Морфізм
МОРФІ́ЗМ (від морфо...) — загальноматематичне поняття, що неформально означає відповідність (відображення) між двома математичними об’єктами, яке зберігає їхню структуру. Точне означення залежить від того, який розділ математики (точніше, яку категорію) розглядають. У множин теорії М. — довіл. відображення між множинами, а в категорії частково впорядкованих множин — монотонні відображення. М. алгебрич. систем (категорії груп, кілець, модулів, алгебр) — гомоморфізми. М. топологіч. просторів — неперервні відображення між просторами, а диференційов. многовидів — гладкі відображення. М. вектор. просторів — лінійні відображення. У категорії малих категорій М. — функтори між категоріями. М. є базовим поняттям категорій теорії. Кожна категорія складається з елементів двох класів — об’єктів і М., що самі по собі не визначаються. Для кожного М. має бути визначений вхідний об’єкт (source) a та вихідний об’єкт (target) b, при цьому використовують позначення f : a → b. Тому в теорії категорій М. також називають стрілкою. У класі М. довіл. категорії заданий частковий закон множення: для довільних f : a → b та g : b → c існує М. gоf : a → c. Виконується закон асоціативності та для кожного об’єкта a існує тотожний М. ida : a → a. Об’єктами категорії не обов’язково є множини, а М. між об’єктами не обов’язково є відображеннями. Проте основна термінологія, пов’язана з М., та інтуїція роботи з ними походить від конкрет. категорій, в яких об’єктами є множини з додатк. структурою, М. є структурозберігаючі відображення між об’єктами, а операцією множення М. є композиція відображень. Напр., у категорії груп об’єктами є групи, а М. є гомоморфізми між групами. Залежно від властивостей М. відносно операції множення виділяють такі класи. М. f : a → b називають ізоморфізмом, якщо існує такий М. g : b → a, що gоf = ida і fоg = idb. М. f : a → a, в якого вхід. і вихід. об’єкти збігаються, називають ендоморфізмом об’єкта a. Множина ендоморфізмів об’єкта a утворює моноїд з одинич. елементом ida. М., що є одночасно ендоморфізмом та ізоморфізмом, називають автоморфізмом. У довіл. категорії автоморфізми об’єкта утворюють групу, що називають групою автоморфізмів цього об’єкта. М. f : a → b називають мономорфізмом, якщо для довіл. М. g1,g2 : c → a з рівності fоg1 = fоg2 випливає g1 = g2. М. f : a → b називають епіморфізмом, якщо для довіл. М. g1,g2 : b → c з рівності g1оf = g2оf випливає g1 = g2. М., що є одночасно мономорфізмом і епіморфізмом, називають біморфізмом. Кожний ізоморфізм є біморфізмом, але не навпаки.
Рекомендована література
- B. Mitchell. Theory of categories // Pure and Applied Mathematics. 1965. Vol. 17;
- Маклейн С. Категории для работающего математика / Пер. с англ. Москва, 2004;
- S. Awodey. Category Theory. New York; Oxford, 2006.
Завантажити статтю
