Моментів проблема

Визначення і загальна характеристика

МОМЕ́НТІВ ПРОБЛЕ́МА . Термін «М. п.» ввів 1894–95 нідерланд. математик Т. Стілтьєс. Саму задачу по­ставив 1873 рос. математик П. Чебишев, а згодом у дещо ін. формі — рос. математик А. Марков. Назва «М. п.» походить з понять фіз. величин: маса, момент сили, момент інерції (3 перші мех. моменти).

У сучас. ро­зумін­ні М. п. полягає у від­шукан­ні для наперед за­даної послідовності {c_n}∞_n=1, c_n ∈ R, міри dp(x) такої, що ця послідовність зображується у ви­гляді c_n = ∫_Rxⁿdp(x), n ∈ N₀ = {0, 1, 2, ...}. Таку про­блему прийнято називати класичною або М. п. Гамбургера. Якщо замість дійс. осі R брати пів­вісь R = (0, ∞), то цю про­блему називають М. п. Стілтьєса. Якщо N0 замінити на множину Z цілих чисел, то для назви про­блеми вживають термін «сильна (від­повід­на) М. п.».

Роз­вʼязува­н­ня М. п. поділяють на 2 частини. У першій зʼясо­вують, чи існує міра dp(x) для за­даної послідовності, а у другій (у разі, якщо міра існує) досліджують пита­н­ня її єдиності і у разі не­­єдиності описують усі такі міри.

Ви­вче­н­ням класич. М. п. методами теорії функцій та деяких їх узагальнень за­ймалися фінсь­кий математик Р. Неванлін­на, швед. математики М. Рісс і Т. Карлеман, нім. математик Е. Гелінґер. Сучас. під­хід до роз­вʼязува­н­ня М. п. ґрунтується на методах теорії ліній. операторів у гільберт. просторі. У витоків під­ходу були укр. математики Н. Ахієзер і М. Крейн. Логіч. заверше­н­ня метод теорії операторів набув у працях укр. математика Ю. Березанського, який залучив до роз­вʼя­за­н­ня М. п. теорію роз­кладів за узагальненими влас. векторами.

До М. п. прилягає ряд суміж. задач, зокрема й апроксимація Паде, інтерполяційна про­блема Неванлін­ни–Піка. При роз­вʼязу­ван­ні класич. М. п. логічно виникають матриці Якобі та ортогональні за мірою dp(x) поліноми, дослідж. яких є більш широкою задачею.

Нині ві­домі числен­ні узагальне­н­ня М. п. на такі випадки: багатовимірна (нескінчен­на) М. п. — шукається міра у n-вимірному (нескінчен­новимірному) евклідов. просторі Rⁿ; комплексна М. п. — шукається міра на комплекс. площині C, зокрема тригонометрична М. п., коли міра шукається на одинич. колі комплекс. площини; матрична М. п. — шукається матрична міра для випадку, коли замість чисел сn за­дано матриці та як узагальне­н­ня операторна М. п., коли замість матриць за­дано набір самоспряжених операторів; поліноміал. М. п. — коли замість степенів x_n роз­глядається довіл. набір поліномів P_n(x), x ∈ Rⁿ, n ∈ N; зображе­н­ня позитивно ви­значених ядер, коли замість чисел cn роз­глядають деякі функціонали. Окремий інтерес становить усічена М. п. від­шука­н­ня від­повід. міри для за­даної скінчен­ної кількості чисел c_n, n < ∞. Задача у такій постановці є переважно приклад. обчислювал. характеру і стосується нерозвʼязаних випадків відповід. М. п. у цілому.

Знач. внесок в один або декілька варіантів М. п. зробили укр. математики М. Лівшиць, Я. Тамаркін, амер. математики А. Девінац, Дж.-А. Шохат, Б. Саймон, данські математики Б. Фуґлід, Т.-М. Бісґаард, нім. математик К. Шмудґен, польс. математик Я. Штохель.

Літ.: J. A. Shohat, J. D. Tamarkin. The problem of moments // Mathematical sur­veys. 1943. № 1; Ахиезер Н. И. Клас­сическая про­блема моментов и некото­рые во­просы анализа, связан­ные с нею. Мос­ква, 1961; Березанский Ю. М. Разложение по собствен­ным функциям самосо­пряжен­ных операторов. К., 1965; B. Si­­mon. The classical moment problem as a self-adjoint finite differential operator // Advances Math. 1998. Vol. 137.

М. Є. Дудкін, В. І. Козак

Завантажити статтю