Матриця

Визначення і загальна характеристика

МА́ТРИЦЯ — таблиця, що складається з m рядків та n стовпчиків, елементи a_ij якої належать деякій множині K

Цю таблицю також називають m × n -М. над K, або М. роз­міру m × n над K. Нехай M_m,n(K) — сукупність усіх m × n -М. над K. Якщо m = n, то таблицю називають квадрат. М. порядку n. Множина M_n(K) — сукупність усіх квад­­рат. М. роз­міру n над K. Для М. також використовують по­значе­н­ня

У найважливіших випадках у ролі поля K ви­ступає поле дійс. чисел, поле комплекс. чисел, кільце многочленів, кільце цілих чисел, кільце функцій, довіл. асоціат. кільце. Операції додава­н­ня та множе­н­ня, ви­значені на K, природ. чином пере­носяться на M. Над K виникає матричне числе­н­ня. Нехай К — асоціат. кільце, A = ||a_ij|| та B = ||b_ij|| — М. роз­міру m × n над K. Тоді сума A + B = ||a_ij + b_ij ||. При цьому A + B ∈ M_m,n(K), додава­н­ня комутативне й асоціативне. Нульовою М. з M_m,n(K) називають М., всі елементи якої дорівнюють нулю. Для кожної A ∈ M_m,n(K) має місце рівність A + 0 = 0 + A = A. Нехай A = ||a_ij|| ∈ M_m,k(K) та B = ||b_ij|| ∈ M_k,n(K). Добуток матриць A та B ви­значається за правилом C = ||g_ij|| ∈ M_m,n(K), де

Множе­н­ня М. асоціативне та дистрибутивне від­носно додава­н­ня, але не комутативне. Якщо K — кільце з одиницею, то M. E_n, у якої на діагоналі (тобто не пере­тині рядків і стовпців з однаковими номерами) стоять 1, а на ін. позиціях стоять 0, буде одиницею кільця M_n(K). Множе­н­ня М. некомутативне: при n > 2 для кожного асоціат. кільця з одиницею зна­йдуться такі A, B ∈ M_n(K), що AB ≠ BA. Нехай α ∈ K, A = ||a_ij|| ∈ M_m,n(K). Добутком М. A на (число) α називають М. αA = ||αa_ij|| ∈ M_m,n(K). Нехай K — кільце з одиницею, М. e_ij називають М., у якої єдиний ненульовий елемент дорівнює 1 і знаходиться на позиції (i, j). Якщо K — поле, то M_m,n(K) — вектор. про­стір над K роз­мірності mn, а М. e_ij — твірні цього простору. Нехай m = m₁ + ... + m_k та n = n₁ + ... + n_l по­да­н­ня чисел m та n у ви­гляді суми натуральних. Тоді М. A ∈ M_m,n(K) можна записати як

де A_ij ∈ M_mi,_nj(K). Такий запис М. називають блоч. М. Нехай B = (Bij) ∈ M_n,p(K) — блочна М. і p = p₁ + ... + p_t. Тоді М. C = AB буде блочною М. і складатиметься з блоків C_ij, i ≤ k, j ≤ t, причому

Нехай K — поле, М. A ∈ M_n(K) називають оборотною, якщо існує М. B ∈ M_n(K), така що AB = E_n. Не­зважаючи на те, що добуток М. некомутативний, при цьому виконується рівність BA = E_n. У цьому випадку пишуть B = A^–1, М. A називають оборотною (або невиродженою), а М. B — оберненою до A. Сукупність всіх оборот. М. з M_n(K) утворює групу від­носно множе­н­ня. Нехай v₁, ..., v_n — базис вектор. простору V роз­мірності n. Кожна М. A = ||a_ij|| ∈ M_n(K) задає деяке лінійне пере­творе­н­ня вектор. простору за правилом

Лінійне пере­творе­н­ня називають невиродженим, якщо (V) = V. є невиродженим тоді, коли М. A невироджена. Нехай A = ||a_ij|| ∈ M_n(K). М. B = ||b_ij|| ∈ M_n(K) називають транс­понованою до A і по­значають B = A^t, якщо b_ij = a_ji для всіх i та j. М. A невироджена тоді, коли A^t невироджена. Вектор з вектор. простору V роз­мірності n над полем K можна роз­глядати як М. з n рядків та одного стовпчика. Тоді добуток Av, зна­йдений за правилом множе­н­ня М., є деяким вектором з V. Якщо для М. A ∈ M_n(K), вектора v ∈ V та λ ∈ K виконано рівність Av ∈ λv, то λ називають влас. числом A, а v ∈ V — влас. вектором A. М. ліній. пере­творе­н­ня, записані в різних базисах, називають подібними. Для М. A ∈ M_n(K) ви­значають мін. многочлен μ_A(x) як многочлен найменшого степеня, для якого виконана рівність μ_A(A). Для М. A ∈ M_n(K) многочлен ƒ_A(x) = det(A — xE) на­­зивають характеристич. многочленом М. A. Множина влас. чисел М. A збігається з множиною коренів ƒ_A над K. Крім того, за теоремою Гамільтона–Келі справджується матрична рівність ƒ_A(A) = 0. Характеристичні многочлени подіб. М. збігаються.

Літ.: див. Матриць теорія.

В. В. Кириченко, М. В. Плахотник

Завантажити статтю