Механіка рідини, газу і плазми

МЕХА́НІКА РІДИНИ́, ГА́ЗУ І ПЛА́ЗМИ – розділ механіки, в якому за допомогою спостережень, експериментів та використання математичних моделей вивчають стани рівноваги, рухи рідких і газоподібних середовищ та їхню взаємодію з твердими тілами. У реакції на дію різних зовн. факторів у рідин, газів і плазми є багато спільного, що й зумовило формування гідроаеромеханіки. Ті ж самі об’єкти за різних умов можуть проявляти властивості рідини або твердого тіла. Прикладом є гідродинам. теорія кумулятив. дії вибуху М. Лаврентьєва. Багато аспектів властивостей плазми також можна описати в рамках моделей, що істо­рично формувалися в аерогід­ромеханіці, це зумовило становлення такої наук. дисципліни, як М. р., г. і п. Осн. властивістю рідин, газів і плазми, на відміну від твердого тіла, вважають здатність необмежено деформуватися під дією зсув. сили. Тому, якщо рідина чи газ знаходяться у стані спокою на будь-якій поверхні, в об’ємі є лише нормальні до поверхні сили, що називають тиском. Між рідиною і газом існує фундам. різниця. Газ завжди займає повний об’єм контейнера, де він розміщений. Об’єм рідини практично не змінюється при збільшенні об’єму контейнера. Саме цим зумовлена можливість виникнення явища, що притаманне лише рідині — кавітації та утворення крапель. Осн. положення атом. тео­рії про те, що все на світі складається із атомів, і той факт, що в невеликих частинках середовища міститься велика кількість атомів, дають підстави для використання 2-х підходів до вивчення характеристик потоків рідин, газів і плазми — макро- (середовище розглядається як суцільне) та мікроскопічного (як сукупність окремих частинок, що взаємодіють за певними законами). Потенційно мікроскопіч. підхід має більш широке поле застосування, однак осн. рівняння матем. моделей у рамках цього підходу виглядають більш складними. Тому мікроскопіч. підхід використовують у динаміці розріджених газів, коли середня довжина вільного пробігу молекули співставна з характер. розміром тіла, що обтікається. Така ситуація має місце, напр., при обтіканні косміч. апаратів у верх. шарах атмосфери. Завдяки використанню сучас. комп’ю­терів труднощі обчислюв. процедур в обох методах стають практично однаковими й використання мікроскопіч. підходу може стати доцільним для більш широкого кола задач.

Певними знаннями в механіці рідини і газу для вирішення приклад. проблем володіли вже античні цивілізації. Використання парус. суден, будівництво зрошув. каналів відомі з доістор. часів. Першим зафіксованим наук. результатом вважають встановлений Архімедом закон плавання тіл у воді. Важливі цілеспрямовані експерим. дослідж. в епоху Середньовіччя були виконані Л. да Вінчі, який описав певні характеристики хвиль, струменів рідини. Також він запропонував конструкцію парашута. Першу аеродинам. трубу створив Е. Маріот, спів­автор закону Бойля–Маріота. Сучасна наука в багатьох розділах базується на фундам. результатах І. Ньютона, який запропонував підхід до моделювання потоків в’язкої рідини. У 18–19 cт. у роботах швейцар. математика Д. Бернуллі, франц. учених Л. Ейлера, Ж.-Л. Д’Аламбера, Ж.-Л. Лаґранжа та ін. видат. дослідників закладено основи сучас. М. р., г. і п. Особливе значення мали результати франц. науковців К.-Л. Нав’є, С.-Д. Пуассона, британ. фізика й математика Дж.-Ґ. Стокса, зусиллями яких одержано рівняння Нав’є–Стокса, що описують поведінку в’язкої ньютонів. рідини і донині є одними із найважливіших у задачах матем. моделювання течій рідин та газів. Кін. 19 ст. відзначено роботами англ. фізиків лорда Релея (Дж.-В. Стретта) та О. Рейнольдса, що започаткували системат. вивчення турбулент. течій. До поч. 20 ст. осн. об’єктом дослідж. була рідина (вода). В аеродинаміці визначні результати одержано на межі 18 і 19 ст. у дослідж. англ. вченого-винахідника Дж. Кейлі. Він сформулював сутність проблеми створення літал. апарата, важчого за повітря, побудував ефективні планери і запропонував конструкцію практично сучас. літака. Поч. 20 ст. ознаменовано двома визнач. подіями — першим польотом літака братів Райт (1903) і представленням теорії примежового шару Л. Прандтлем. Дослідж. з аеродинаміки стали пріоритетними, зокрема знач. розвитку набула аеродинаміка над- та гіперзвук. потоків, важливих для вирішення приклад. задач літако- та ракетобудування. Дослідж. швидкіс. рухів є також важливим напрямом у сучас. гідродинаміці у зв’язку з експе­риментально досягнутими швид­костями руху тіл у воді, близькими до швидкості звуку. При цьому виникає розрив суцільності рідини і формується суперкавітац. обтікання. Поява ком­п’ютерів у 2-й пол. 20 ст. призвела до формування нового розділу гідроаеромеханіки — комп’ю­тер. М. р., г. і п.

Кінематичні характеристики суцільного середовища. Для опису положення та руху частинок суціл. середовища використовують 2 підходи. Один із них пов’язують з ім’ям Ж.-Л. Лаґранжа. Якщо положення частинки середовища визначати декартовими координатами x1, x2, x3, то для опису її руху достатньо задати три функції xi = xi(a1, a2, a3, t) (i = 1, 2, 3), в яких величини ai задають координати частинки в початк. момент часу. Величини ai, t називають Лаґранжевими змінними. Другий підхід, який пов’язують з ім’ям Л. Ейлера, полягає в тому, що потік рідини чи газу описують набором значень векторів швидкості частинок середовища V(V1, V2, V3), визначених у точках з координатами x1, x2, x3. Рух середовища описується 3-ма функціями Vi = Vi (x1, x2, x3, t) (i = 1, 2, 3). Змінні величини x1, x2, x3, t називають змінними Ейлера. Для наоч. представлення кінемат. характеристик потоків у гідроаеромеханіці використовують такі геом. образи, як траєкторія частинок сере­довища та лінії току. Лінію току визначають як таку, у кожній точці якої вектор швидкості частинки середовища направлений по дотичній до неї. Для стаціонар. потоків (характеристики потоку не залежать від часу) траєкторії частинок та лінії току співпадають. При аналізі кінематики абсолютно твердого тіла встановлено можливість виділити в заг. русі поступал. та обертал. рухи. Аналогічно, описуючи рух елементар. об’єму рідини, виділяють 3 складові. Крім руху твердого тіла, в ньому здійснюються рухи, пов’язані зі зміною форми і об’єму, — деформац. рухи. Швидкість будь-якої точки елементар. об’єму речовини виражається сумою V = Vh + Vd. Перший доданок, що відповідає рухові «затверділого» елементар. об’єму, має вигляд Vh = V0 + w × δr. Тут w = 1–2 rotV є вектором миттєвої кутової швидкості. Деформац. рухи елементу суціл. середовища пов­ністю визначаються тензором швидкостей деформацій, компонентами якого є похідні компонента вектора швидкості за координатами. Можливість представлення рухів елементар. об’єму такою суперпозицією становить зміст теореми Гельмгольца. Наявність двох складових твердотіл. руху в полі швидкостей є підставою для класифікації рухів рідин, газів і плазми. Рух рідини, що супроводжується обертанням її елементар. об’ємів, називають вихровим. Рухи з нульовою кутовою швидкістю називають безвихровими. У вихрових рухах за аналогією з лініями току для вектора швидкості вводять поняття «вихр. лінія», у кожній точці якої вектор кутової швидкості направлений по дотичній. Важливою властивістю вихр. лінії є те, що вона не може обриватися у рідині. Такі лінії замкнені або закінчуються на поверхнях, що обмежують потік. Важлива кінемат. характеристика потоку — прискорення елементар. об’єму. Ця характеристика досить прос­то виражається у змінних Лаґранжа, оскільки початк. координати точки є фіксов. величинами. У змінних Ейлера під час руху елементар. об’єм переходить у точку, координати якої залежать від часу. Цю залежність варто прийняти до уваги і похідна за часом від швидкості набуває вигляду

Перший доданок називають локальною, а другий — конвектив. похідними. У змінних Ейлера прискорення елементар. об’єму є неліній. функцією його швидкості. Як і в багатьох ін. розділах фізики, нові знання у М. р., г. і п. одержують із використанням математичного аналізу, комп’ютер. моделювання та експерименту. Ці три компоненти доповнюють один одного і дають можливість одержати якісні й кількісні оцінки багатьох складних процесів.

Математичне моделювання базується на використанні заг. законів збереження, доповнених співвідношеннями, що характеризують специф. властивості досліджуваних середовищ. Часто ці співвідношення називають рівняннями стану. У сучас. механіці існує велика кількість моделей, що використовують для конкрет. типів потоків та умов, у яких ці потоки формуються. Перелік матем. моделей, які застосовують у сучас. гідроаеромеханіці, практично не вичерпний. Серед них — моделі ідеал. стисливої та нестисливої рідини, модель ідеал. газу, в’язка ньютонів. нестислива рідина, не ньютонів. в’язка рідина, різні моделі турбулентності та багато інших, у яких враховують такі фактори, як хім. процеси в потоці, фазові переходи, вплив зовн. електромагніт. полів. Як приклад матем. моделі у М. р., г. і п. наведемо рівняння для вивчення характеристик потоків в’язкої нестисливої рідини. Фіз. параметрами, що визначають властивості рідини, є густина r та динам. в’язкість m, які вважають константами. Шуканими характеристиками потоку є швидкість V (V1, V2, V3) та тиск P. Для формування системи рівнянь, що дозволяють формулювати нестаціонарну крайову задачу для визначення цих 4-х величин, використовують співвідношення другого закону Ньютона та рівняння збереження маси (рівняння нерозривності). Для визначення компонентів тензора напружень на поверхні елементар. об’єму використовують рівняння стану для ньютонів. в’язкої рідини. З урахуванням цих співвідношень система 4-х рівнянь набуває вигляду

Тут Fi — компоненти вектора зовн. масових сил, v = m/p — кінемат. в’язкість і Δ — оператор Лапласа. Їх називають рівняннями Нав’є–Стокса. Формально маємо 4 рівняння для пошуку 4-х величин, і систему можна вважати замкнутою. Однак, фізично ситуація виглядає більш складно. Наявність в’язкості зумовлює існування дисипації енергії потоку, і ці рівняння варто доповнювати співвідношенням, що виражає закон збереження енергії. Проте в багатьох випадках зміна температури середовища може бути не суттєвою з точки зору зміни його фіз. властивостей і характеристики потоку можна визначати як розв’язки наведених рівнянь. Задача оцінки властивостей розв’язків рівняння Нав’є–Стокса виявилася надзвичайно складною. Це зумовило внесення проблеми пошуку його розв’язків на поч. 2000 Матем. інститутом Клея (США) до списку проблем тисячоліття з виділенням премії в 1 млн дол. за її вирішення. При матем. моделюванні течій рідин, газів і плазми вважають, що розв’язки рівняння Нав’є–Стокса дають можливість одержати достовірну оцінку характеристик потоку в широкому діапазоні змін швидкостей незважаючи на те, що спостереження вказують на несуттєву різницю властивостей течій під час зміни швидкості. При аналізі задач обтікання тіл потоком або оцінці характеристик потоку завжди маємо додатк. параметр у задачі — це характер. розмір об’єкта чи каналу, в якому протікає потік. Для літака, напр., таким параметром може бути довжина хорди крила, для труби — величина діаметра. Після вибору такого параметру в кожній задачі, що описується рівняннями Нав’є–Стокса, можна ввести безрозмір. параметр за формулою

де V — характерна швидкість потоку. Це називають числом Рейнольдса, який своїми дослідами над потоками води в трубах продемонстрував його важливість при класифікації течій. Фізично це число показує співвідношення між силами інерції та силами в’язкості. Крім числа Рейнольдса, в М. р., г. і п. введено багато інших безрозмір. величин (бл. 30-ти), що використовують як при класифікації потоків, так і під час розроблення наближених методів їхнього аналізу із застосуванням матем. моделей. В експериментах із моделями надводних суден велике значення має використання такого критерію, як число Фруда, що характеризує відношення сил інерції та сили гравітації і обчислюється за формулою

Тут g — прискорення сили земного тяжіння. Усі такі числа використовують як критерії подіб­ності під час проведення експерим. досліджень. Визначення критич. значення числа Рейнольд­са, коли відбувається перехід до турбулент. течії, є важливим моментом в аналізі течій рідин, газів і плазми, хоча конкретна його величина дуже чутлива до багатьох факторів, що зазвичай не враховують при постановці гранич. задач для рівнянь Нав’є–Стокса.

Для характеристики різних процесів нині широко використовуть поняття турбулентність. Що стосується потоків рідини чи газу, то мають на увазі потоки, в яких виникають невпорядков. рухи частинок середовища. Вважають, що характеристики таких рухів можуть бути визначені з розв’язків рівнянь Нав’є–Стокса. Невпорядков. характер руху частинок середовища зумовлює необхідність використання методів статист. аналізу з виділенням у полі швидкостей середніх та флуктуац. складових. При цьому операція осереднення (у просторі або часі) рівнянь призводить до незамкнутої системи, в якій кількість рівнянь менша за кількість невідомих. Цю проблему вирішують шляхом встановлення зав’язків між середніми значеннями швидкостей та кореляц. характеристиками флуктуац. складових. Такі зв’язки не можна встановити на основі фіз. законів, і вони формулюються у вигляді напівемпірич. теорій турбулентності, кожна з яких має свою сферу застосування.

Газова динаміка. Більшість задач приклад. гідродинаміки пов’язані з потоками, в яких швидкість частинок середовища або рухомого об’єкта не перевищує швидкості звуку у воді. Що стосується аеродинаміки, то тут проблеми авіації та косміч. техніки пов’язані переважно зі швидкостями, що значно перевищують швидкість звуку в газах. Потоки з такими швидкостями вимагають спец. підходу до побудови матем. моделей та техніки проведення експерим. досліджень. Традиційно цей розділ М. р., г. і п. називають газовою динамікою. Моделюючи швидкісні газові потоки із числом Маха більшим за одиницю, обов’язко­во враховують стисливість газу і виникнення особливих утворень — удар. хвиль. Вони становлять ділянки в потоці з настільки різкими змінами характеристик, що моделюються як нескінченно тонкі поверхні розриву, на яких характеристики газу змінюються стрибком. Тому при матем. моделюванні потоків у газовій динаміці шуканими є функціонал. залежності, що не тільки задовольняють звич. рівняння збереження, а й забезпечують спец. умови на поверхнях розриву. В ділянках за межами поверхонь розриву газове середовище можуть розглядати як ідеал. газ. Дисипація енергії враховується спец. умовами на поверхнях розриву (адіабата Гюґоніо).

Комп’ютерна гідроаероме­­ханіка. М. р., г. і п. — одна з пер­­ших наук. дисциплін, де ко­м­п’ютер виявився потуж. засобом розв’язання складних задач та формування нових фундам. уяв­лень про закономірності навколиш. світу. Саме комп’ютерне моделювання прогнозу погоди продемонструвало наявність закономірності у виникненні хаотич. поведінки в динам. системі, що описується детермінованими матем. рівняннями. Роботу амер. математика Е.-Н. Лоренца вважають початком формування сучас. уявлень про детермінований хаос, заг. властивості у поведінці неліній. систем. Практ. інж. потреби стимулювали створення потуж. програм. комплексів для розв’язання задач механіки. Поряд із комерц. продуктами важливе значення для розвитку комп’ютер. гідроаеромеханіки мають програмні продукти з вільним доступом Open FOAM. Їхнє використання дає можливість аналізувати складні потоки з урахуванням хім. реакцій, турбулентності, теплофіз. процесів, процесів генерації звуку потоком.

Сили, що діють на рухоме тіло. Перші оцінки сили, що діє на пластинку в потоці, зроблені І. Ньютоном у фундам. праці «Philosophiae Naturalis Principia Mathematica» («Математичні начала натуральної філософії», 1687). Його міркування не сприймають сучасні науковці. В його оцінках одержано складову сили, перпендикулярну до напрямку потоку (підйомну силу), пропорційною квадрату синуса кута атаки, що значно занижувало величину цієї сили. Авторитет І. Ньютона був настільки великим, що довгий час цей результат не піддавали сумніву. Практ. робота зі створення перших літаків базувалася на експерим. дослідженнях. Результат І. Ньютона піддав різкій критиці Д. Менделєєв. Що стосується сили опору (складової сили в напрямку, протилеж. потоку), то твердження про пропорційність її квадрату швидкості в багатьох випадках підтверджуються. Міркування, що призвели його до такого висновку, нині вважають хибними. Оскільки на поверхні обтіч. тіла діють нормал. і дотичні напруження, заг. величина опору має визначатися інтегруванням по всій поверхні складових цих сил у напрямку руху. В більшості випадків саме розподіл тиску по поверхні є визначальним, і тоді величина опору пропор­ційна квадрату швидкості. Коефіцієнт пропорційності залежить від форми тіла і визначається експериментально або на основі комп’ютер. розрахунків. Прикладом руху, в якому по­рушується квадратична залежність, є рух пластинки у в’язкій рідині в напрямку своєї площини. Для ньютонів. рідини опір такому рухові пропорційний швидкості. Під час руху тіл на вільній поверхні рідини виникає нова складова опору — хвильовий опір, що у багатьох випадках, пов’язаних із задачами суднобудування, є визначальним у заг. величині опору. Розроблення методів зниження опору є одним із актуал. напрямів у приклад. гідроаеромеханіці. Важливе місце в історії розвитку М. р., г. і п. мають дослідж. сил, що діють на тіло в потоці ідеал. рідини. Встановлений результат про відсутність опору описують як парадокс Д’Аламбера. Такий результат утруднював одержання теор. оцінки величини підйом. сили в рамках моделі ідеал. рідини. Для випадку крилового профілю з гострим заднім ребром за допомогою постулату М. Жуковського одержано представлення потоку ідеал. рідини, що давало можливість обчислити величину підйом. сили. Сила опору в такій течії не виникала. У цьому підході, власне, використано факт неодно­значності розв’язку задачі про потенціал. обтікання тіла ідеал. рідиною. Такий суто матем. підхід до фіз. задачі призвів до того, що питання про механізм виникнення підйом. сили крила дискутується досі. З використанням сучас. обчислюв. техніки фактичну оцінку величин опору та підйом. сили можна визначити з урахуванням дуже складної структури потоку в примежовому шарі.

Експериментальна аерогідромеханіка. Довгий час у зв’язку з труднощами одержання кількіс. оцінок характеристик потоків рідин, газів і плазми з використанням матем. моделей осн. інформацію для вирішення практ. задач судно-, авіа-, ракетобудування та ін. галузей промисловості інж. одержували на основі експерим. досліджень. У багатьох країнах побудовано складні експерим. комплекси для проведення дослідж. у широкому діапазоні швидкостей потоку. Однією із найважливіших проблем експерим. дослідж. є та обставина, що на модел. зразках не вдається провести повне моделювання за всіма визначал. безрозмір. критеріями. Так, при експерим. дослідж. моделей суден неможливо одночасно забезпечити моделювання за 2-ма критеріями — числом Рейнольд­са та числом Фруда. Тому при створенні експерим. установок намагалися максимально збільшувати їхні розміри, забезпечуючи можливість використання великомасштаб. моделей. Однак їхнє спорудження та експлуатація вимагають знач. коштів. Широке впровадження у дослідниц. роботу комп’ютерів суттєво змінило сам характер експерим. роботи, дозволило зменшити гостроту проблеми масштабування для моделі і, що особливо важливо, зменшити кількість експерим. досліджень.

В Україні створ. досить потужну базу для проведення експерим. дослідж. в аерогідромеханіці. Аеродинам. труби різного призначення функціонують у КБ «Антонов», Нац. авіац. університеті (обидва — Київ). Комплекс аеродинам. труб Нац. аерокосміч. університету «Харків. авіац. інститут» внесено до реєстру комплексів, що становлять нац. надбання України. До нац. надбання України належить також комплекс експерим. стендів та гідродинам. труб Інституту гідромеханіки НАНУ (Київ).

Хвилі в рідинах і газах. Окрім таких рухів, що пов’язані з переносом маси речовини і об’єднуються поняттям «потоки», фіз. властивості рідин, газів і плазми зумовлюють можливість виникнення в них специфіч. рухів, коли немає переносу маси, а середовищем поширюється збурення, що викликає зміну стану. Такі рухи визначають як хвилі. Розрізняють декілька типів хвильових рухів. Виникнення і поширення звук. хвиль зумовлено пруж. властивостями речовин, що забезпечують відновлення об’єму частинки рідини і газу, зміненого зовн. силами, після припинення дії цих сил. Збурення середовища при поширенні звук. хвиль пов’язані з коливал. рухами його частинок біля положення рівноваги. При поширенні хвилі переноситься збурення, а не речовина. Швидкості руху частинок середовища значно менші від швидкості поширення хвилі. Відношення швидкості руху частинки середовища до швидкості звуку дуже важливе для характеристики руху. Це відношення називають числом Маха. При поширенні звуку в повітрі важливе значення має ефект нагріву здеформованих частинок середовища. Процес деформації є адіабатичним. Припущення про ізотермічність процесу поширення звук. хвиль у повітрі зумовило суттєву похибку в оцінках Ньютона для швидкості звуку. Для звук. хвиль у воді різниця між ізотерміч. та адіабатич. швидкістю звука несуттєва. Сама величина швидкості звуку є фіз. характеристикою середовища і в досить широких межах не залежить від інтенсивності збурення. Другий тип хвиль пов’яза­ний зі збуреннями, що виникають на вільній поверхні рідини. Відновлюв. силою, що повертає збурену частинку рідини в положення рівноваги, є сила гравітації. У багатьох випадках властивості звук. та гравітац. хвиль можна описати з використанням ліній. матем. моделей. Однак при знач. амплітудах збурень властивості хвиль проявляють залежність від інтенсивності збурення. Завалювання поверхн. хвиль при підході до берега є проявом неліній. ефектів, що супроводжують поширення хвилі на мілкій воді. Цим стимулюється розвиток неліній. теорій в акустиці та гідродинаміці поверхн. (гравітац.) хвиль. Третій тип хвиль визначають як ударні хвилі. Такі збурення виникають у газах, якщо джерело збурення рухається зі швидкістю, що перевищує локал. швидкість звуку. В цьому випадку число Маха перевищує одиницю, і рух газу має значні особливості. Виникнення такого типу збурень пов’язано з польотами літаків, ракет та з процесами детонації при вибухах. Див. також Механіка деформівного твердого тіла.

Літ.: Путята В. Й., Сідляр М. М. Гідроаеромеханіка. К., 1963; E. N. Lorenz. Deterministic non-periodic flow // J. of Atmospheric Sciences. 1963. Vol. 20, № 2; Лаврентьев М. А., Шабат Б. В. Проблемы гидромеханики и их математические модели. Москва, 1973; Уизем Дж. Линейные и нелинейные волны / Пер. с англ. Москва, 1977; Берд Г. Молекулярная газовая динамика / Пер. с англ. Москва, 1981; Ван-Дайк М. Альбом течений жидкости и газа. Москва, 1986; Черный Г. Г. Газовая динамика. Москва, 1988; Прандтль Л. Гидроаэромеханика / Пер. с англ. Москва; Ижевск, 2002; J. A. D. Ackroyd. Sir Gearge Cayley the father of aeronautics. Part 1. The invention of the airplane // Notes and Records of the Royal Society. London, 2002. Vol. 56; Крайко А. Н. Краткий курс теоретической газовой динамики. Москва, 2007; Басс В. П. Молекулярная газовая динамика и ее приложения в ракетно-космической технике. К., 2008; D. McLean. Understanding Aerodynamics. Arguing from the real Physics. Wiley, 2013.

В. Т. Грінченко

Рекомендована література

1. Путята В. Й., Сідляр М. М. Гідроаеромеханіка. К., 1963;
   Google ScholarInternet
2. E. N. Lorenz. Deterministic non-periodic flow // J. of Atmospheric Sciences. 1963. Vol. 20, № 2;
   Google ScholarInternet
3. Лаврентьев М. А., Шабат Б. В. Проблемы гидромеханики и их математические модели. Москва, 1973;
   Google ScholarInternet
4. Уизем Дж. Линейные и нелинейные волны / Пер. с англ. Москва, 1977;
   Google ScholarInternet
5. Берд Г. Молекулярная газовая динамика / Пер. с англ. Москва, 1981;
   Google ScholarInternet
6. Ван-Дайк М. Альбом течений жидкости и газа. Москва, 1986;
   Google ScholarInternet
7. Черный Г. Г. Газовая динамика. Москва, 1988;
   Google ScholarInternet
8. Прандтль Л. Гидроаэромеханика / Пер. с англ. Москва; Ижевск, 2002;
   Google ScholarInternet
9. J. A. D. Ackroyd. Sir Gearge Cayley the father of aeronautics. Part 1. The invention of the airplane // Notes and Records of the Royal Society. London, 2002. Vol. 56;
   Google ScholarInternet
10. Крайко А. Н. Краткий курс теоретической газовой динамики. Москва, 2007;
    Google ScholarInternet
11. Басс В. П. Молекулярная газовая динамика и ее приложения в ракетно-космической технике. К., 2008;
    Google ScholarInternet
12. D. McLean. Understanding Aerodynamics. Arguing from the real Physics. Wiley, 2013.
    Google ScholarInternet

завантажити статтю