Матриця — Енциклопедія Сучасної України

Матриця

МА́ТРИЦЯ – таблиця, що складається з m рядків та n стовпчиків, елементи aij якої належать деякій множині K

Цю таблицю також називають m × n -М. над K, або М. розміру m × n над K. Нехай Mm,n(K) – сукупність усіх m × n -М. над K. Якщо m = n, то таблицю називають квадрат. М. порядку n. Множина Mn(K) – сукупність усіх квад­­рат. М. розміру n над K. Для М. також використовують позначення

У найважливіших випадках у ролі поля K виступає поле дійс. чисел, поле комплекс. чисел, кільце многочленів, кільце цілих чисел, кільце функцій, довіл. асоціат. кільце. Операції додавання та множення, визначені на K, природ. чином переносяться на M. Над K виникає матричне числення. Нехай К – асоціат. кільце, A = ||aij|| та B = ||bij|| – М. розміру m × n над K. Тоді сума A + B = ||aij + bij ||. При цьому A + B ∈ Mm,n(K), додавання комутативне й асоціативне. Нульовою М. з Mm,n(K) називають М., всі елементи якої дорівнюють нулю. Для кожної A ∈ Mm,n(K) має місце рівність A + 0 = 0 + A = A. Нехай A = ||aij|| ∈ Mm,k(K) та B = ||bij|| ∈ Mk,n(K). Добуток матриць A та B визначається за правилом C = ||gij|| ∈ Mm,n(K), де

Множення М. асоціативне та дистрибутивне відносно додавання, але не комутативне. Якщо K – кільце з одиницею, то M. En, у якої на діагоналі (тобто не перетині рядків і стовпців з однаковими номерами) стоять 1, а на ін. позиціях стоять 0, буде одиницею кільця Mn(K). Множення М. некомутативне: при n > 2 для кожного асоціат. кільця з одиницею знайдуться такі A, B ∈ Mn(K), що AB ≠ BA. Нехай α ∈ K, A = ||aij|| ∈ Mm,n(K). Добутком М. A на (число) α називають М. αA = ||αaij|| ∈ Mm,n(K). Нехай K – кільце з одиницею, М. eij називають М., у якої єдиний ненульовий елемент дорівнює 1 і знаходиться на позиції (i, j). Якщо K – поле, то Mm,n(K) – вектор. простір над K розмірності mn, а М. eij – твірні цього простору. Нехай m = m1 + ... + mk та n = n1 + ... + nl подання чисел m та n у вигляді суми натуральних. Тоді М. A ∈ Mm,n(K) можна записати як

де Aij ∈ Mmi,nj(K). Такий запис М. називають блоч. М. Нехай B = (Bij) ∈ Mn,p(K) – блочна М. і p = p1 + ... + pt. Тоді М. C = AB буде блочною М. і складатиметься з блоків Cij, i ≤ k, j ≤ t, причому

Нехай K – поле, М. A ∈ Mn(K) називають оборотною, якщо існує М. B ∈ Mn(K), така що AB = En. Не зважаючи на те, що добуток М. некомутативний, при цьому виконується рівність BA = En. У цьому випадку пишуть B = A–1, М. A називають оборотною (або невиродженою), а М. B – оберненою до A. Сукупність всіх оборот. М. з Mn(K) утворює групу відносно множення. Нехай v1, ..., vn – базис вектор. простору V розмірності n. Кожна М. A = ||aij|| ∈ Mn(K) задає деяке лінійне перетворення вектор. простору за правилом

Лінійне перетворення називають невиродженим, якщо (V) = V. є невиродженим тоді, коли М. A невироджена. Нехай A = ||aij|| ∈ Mn(K). М. B = ||bij|| ∈ Mn(K) називають транспонованою до A і позначають B = At, якщо bij = aji для всіх i та j. М. A невироджена тоді, коли At невироджена. Вектор з вектор. простору V розмірності n над полем K можна розглядати як М. з n рядків та одного стовпчика. Тоді добуток Av, знайдений за правилом множення М., є деяким вектором з V. Якщо для М. A ∈ Mn(K), вектора v ∈ V та λ ∈ K виконано рівність Av ∈ λv, то λ називають влас. числом A, а v ∈ V – влас. вектором A. М. ліній. перетворення, записані в різних базисах, називають подібними. Для М. A ∈ Mn(K) визначають мін. многочлен μA(x) як многочлен найменшого степеня, для якого виконана рівність μA(A). Для М. A ∈ Mn(K) многочлен ƒA(x) = det(A – xE) на­­зивають характеристич. многочленом М. A. Множина влас. чисел М. A збігається з множиною коренів ƒA над K. Крім того, за теоремою Гамільтона–Келі справджується матрична рівність ƒA(A) = 0. Характеристичні многочлени подіб. М. збігаються.

Літ.: див. Матриць теорія.

В. В. Кириченко, М. В. Плахотник


Покликання на статтю