Диференціальна геометрія

Визначення і загальна характеристика

ДИФЕРЕНЦІА́ЛЬНА ГЕОМЕ́ТРІЯ  — розділ геометрії, у якому геометричні об’єкти (гладкі криві, поверхні та їх багатовимірні аналоги — диференційовні многовиди) вивчають за допомогою диференціального числення. Основи класичної Д. г. заклали рос. учений Л. Ейлер (1707–83), франц. Ґ. Монж (1746–1818) і нім. К. Ґаусс (1777–1855). Так, для гладкої кривої γ (s) введено її характеристики «кривина» k(s) і «скрут» κ(s), які у випадку k(s) ≠ 0 визначають криву γ(s) з точністю до положення в просторі; встановлено, як змінюються k (s) і κ (s) при русі вздовж кривої (формули Френе). Із гладкою поверхнею r (u, v) у просторі можна зв’язати дві квадратичні форми I=dr² та II = — dr (u, v) dn (u, v), де n (u, v) — вектор одинич. нормалі до r (u, v). Перша квадратична форма I = dr² = Edu² + 2Fdudv + Gdv² характеризує метричні властивості r (u, v). Друга квадратична форма II = — dr (u, v) dn (u, v) = = Ldu² + 2Mdudv + Ndv² описує викривлення r (u, v) у просторі. Коефіцієнти I і II пов’язані співвідношеннями Ґаусса та Петерсена–Кодацці. Теорема Бонне дає критерій однозначності з точністю до руху у просторі визначення поверхні за двома квадратич. формами. Вагомі результати у теорії поверхонь отримали франц. вчені Ж. Ліувілль, Ж. Дарбу, італ. Е. Бельтрамі, Л. Б’янкі, рос. Д. Єгоров, М. Лузін, А. Александров, укр. О. Погорєлов. Внесок у розвиток Д. г. зробили також М. Лобачевський (неевклідова геометрія), Б. Ріман (ріманова геометрія), М. Лі (групи і алгебри Лі), Ф. Кляйн (Ерланґен. програма з вивчення інваріантів груп перетворень), Ґ. Річчі-Курбастро і Т. Леві-Чивіта (тензорне числення), Г. Вайль (теорія зв’язностей), Е. Картан (теорія зовн. диференціал. форм), Г. Морс (варіац. теорія геодезичних). Важливим напрямом сучас. Д. г. є дослідж. різноманітних розшарувань над гладкими многовидами та їх перерізів. Від 2-ї пол. 20 ст. на розвиток Д. г. суттєво почали впливати суміжні розділи математики — топологія, динамічні системи, теорія неліній. диференціал. рівнянь із частинними похідними. Результати Д. г. широко застосовують у теор. фізиці. У Рос. імперії перший підручник з Д. г. видав проф. Університету св. Володимира (Київ) Б. Букреєв — «Курсъ приложеній дифференціального и інтегрального исчисленія къ геометриі» (К., 1900).

Завантажити статтю