Морфізм

МОРФІ́ЗМ (від морфо...) — загальноматематичне поня­т­тя, що неформально означає від­повід­ність (від­ображе­н­ня) між двома математичними обʼєктами, яке зберігає їхню структуру. Точне означе­н­ня залежить від того, який роз­діл математики (точніше, яку категорію) роз­глядають. У множин теорії М. — довіл. від­ображе­н­ня між множинами, а в категорії частково впорядкованих множин — монотон­ні від­ображе­н­ня. М. алгебрич. систем (категорії груп, кілець, модулів, алгебр) — гомоморфізми. М. топологіч. просторів — неперервні від­ображе­н­ня між просторами, а диференці­йов. многовидів — гладкі від­ображе­н­ня. М. вектор. просторів — лінійні від­ображе­н­ня. У категорії малих категорій М. — функтори між категоріями. М. є базовим поня­т­тям категорій теорії. Кожна категорія складається з елементів двох класів — обʼєктів і М., що самі по собі не ви­­значаються. Для кож­ного М. має бути ви­значений вхідний обʼєкт (source) a та вихідний обʼєкт (tar­get) b, при цьому використовують по­значе­н­ня f : a → b. Тому в теорії категорій М. також називають стрілкою. У класі М. довіл. категорії за­даний частковий за­­кон множе­н­ня: для до­вільних f : a → b та g : b → c існує М. gоf : a → c. Виконується закон асоціативності та для кож­ного обʼєкта a існує тотожний М. id_a : a → a. Обʼєктами категорії не обовʼяз­ково є множини, а М. між обʼєк­тами не обовʼязково є від­ображе­н­нями. Проте основна термінологія, повʼязана з М., та інтуїція роботи з ними походить від конкрет. категорій, в яких обʼєк­тами є множини з додатк. структурою, М. є структурозберігаючі від­ображе­н­ня між обʼєктами, а операцією множе­н­ня М. є композиція від­ображень. Напр., у категорії груп обʼєктами є групи, а М. є гомоморфізми між групами. Залежно від властивостей М. від­носно операції множе­н­ня виділяють такі класи. М. f : a → b називають ізоморфізмом, якщо існує такий М. g : b → a, що gоf = id_a і fоg = id_b. М. f : a → a, в якого вхід. і вихід. обʼєкти збігаються, називають ендоморфізмом обʼєк­та a. Множина ендоморфізмів обʼєкта a утворює моноїд з одинич. елементом id_a. М., що є одночасно ендоморфізмом та ізоморфізмом, називають автоморфізмом. У довіл. категорії автоморфізми обʼєкта утворюють групу, що називають групою авто­мор­фізмів цього обʼєкта. М. f : a → b називають мономорфізмом, якщо для довіл. М. g₁,g₂ : c → a з рівності fоg₁ = fоg₂ випливає g₁ = g₂. М. f : a → b називають епі­морфізмом, якщо для довіл. М. g₁,g₂ : b → c з рівності g₁оf = g₂оf випливає g₁ = g₂. М., що є одночасно мономорфізмом і епіморфізмом, називають біморфізмом. Кожний ізоморфізм є біморфізмом, але не навпаки.

Завантажити статтю