Обчислювальна математика

ОБЧИ́СЛЮВАЛЬНА МАТЕМА́ТИКА — роз­діл математики, що ви­вчає методи чисельного (точного або на­ближеного) роз­вʼяза­н­ня задач прикладної математики за допомогою обчислювальних машин (ЕОМ, компʼютерів). Предмет О. м. — чисел. методи (Ч. м.), або множина обчислюв. алгоритмів (О. а.), пита­н­ня їх об­ґрунтува­н­ня та дослідж. характеристик їхньої якості: збіжність та швидкість збіжності Ч. м., їхня стійкість та похибка, оптимальність за різними критеріями, час реалізації на ЕОМ, необхідна памʼять ЕОМ та ін. Ч. м. збігається, якщо на­ближений роз­­вʼязок прямує до точного роз­вʼяз­ку задачі, коли параметри Ч. м. прямують до від­повід. гранич. значень. Ч. м. називається стійким, якщо на­ближений роз­вʼязок неперервно залежить від вихід. даних задачі та якщо похибка заокругле­н­ня лишається обмеженою при за­даних межах зміни параметрів Ч. м. Його класифікують за різними ознаками: за способами одержа­н­ня результатів роз­вʼязку задачі поділяють на чисел., аналіт. та чисел.-аналіт.; за характеристиками якості — стійкі (не­стійкі), збіжні (роз­біжні), швидкі (повільні) збіжні, ефект. (економні) за числом операцій та ін. критеріями, оптимальних за точністю (швидкодією, памʼя­т­тю) тощо; за способами дис­кретизації континуал. матем. моделі — проекц. або варіац., скінчен­но-різниц. методи або методи сіток, проекц.-різниц. або змішані методи та ін.; залежно від моделі обчислень (ЕОМ, компʼютера) — послідов., орієнтов. на змін­ну роз­рядність, паралельні, гібридні; за принципами побудови роз­вʼязку — прямі, ітераційні, випадк. пошуку, комбіновані, потенціалів (інтеграл. пред­ставлень роз­вʼязків у теорії поля та ін. роз­ділах матем. фізики); регуляризації, квазірозвʼязків, принципу невʼязок; Ч. м. пасив., послідов., послідовно-оптимал. та стохаст. стратегій; за запитами зовн. середовища і особливостями ЕОМ — на способи роз­вʼя­за­н­ня задач у режимі індивід. користува­н­ня (off-line або on-line), колект. користува­н­ня з роз­поділом часу (time-sharing), конвеєр. обробле­н­ня інформації (pipe-line) та реал. часу (real time). В О. м. традиційно виділяють осн. класи задач: інтерполюва­н­ня та на­ближе­н­ня функцій; чисел. диференціюва­н­ня й інте­грува­н­ня; роз­вʼяза­н­ня систем ліній. алгебрич. рівнянь; обчисле­н­ня влас. значень та влас. векторів матриць; роз­вʼяза­н­ня звичай. диференц. рівнянь (задач Коші та кра­йових задач); роз­вʼяза­н­ня диференц. рівнянь із частин. похід., інтеграл. рівнянь; мінімізація функцій та матем. про­грамува­н­ня (оптимізація). З усього роз­маї­т­тя приклад. задач ви­окремлюють задачі, що частіше всього зу­стрічаються у за­стосува­н­нях і саме в тому порядку, як це буває на практиці — після вимірів та спо­стережень виконується статист. обробле­н­ня, далі роз­вʼязуються деякі задачі на­ближе­н­ня з метою побудови від­повід. матем. моделі, в рамках якої потім роз­вʼязують різні рівня­н­ня або шукають екс­тремуми деяких функціоналів із додатк. умовами або без них. При цьому враховується роз­поділ задач на коректно та некоректно по­ставлені.

О. м. веде свою історію від глибокої давнини, її початком вважають правила обчисле­н­ня іррац. чисел. Швидкого роз­витку вона набула у 1960-х рр. з появою ЕОМ та їх впровадже­н­ням для роз­вʼя­за­н­ня важливих задач приклад. математики. Результати дослідж. зна­йшли своє від­ображе­н­ня у матем. забезпечен­ні ЕОМ, що роз­роблялося. У великих обчислюв. центрах створ. потужні б-ки стандарт. про­грам та пакети приклад. про­грам, що не лише сприяли якіс. роз­вʼязан­ню стандарт. класів задач обчислюв. та приклад. математики, але й давали сут­тєвий поштовх на­ступ. теор. дослідж. Ч. м. Поня­т­тя на­ближеного роз­­вʼязку припускає від­повід­ні ві­домості про похибки зна­йденого на­ближе­н­ня. Усі теор. результати й про­блеми в галузі О. м. до недавнього часу пере­важно концентрувалися навколо аналізу похибок за рахунок неповноти та неточності вхід. даних, неточностей реалізації арифмет. операцій на ЕОМ та похибок алгоритмів. В остан­ні роки, у звʼязку з широким за­стосува­н­ням ЕОМ та роз­вʼя­за­н­ням усе більш склад. задач, значну увагу приділяють, окрім дослідж. повної похибки (яка за нерівністю трикутника не пере­вищує суми пере­рахованих), також ви­вчен­ню ін. характеристик алгоритмів, зокрема часу і памʼя­ті, необхід. для реалізації алгоритмів на ЕОМ. Викори­ста­н­ня оцінок наведених характеристик до­зволяє зробити висновок про якість отриманого роз­вʼязку, проводити порівнял. аналіз алгоритмів та про­грам, вибирати параметри про­грами, які дають змогу роз­­вʼязати задачу з характеристиками якості, що вимагаються. У звʼязку зі збільше­н­ням числа та ускладне­н­ням задач, що роз­вʼя­зуються, по­стійно зростають вимоги до ефективності від­повід. Ч. м. Нерідко при роз­вʼязан­ні задач традиц. методами ми не отримуємо потріб. значе­н­ня деякого показника якості роз­вʼязку, напр., роз­вʼязку з необхід. точністю або з макс. можливою точністю. У таких випадках буває корисно, а інколи й необхідно, за­стосувати оптимал. за від­повід. критерієм алгоритм роз­вʼяза­н­ня задачі. Це дає можливість або отримати шуканий роз­вʼязок, або довести, що його неможливо отримати при інформації, що за­дана. Для побудови оптимал. за точністю алгоритмів використовують методи «капелюхів», гранич. функцій, невʼязки, квазірозвʼязків тощо. Оптимал. за швидкодією (або близькі до них) алгоритми часто вдається побудувати за допомогою теорії швидких ортогонал. пере­творень (алгоритми швидкого пере­творе­н­ня: Фурʼє, Волша, Вино­града, Хартлі та ін.) або методів паралел. обчислень із за­стосува­н­ням певних моделей обчислень. Ефект від викори­ста­н­ня оптимал. та близьких до них алгоритмів порівнюють з ефектом від викори­ста­н­ня нової елемент. бази і сучас. архітектури обчислюв. машин. Методи від­шука­н­ня оптимал. роз­вʼязків та їх стійка реалізація на ЕОМ до­зволяють вірно сформулювати вимоги до точності вихід. інформації та роз­рядності ЕОМ, при яких може бути отриманий на­ближений роз­вʼя­зок із наперед за­даною точністю. Роз­вʼязок більшості задач за допомогою сучас. обчислювальної техніки засн. на обчислюв. екс­перименті, що органічно повʼязує матем. модель, О. а., роз­рахунки на ЕОМ та екс­перимент. Окрім того, обчислюв. екс­перимент ві­ді­грає важливу роль під час отрима­н­ня апостеріор. оцінок похибок О. а., дослідж. їхньої ефективності та тестува­н­ня якості приклад. про­грам. забезпече­н­ня тощо.

Серед сучас. укр. роз­робок — алгоритми виявле­н­ня та уточне­н­ня апріор. інформації про задачу; комплекс. під­хід до оцінки похибки на­ближеного роз­вʼязку задачі; побудова оптимал. алгоритмів в умовах найповнішого викори­ста­н­ня апріор. інформації; побудова оптимал. інформ. операторів для деяких класів задач; теорія поліноміал. оператор. інтерполяції; теорія на­ближеного роз­­вʼязува­н­ня неліній. оператор. і функціон. рівнянь, що мають не­єдиний роз­вʼязок; теорія різниц. та скінчен­но-елемент. схем з узагальненими роз­вʼязками; методика тестува­н­ня якості О. а. та про­грам, алгоритми паралел. обчислень для деяких класів задач та інтелектуал. пакети про­грам роз­вʼязува­н­ня стандарт. класів задач О. м. — ПОМ-1, ЦОС-1, LINSYST, NILISYST, САРПОК, ПАМІМД та ін. для одно- й багато­процесор. та транс­пʼютер. ЕОМ і систем. Знач. внесок у роз­виток О. м. зробили вчені П. Бондаренко, В. Задірака, А. Лучка, І. Ляшко, В. Макаров, І. Молчанов, Г. Положій, О. Самарський, І. Сергієнко, В. Скопецький, а також Л. Кол­латц (Німеч­чина), Дж. Трауб, Дж. Форсайт (обидва — США), Дж. Вілкінсон (Велика Британія) та ін. В Україні успішно працюють матем. школи, що орієнтов. на спеціалістів із О. м., зокрема з питань оптимізацїї обчислень (при Ін­ституті кібернетики НАНУ, Київ) та сітк. методів (при Київ. університеті). Найчастіше математики-обчислювачі друкують свої наук. праці у видавництвах «Наукова думка» та «Вища школа», у ж. «Кибернетика и системный анализ» (видає Ін­ститут кібернетики НАНУ) й «Журналі обчислювальної та прикладної математики» (Київ. університет). Осн. закладами вищої освіти в Україні, де готують фахівців з О. м., є Київ. та Львів. університети.

Завантажити статтю