Метричний простір

Визначення і загальна характеристика

МЕТРИ́ЧНИЙ ПРО́­СТІР

Нехай X — множина і d : X × X → R — функція на декарт. добутку X × X, що задовольняє такі умови: d(x, y) = 0, тоді та лише тоді, коли x = y; d(x, y) = d(y, x); d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y), де x, y, z ∈ X. Тоді пару (X, d) називають М. п., а функцію d — метрикою на X. Властивості (d1)–(d3) називають аксіомами метрики: (d1) — аксіома тотожності, (d2) –аксіома симетрії, (d3) — аксіома (нерівність) трикутника. Елементи множини X у М. п. (X, d) називають точками.

Нехай X — множина, а функція d : X × X → R за­дана так: d(x, y) = 0, якщо x = y та d(x, y) = 1 якщо x ≠ y, x, y ∈ X. У цьому випадку d називають дис­крет. метрикою, а про­стір (X, d) — простором ізольов. точок. Нехай X = R — множина дійс. чисел, а метрика d ви­значена так: d(x, y) = |y — x|, x, y ∈ R. Тоді (R, d) є М. п., метрику d на R називають евклідовою. Нехай X — множина впорядков n чисел x = (x1, x2, ..., xn), xi ∈ R, i = 1, 2, ..., n з метрикою

Такий М. п. (X, d) називають n-ви­­мір. евклід. простором. Множина X = C[a, b] неперерв. функцій на проміжку [a, b] з метрикою

d(f, g) = mx∈[a,ab] x |g(x) — f(x)|

є М. п., f, g ∈ C[a, b]. Якщо по­значити через l2 множину послідовностей x = (x1, x2, ..., xn, ...), що задовольняють умову Σ∞i=1x2i ≤ ∞, то множину l2 можна пере­творити в М. п., увівши таку метрику:

На множині усіх обмежених послідовностей, тобто на множині з елементами x = (x1, x2, ..., xn, ...), що задовольняють умову Σ∞i=1|xi| ≤ ∞ можна ввести таку метрику: d(x, y) = supi|yi — xi|. Такий про­стір часто по­значають через l1 У просторі Ck[a, b] усіх k-диференці­йов. функцій на від­різку [a, b] метрику вводять за формулою: d(f, g) = max(d0(f, g), d0(fʼ, gʼ), ..., d0(f(k), g(k))), де d0 — метрика з (4).

Бієкцію між М. п. (X, d) та (Y, p), що зберігає від­стань, називають ізометрією. Якщо така ізометрія існує, то простори (X, d) та (Y, p) називають ізометричними. Нехай (X, d) — М. п. і Y — під­множина X. Обмежуючи метрику d простору X на під­про­стір Y, можна отримати метрику r = d|Y×Y на Y, що тим самим наділяє під­множину Y простору X структурою М. п. Про­стір (Y, r) називають під­простором М. п. (X, d). М. п. називають повним, якщо будь-яка його фундам. послідовність збігається до точки цього простору. Будь-який М. п. (X, d) наділяється природ. топологією, база якої складається з від­критих куль B(x, r) = {y ∈ X|d(x, y) < r}, де точка x є центром кулі, а r — її радіусом. Підмножину A ⊂ X М. п. (X, d) називають обмеженою, якщо існує D таке, що d(x, y) < D для будь-яких x, y ∈ A. Дві метрики, що задані на одній множині, називають еквівалентними, якщо вони породжують одну й ту ж топологію.

М. п. є компактним тоді й тільки тоді, коли будь-яка послідовність його точок містить збіжну під­послідовність. Під­про­стір скінчен­новимір. евклід. простору є компактним, якщо він є за­мкненим та обмеженим.

Нехай (X, d) — М. п., A ⊂ X і b ∈ X — точка. Від­стан­ню від точки b до множини A називають число d(b, A) = inf(d(b, a)|a ∈ A). Нехай A, B — обмежені під­множини М. п. (X, d). Від­стан­ню Ґаусдорфа між множинами A та B називають число h(A, B) = max(supa∈Ad(a, B), supb∈B d(A, b)).

Нехай X — множина, d : X × X → R — функція, що задовольняє умови (d2) та (d3) і таку умову (d0): d(x, x) = 0, x ∈ X. Таку функцію d називають псевдометрикою, а про­стір (X, d) — псевдометричним. З означе­н­ня випливає, що різні точки псевдометрич. простору можуть знаходитися на нульовій від­стані. Псевдометрика канонічно ви­значає метрику на фактор-просторі X/:, де x : y тоді й тільки тоді, коли d(x, y) = 0. Метрику d на множині x називають ультраметрикою, якщо вона додатково задовольняє сильну нерівність трикутника d(x, y) = max(d(x, z), d(z, y)), x, y, z ∈ X.

Літ.: Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функцио­нального анализа. 4-е изд. Москва, 1976; Березанский Ю. М., Ус Г Ф., Шефтель З. Г. Функциональный анализ. Курс лекций. К., 1990.

Б. Г. Фещенко

Завантажити статтю