Моделювання математичне

Визначення і загальна характеристика

МОДЕЛЮВА́­Н­НЯ МАТЕМАТИ́ЧНЕ — процес роз­робле­н­ня математичної моделі; мистецтво пере­несе­н­ня зав­дань зі сфери за­стосува­н­ня у математичні формулюва­н­ня, теоретичний і чисельний аналіз яких дає уявле­н­ня, від­повіді та вказівки, корисні для практичної діяльності. Моделюва­н­ня у широкому сенсі є дослідж. певного обʼєкта або групи обʼєктів шляхом побудови та ви­вче­н­ня їхніх моделей. На ідеї моделюва­н­ня базується будь-який метод дослідж., при цьому у теор. методах за­стосовують пере­важно абстрактні моделі, а в екс­периментальних — предметні. При дослідж. складне явище замінюють спрощеною копією або схемою, іноді така копія слугує лише для того, щоб за­памʼятати і на­ступ. разу впі­знати це явище. Іноді побудована схема, від­ображаючи лише сут­тєві риси, до­зволяє пі­знавати механізм явища, дає можливість перед­бачати його зміну. Одному і тому ж явищу можуть від­повід­ати різні моделі. Зав­да­н­ня дослідника — перед­бачити характер явища та динаміку процесу. Іноді буває, що обʼєкт до­ступний, але проведе­н­ня екс­периментів з ним потребує знач. фінансів або може при­звести до сер­йоз. екол. наслідків, тому за­стосовують модель. У наук. дослідж. предметом ви­вче­н­ня, за­звичай, є не одне конкретне явище, а низка подіб. явищ, що перед­бачає необхідність формулюва­н­ня заг. тверджень, що називають законами. Природно, що при цьому багатьма деталями нехтують. Для того, щоб більш чітко ви­значити закономірність дослідники сві­домо йдуть на узагальне­н­ня, ідеалізацію, схематичність, тобто досліджують не без­посередньо явище, а його копію або модель. М. м. і повʼя­заний з ним компʼютер. екс­перимент за­стосовують у випадках, коли натурні дослідже­н­ня є неможливими або нераціональ­ними. Осн. етапи М. м.: по­становка задачі, ви­вче­н­ня теор. основ і збір інформації про обʼєкт, формалізація (побудова моделі), вибір методу роз­вʼяза­н­ня, реалізація моделі, аналіз отриманої інформації, пере­вірка адекватності реал. обʼєкту, модифікація моделі. На 1-му етапі ви­значають шляхи побудови заг. під­ходу до роз­вʼяза­н­ня про­блеми, що досліджується. При цьому необхідне глибоке ро­зумі­н­ня сутності сформульованої задачі. Часто правильно по­ставити задачу не менш складно, ніж її роз­вʼязати. По­становка задачі — процес не формальний, і для його реалізації не існує усталених правил. На на­ступ. етапі під­бирають або роз­робляють необхідну теорію. Якщо її немає, то встановлюють причин­но-наслідк. звʼязки між змін­ними, що описують обʼєкт. Ви­значають вхідні та вихідні дані, при­ймають спрощуючі припуще­н­ня. На етапі формалізації (побудови моделі) задають певний «нематем. обʼєкт» — явище природи, кон­струкція, екон. план, вироб. процес тощо. Спочатку ви­значають осн. властивості явища та звʼязки між ними на якіс. рівні. Потім ви­значені якісні залежності формулюють мовою математики, тобто будують матем. модель. Встановлюють клас задач, до яких може бути за­стосована побудована матем. модель. Значе­н­ня параметрів на цьому етапі ще можуть бути не конкретизовані. На етапі вибору методу роз­вʼяза­н­ня остаточно встановлюють значе­н­ня параметрів моделей з урахува­н­ням умов функціонува­н­ня обʼєкта. Для сформульованої матем. задачі вибирають метод роз­вʼяза­н­ня або роз­робляють спец. метод. При виборі методу враховують зна­н­ня користувача, його пріоритети, а також пріоритети роз­робника. Під час реалізації моделі осн. увагу приділяють роз­роблен­ню алгоритмів і чисел. методів роз­вʼяза­н­ня задачі. Побудувавши алгоритм, роз­робляють компʼютерну про­граму, що після тестува­н­ня дає можливість отримати роз­вʼязок задачі. Аналіз отриманої інформації — інтер­претува­н­ня мовою приклад. галузі результатів, отриманих за допомогою матем. моделі. На цьому етапі зі­ставляють отриманий і перед­бачуваний роз­вʼя­зок, здійснюють аналіз похибки моделюва­н­ня. Результати, отримані при моделюван­ні, зі­ставляють з наявною інформацією про обʼєкт або виконують обчислюв. екс­перимент і його результати порівнюють із роз­рахунковими. На етапі модифікації моделі від­бувається ускладне­н­ня моделі для досягне­н­ня її адекватності або спроще­н­ня заради отрима­н­ня прийнятного для практ. за­стосува­н­ня роз­вʼязку. Процес моделюва­н­ня є ітеративним. У разі незадовіл. результатів етапів аналізу отриманої інформації або пере­вірки адекватності реал. обʼєкту повертаються до одного із поперед. етапів, що міг при­звести до роз­робле­н­ня не­вдалої моделі. Матем. модель дає можливість пояснити явище та ви­вчити вплив різних факторів на нього, а також зробити про­гнози щодо поведінки у майбутньому. Разом з тим, матем. модель — це опис системи з викори­ста­н­ням матем. понять і мови. Матем. моделі можуть мати багато форм, зокрема динамічні системи, статистичні моделі, диференціал. рівня­н­ня або ігрові теор. моделі. Ці та ін. типи моделей можуть пере­криватися, причому модель може містити різноманітні абстрактні структури. Загалом, матем. моделі можуть містити і логічні моделі. У багатьох випадках якість М. м. залежить від того, на­скільки ґрунтовними є теор. основи, закладені при побудові матем. моделі та на­скільки результати М. м. узгоджуються з результатами по­вторюваних натур. екс­периментів. Від­сутність узгодже­н­ня теор. матем. моделей і екс­перим. вимірювань часто призводить до важливих наук. і практ. результатів, оскільки такі роз­біжності можуть слугувати під­ставою для глибокого ви­вче­н­ня та аналізу природи процесів. Осн. вимоги при побудові матем. моделей: універсальність (характеризує повноту від­ображе­н­ня моде­л­лю осн. властивостей досліджуваного обʼєкта), адекватність (здатність від­ображати потрібні властивості обʼєкта з похибкою, що не пере­вищує наперед за­дану), точність (оцінюють ступенем збігу значень характеристик реал. обʼєкта і значень цих характеристик, отриманих за допомогою матем. моделей), економічність (ви­значається затратами ресурсів компʼютера: памʼяті, часу на її реалізацію та екс­плуатацію). Матем. моделі складаються пере­важно з від­ношень і змін­них. Від­ноше­н­ня можуть бути описані операторами (алгебраїчні оператори, функції, диференціал. оператори тощо). Критерії класифікації можуть бути викори­стані для матем. моделей від­повід­но до їхньої структури. Якщо всі оператори в матем. моделі є лінійними, то отриману матем. модель ви­значають як лінійну. Модель вважають нелінійною в ін. випадку. Ви­значе­н­ня лінійності і нелінійності залежить від контекс­ту, і лінійні моделі можуть містити нелінійні вирази. Напр., у статистич. ліній. моделі перед­бачається, що від­ноше­н­ня є лінійним за параметрами, але воно може бути нелінійним у предиктор. змін­них. Аналогічно диференціал. рівня­н­ня називають лінійним, якщо воно може бути записано з ліній. диференціал. операторами, але в ньому можуть бути нелінійні вирази. У задачі матем. про­грамува­н­ня, якщо цільові функції і обмеже­н­ня пред­ставлені повністю ліній. рівня­н­нями, то задачу роз­глядають як лінійну. Якщо одна або більше цільових функцій чи обмежень пред­ставлені неліній. рівня­н­ням, то модель ві­дома як нелінійна. Нелінійність, навіть у досить простих системах, часто повʼязана з такими явищами, як хаос і незворотність. Хоча є винятки, нелінійні системи та моделі пере­важно важче ви­вчати, ніж лінійні. Динамічна модель враховує зміну стану системи залежно від часу, тоді як статична (або стаціонарна) модель описує систему в рівновазі і, отже, є інваріантною. Динамічні моделі, за­звичай, пред­ставлені диференціал. або різницевими рівня­н­нями. Якщо всі вхідні параметри заг. моделі ві­домі, а вихідні параметри можуть бути роз­раховані кінц. серіями обчислень, модель вважають явною. В ін. випадку модель називають неявною. Напр., фіз. властивості ре­актив. двигуна, зокрема ділянки горловини турбіни і сопла, можуть бути чітко роз­раховані з урахува­н­ням термодинаміч. циклу кон­струкції (витрати повітря, потоку палива, тиску і т-ри) при конкрет. умовах польоту та потужності, але робочі цикли двигуна при ін. умовах польоту і потужності не можна явно обчислити, спираючись на фіз. властивості. Дис­кретна модель описує обʼєк­ти як дис­кретні (частинки в молекуляр. моделі або стани в статистич. моделі); а неперервна модель пред­ставляє обʼєкти неперервно, напр., поле швидкості рідини в потоках, температури і напруги в твердому тілі чи електричне поле, що неперервно діє по всьому тілу за рахунок точк. заряду. Детермінована модель є такою, в якій кожен набір змін. станів одно­значно ви­значається параметрами та наборами поперед. станів змін­них; отже, детермінована модель завжди описує однакову траєкторію для за­даного набору початк. умов. І навпаки, в стохастич. моделі має місце випадковість, і змін­ні стани не описуються унікал. значе­н­нями, а радше роз­поділами ймовірностей. Дедуктивна модель є логіч. структурою, що ґрунтується на теорії. Індуктивна модель виникає з емпірич. висновків і узагальнень з них. Плаваюча модель не спирається ні на теорію, ні на спо­стереже­н­ня, а є лише прикладом очікуваної структури.

Літ.: E. A. Bender. An Introduction to Mathematical Modeling. New York, 1978; 2000; Скурихин В. Н., Шифрин В. Б., Дубровский В. В. Математическое моделирование. К., 1983; Самарский А. А., Михайлов А. П. Математическое моделирование. Идеи. Методы. Примеры. Москва, 2001; E. Winsberg. Simulations, Models and Theories: Complex Physical Systems and their Representations // Philosophy of Science. 2001. Vol. 68; Трусов П. В. Введение в математическое моделирование: Учеб. пособ. Мос­ква, 2005; Фізико-математичне моделюва­н­ня та інформаційні технології: Наук. зб. Вип. 12. Л., 2010; M. Weisberg. Simulation and Similarity: Using Models to Understand the World. Oxford, 2013.

В. Р. Кулян, О. О. Юнькова

Завантажити статтю