Моделей теорія

Визначення і загальна характеристика

МОДЕ́ЛЕЙ ТЕО́РІЯ  — розділ математики, що виник на межі алгебри та математичної логіки. Перші приклади моделей матем. теорій з’явилися у 19 ст. для доведення несуперечливості неевклід. геометрії. У 20 ст. поняття «моделі» розвивали й уточнювали у зв’язку з розвитком формал. теорій — довіл. множин тверджень, записаних за правилами матем. логіки з використанням алфавіту, що, окрім логіч. символів, містить ще й символи змінних, функцій і пре­дикатів. Якщо символам функцій і предикатів можна так поставити у відповідність функції і предикати на певній множині, що всі твердження теорії будуть правильними, то цю множину з відповід. набором функцій і пре­дикатів називають моделлю або інтерпретацією теорії. Характер. рисою М. т. є постійне розрізнення синтаксису формал. мов (прикладами синтаксич. характеристик є алфавіт мови, правила побудови речень, довжина речень тощо) і їх семантики (вивчає властивості моделей — їх існування, будову, питання ізоморфності та ін.), а об’єктом вивчення М. т. стали зв’язки між синтаксич. властивостями формал. теорій і семантич. властивостями їх моделей. У самостій. розділ матем. логіки М. т. виділили наприкінці 1940-х — на поч. 1950-х рр. після опублікування праць амер. математиків Л.-А. Генкіна, А. Робінсона і А. Тарського. Назву «М. т.» запропонував 1954 А. Тарський. До цього і деякий час паралельно з цим використовували назву «метаматематика алгебри». Вивчення множин тверджень у ролі матем. об’єктів виявилося дуже корисним і з погляду застосувань М. т. в ін. розділах математики, зокрема в алгебрі й аналізі. Важливими досягненнями на цьому шляху є доведення (не)розв’язності різних класич. тео­рій або класифікація з точністю до елементар. еквівалентності різних класів алгебрич. систем. Напр., виявилася розв’язною елементарна геометрія, тобто доведено існування алгоритму, що дозволяє встановити істинність чи хибність будь-якого твердження елементар. геометрії. Водночас арифметика натурал. чисел і теорія рац. чисел виявилися нерозв’язними. Історично першим (1915–20) результатом М. т. є теорема Льовенгайма–Сколема: кожна несуперечлива теорія із злічен. алфавітом і нескінчен. моделлю має модель кожної нескінчен. потужності. Із неї випливали несподівані наслідки як про існування дуже великих моделей для одних теорій (напр., незлічен. моделей для арифметики), так і дуже малих моделей для ін. (напр., існування злічен. теорії для теорії множин). Наступним важливим результатом М. т. стала теорема компактності (1930, австр. математик К. Ґедель, для злічен. мов; 1936, рос. математик А. Мальцев, у повному об’ємі): якщо кожна скінченна множина тверджень певної теорії має модель, то і вся теорія має модель. А. Мальцев одразу ж дав приклади її застосування поза межами логіки, запропонувавши новий метод одержання локал. теорем в алгебрі. У 1950-х рр. з’явилися нові методи побудови моделей: за допомогою констант, елементар. ланцюгів, ультрадобутків та ін. Для них знайшли (особливо ультрадобутки) численні застосування за межами матем. логіки, переважно в алгебрі. На поч. 1960-х рр. А. Робінсон за допомогою методів М. т. створив нестандарт. аналіз, що реабілітував властивий математикам 17–18 ст. погляд на нескінченно малі як на дійсні постійні величини (у 19 ст. його витіснив вайерштрасів. метод «епсілон-дельта», але цей погляд добре узгоджується з інтуїцією дослідників у природн. науках). Знач. досягненням стала і теорема амер. математика М.-Д. Морлі про категоричність: якщо для теорії зі злічен. алфавітом усі моделі певної незлічен. потужності ізоморфні, то це буде правильним для кожної незлічен. потужності. Нині найрозвиненішим і з найбільшою кількістю застосувань розділом М. т. є т. зв. елементарна, або класична М. т., що вивчає формал. теорії першого порядку. У таких теоріях є лише два квантори — загальності та існування, які можна застосовувати лише до елементів осн. множини. Але з’являються й починають розвиватися все нові й нові розділи: теорія конструктив. моделей, теорія узагальнених кванторів, М. т. для логіки нескінчен. формул, М. т. логік вищих порядків, інтуїціоніст. логіки, модал. логіки, багатознач. логіки, багатосорт. логіки та ін.

Завантажити статтю