системи та слабко залежать від початк. умов. Прикладами автогенераторів різної природи можуть бути мех. та електрон. годинники, LC-, RC- та різноманітні імпульсні автогенератори в радіотехніці, реакція Білоусова–Жаботинського (в хімії), сер­­це (в біології). Енергія на збудження автоколивань береться або від зовн. джерела (елект­­рон. годинник, увімкнений в елек­­тромережу), або за рахунок енергії, накопиченої в самій системі (потенціал. енергія підтягнутої вгору гирі в мех. годин­­нику). Встановлення амплітуди в автогенераторах відбувається за рахунок їхньої нелінійності, тому будь-який автогенератор – це нелінійна система. За формою вихід. сигналу серед автогенераторів виділяють генератори квазігармоніч. сигналів (форма сигналу майже гармонічна) та генератори релаксацій. сигналів (форма сигналу суттєво відрізняється від гармоніч. і може бути, напр., періодич. послідовністю прямокут. або трикут. імпульсів). Якщо на автогенератор квазігармоніч. сигналів діє зовн. гармонічна сила, можливе явище вимушеної синхронізації, або нав’язу­­вання частоти. Воно полягає в тому, що під дією зовн. сили (її амплітуда може бути й малою) автоколивання придушуються, і на виході спостерігаються ли­­ше К. з частотою та фазою зовн. сили. Це явище використовують для стабілізації частоти автогенераторів великої потужності. Деяке ускладнення схеми автогенератора призводить до того, що він може стати джерелом стохастич. (непередбачу­­ваного) сигналу. Подібні прист­­рої відомі як генератори шуму, які нині застосовують в багатьох задачах науки і техніки. Коливні системи з багатьма ступенями вільності (в найпростішому випадку кількість ступенів вільності – це мін. кількість координат і швидкостей, необхідних для опису системи) можна уявити як набір зв’язаних осциляторів. Прикладами можуть служити маятники, зв’язані пружиною, коливні контури з індуктив. або ємніс. зв’язком та ін. Такі системи характеризуються не однією, а кількома (за кількістю ступенів вільності) частотами влас. К. У ліній. консерватив. системах із багатьма ступенями вільності можливий ефект обміну енергією між окремими (парціал.) осциляторами (обмін енергією між ступенями вільності). Його результатом є відмінність влас. частот від парціал. частот (тобто влас. частот окремих осциляторів за відсутності зв’язку між ними).

Кожній влас. частоті відповідає своя мода – тип К., що характеризується певним співвідношенням між амплітудами та фазами К. окремих осциляторів. Якщо на лінійну коливну систему з багатьма ступенями вільності діє зовн. гармонічна сила, резонанс можливий на кожній із влас. частот системи. Якщо сила діє на один із зв’язаних осциляторів, у ньому на деякій частоті К. можуть зникнути за рахунок ком­­пенсації зовн. сили дією ін. ос­­циляторів системи (явище динаміч. демпфірування). В ін. ос­­циляторах К. теж можуть зникати (явище компенсації різних типів зв’язку). Якщо зв’язок існує між автогенераторами (або колив. контурами в багаточастот. автогенераторі), він спричиняє ефект конкуренції мод. Спів­­існування мод можливе лише за слабкого зв’язку. В усіх ін. випадках у результаті конкуренції виживає лише одна мода, яка і встановлюється в системі. Результат конкуренції може бу­ти визначений наперед характером зв’язку (коли один з автогенераторів може ефективно придушувати К. інших, не зазнаючи поміт. впливу з їхнього боку – випадок сильного невзаєм. зв’язку), а може залежати від початк. умов (коли за наявності сильного зв’язку всі автогенератори є відносно рівноправними – випадок сильного взаєм. зв’язку). В остан. випадку в системі встановлюється та мода, яка переважала в початк. момент часу. В системі зв’яза­­них автогенераторів можливі також режими стохастич. автоколивань. Існують і розподілені коливні системи (формально вони мають нескінченну кількість ступенів вільності). Найпростіший одновимір. приклад такої системи – це натягнута пружна струна, кінці якої жорстко закріплені. К. такої струни можна формально представити як суму двох гармоніч. хвиль однак. амплітуди, що біжать назустріч одна одній (стояча хвиля). На довжині струни повинна вкладатися ціла кількість півхвиль стоячої хвилі, чим і визначається нескінчен. набір влас. частот такої системи. Двовимір. аналогом даної системи є жорстко закріплена периметром мембрана (напр., прямокут. фор­­ми), тривимірним – резонатор для електромагніт. К. з провід. стінками (напр., у формі паралелепіпеда або циліндра).

Літ.: Андронов А. А., Витт А. А., Хайкин С. Э. Теория колебаний. Моск­­ва, 1981; Мигулин В. В., Медве­­дев В. И., Мустель Е. Р., Парыгин В. Н. Основы теории колебаний. Москва, 1988; Ра­­бинович М. И., Трубецков Д. И. Вве­­дение в теорию колебаний и волн. Мо­­сква, 2000; Василенко М. В., Алексей­­чук О. М. Теорія коливань і стійкості руху. К., 2004; Азарєнков М. О., Гір­­ка В. О., Лапшин В. І., Муратов В. І. Тео­­рія коливань та хвиль. Х., 2005; Анісі­­мов І. О. Коливання та хвилі. К., 2009.

І. О. Анісімов

Рекомендована література

1. Андронов А. А., Витт А. А., Хайкин С. Э. Теория колебаний. Моск­­ва, 1981;
   Google Scholar Internet
2. Мигулин В. В., Медве­­дев В. И., Мустель Е. Р., Парыгин В. Н. Основы теории колебаний. Москва, 1988;
   Google Scholar Internet
3. Ра­­бинович М. И., Трубецков Д. И. Вве­­дение в теорию колебаний и волн. Мо­­сква, 2000;
   Google Scholar Internet
4. Василенко М. В., Алексей­­чук О. М. Теорія коливань і стійкості руху. К., 2004;
   Google Scholar Internet
5. Азарєнков М. О., Гір­­ка В. О., Лапшин В. І., Муратов В. І. Тео­­рія коливань та хвиль. Х., 2005;
   Google Scholar Internet
6. Анісі­­мов І. О. Коливання та хвилі. К., 2009.
   Google Scholar Internet

завантажити статтю