Моделей теорія

МОДЕ́ЛЕЙ ТЕО́РІЯ — роз­діл математики, що виник на межі алгебри та математичної логіки. Перші приклади моделей матем. теорій зʼявилися у 19 ст. для доведе­н­ня несуперечливості неевклід. геометрії. У 20 ст. поня­т­тя «моделі» роз­вивали й уточнювали у звʼязку з роз­витком формал. теорій — довіл. множин тверджень, записаних за правилами матем. логіки з викори­ста­н­ням алфавіту, що, окрім логіч. символів, містить ще й символи змін­них, функцій і пре­дикатів. Якщо символам функцій і предикатів можна так по­ставити у від­повід­ність функції і предикати на певній множині, що всі твердже­н­ня теорії будуть правильними, то цю множину з від­повід. набором функцій і пре­дикатів називають моде­л­лю або інтер­претацією теорії. Характер. рисою М. т. є по­стійне роз­різне­н­ня синтаксису формал. мов (прикладами синтаксич. характеристик є алфавіт мови, правила побудови речень, довжина речень тощо) і їх семантики (ви­вчає властивості моделей — їх існува­н­ня, будову, пита­н­ня ізоморфності та ін.), а обʼєктом ви­вче­н­ня М. т. стали звʼязки між синтаксич. властивостями формал. теорій і семантич. властивостями їх моделей. У само­стій. роз­діл матем. логіки М. т. виділили на­прикінці 1940-х — на поч. 1950-х рр. після опублікува­н­ня праць амер. математиків Л.-А. Генкіна, А. Робінсона і А. Тарського. Назву «М. т.» за­пропонував 1954 А. Тарський. До цього і деякий час паралельно з цим використовували назву «метаматематика алгебри». Ви­вче­н­ня множин тверджень у ролі матем. обʼєктів виявилося дуже корисним і з по­гляду за­стосувань М. т. в ін. роз­ділах математики, зокрема в алгебрі й аналізі. Важливими досягне­н­нями на цьому шляху є доведе­н­ня (не)роз­вʼязності різних класич. тео­рій або класифікація з точністю до елементар. еквівалентності різних класів алгебрич. систем. Напр., виявилася роз­вʼязною елементарна геометрія, тобто доведено існува­н­ня алгоритму, що до­зволяє встановити істин­ність чи хибність будь-якого твердже­н­ня елементар. геометрії. Водночас арифметика натурал. чисел і теорія рац. чисел виявилися нерозвʼязними. Історично першим (1915–20) результатом М. т. є теорема Льовенга­йма–Сколема: кожна несуперечлива теорія із злічен. алфавітом і нескінчен. моде­л­лю має модель кожної нескінчен. потужності. Із неї випливали несподівані наслідки як про існува­н­ня дуже великих моделей для одних теорій (напр., незлічен. моделей для арифметики), так і дуже малих моделей для ін. (напр., існува­н­ня злічен. теорії для теорії множин). На­ступним важливим результатом М. т. стала теорема компактності (1930, австр. математик К. Ґедель, для злічен. мов; 1936, рос. математик А. Мальцев, у повному обʼємі): якщо кожна скінчен­на множина тверджень певної теорії має модель, то і вся теорія має модель. А. Мальцев одразу ж дав приклади її за­стосува­н­ня поза межами логіки, за­пропонувавши новий метод одержа­н­ня локал. теорем в алгебрі. У 1950-х рр. зʼявилися нові методи побудови моделей: за допомогою кон­стант, елементар. ланцюгів, ультрадобутків та ін. Для них зна­йшли (особливо ультрадобутки) числен­ні за­стосува­н­ня за межами матем. логіки, пере­важно в алгебрі. На поч. 1960-х рр. А. Робінсон за допомогою методів М. т. створив не­стандарт. аналіз, що реабілітував властивий математикам 17–18 ст. по­гляд на нескінчен­но малі як на дійсні по­стійні величини (у 19 ст. його витіснив вайерштрасів. метод «епсілон-дельта», але цей по­гляд добре узгоджується з інтуїцією дослідників у природн. науках). Знач. досягне­н­ням стала і теорема амер. математика М.-Д. Морлі про категоричність: якщо для теорії зі злічен. алфавітом усі моделі певної незлічен. потужності ізоморфні, то це буде правильним для кожної незлічен. потужності. Нині найроз­виненішим і з найбільшою кількістю за­стосувань роз­ділом М. т. є т. зв. елементарна, або класична М. т., що ви­вчає формал. теорії першого порядку. У таких теоріях є лише два квантори — загальності та існува­н­ня, які можна за­стосовувати лише до елементів осн. множини. Але зʼявляються й починають роз­виватися все нові й нові роз­діли: теорія кон­структив. моделей, теорія узагальнених кванторів, М. т. для логіки нескінчен. формул, М. т. логік вищих порядків, інтуїціоніст. логіки, модал. логіки, багато­знач. логіки, багатосорт. логіки та ін.

Завантажити статтю