Геометрія

Визначення і загальна характеристика

ГЕОМЕ́ТРІЯ (від гео… і …метрія) — галузь математики, що ви­вчає властивості простору, просторових фігур і спів­від­ноше­н­ня між ними. Сучас. Г. ви­вчає різні типи просторів, зокрема і такі, де точками можуть ви­ступати ін. матем. обʼєкти (функції чи k-вимірні під­простори), що дає змогу спростити роз­гляд та зро­зуміти сенс матем. понять і взаємовід­ноше­н­ня між ними. Г. виникла у звʼязку з практич. потребами людської діяльності. Прибл. у 17 ст. до н. е. в Стародав. Єгипті почали формуватися елементарні поня­т­тя про взаємне роз­ташува­н­ня, форму і роз­міри тіл, установилися перші закономірності емпірич. характеру. У 7 ст. до н. е. центром роз­витку Г. стала Греція. На­громадже­н­ня практ. і теор. знань, роз­робка нових методів доведе­н­ня, формува­н­ня абстрагов. від реал. понять про фігуру тверджень, доведень тощо сприяли тому, що Г. по­ступово набула ви­гляду досить стрункої системи і у 5 ст. до н. е. ви­окремилася як само­стійна матем. наука. Найві­доміший системат. виклад геом. знань давньогрец. цивілізації міститься в «Основах» Евкліда (бл. 300 р. до н. е.), де викори­стано аксіоматично-дедуктив. метод: вважаючи незапереч. істиною набір із кількох аксіом та постулатів, Евклід вивів з них широке коло заг. геом. фактів, ві­домих на той час. Таким чином була побудована заг. матем. теорія, яка нині називається елементар. Г. Подальший роз­виток Г. повʼязаний з виникне­н­ням нових методів обчисле­н­ня площ і обʼємів (Архімед, 3 ст. до н. е.), Г. коніч. пере­різів (Апол­лоній, 3 ст. до н. е.), початків тригонометрії (Гіп­парх, 2 ст. до н. е.) і Г. на сфері (Менелай, 1 ст. до н. е.). У середні віки та епоху Від­родже­н­ня в Європі роз­роблено принципово нові алгебраїчні та аналітичні способи доведе­н­ня. За­стосува­н­ня Р. Декартом (17 ст.) методу координат до­зволило оперувати алгебраїч. рівня­н­нями і нерівностями замість звичних геом. обʼєктів, а отже — роз­глядати більш складні геом. фігури, зокрема криві другого порядку (еліпси, параболи, гіперболи, що утворюються при пере­тині конуса площиною та ін.) і поверх­ні другого порядку (еліпсоїди, параболоїди, гіперболоїди тощо). Цей напрям Г., сформов. прибл. у серед. 18 ст., ді­став назву аналітич. Г. У 17 — 1-й пол. 19 ст. у звʼязку з потребами мистецтва, архітектури та військ. інженерії виникла необхідність у коректному зображен­ні просторових фігур на площині, що сприяло роз­витку проектив. Г., предметом якої є заг. властивості геом. фігур, які зберігаються при проектуван­ні з простору на площину або з однієї площини на ін., та нарисної Г., що ви­вчає геом. зображе­н­ня просторових обʼєктів (Ж. Дезарґ, Б. Паскаль, Ґ. Монж, Ж. Понселе). Пошире­н­ня диференціал. числе­н­ня при­звело до виникне­н­ня у 18 ст. (Л. Ейлер, Ґ. Монж) і подальшого інтенсив. роз­витку у 19 ст. (К. Ґаусс, О. Бонне, Ж. Лаґранж та ін.) одного з напрямів диференціал. Г. — теорії поверхонь, що вже досліджувала до­статньо гладкі заг. криві лінії та поверх­ні у просторі, зокрема довжину кривої, кут між кривими, площу області (внутр.-геом. властивості) на довіл. поверх­ні; ви­вчала різноманітні кривини ліній (нормальну, геодезичну) і поверхонь (ґаус­сову, середню); встановлювала звʼязки між зовн. формою поверх­ні та її внутр. Г.

Загалом Г. роз­вивалася у напрямку узагальне­н­ня й роз­шире­н­ня класу обʼєктів із за­стосува­н­ням до їх ви­вче­н­ня різноманіт. нових методів, однак поня­т­тя про сам про­стір, в якому роз­глядалися ці обʼєкти, були не­змін­ними, оскільки основою лишалася евклідова Г., яку без­заперечно вважали єдиною теорією, що коректно від­ображає геом. властивості реал. світу. Водночас математики намагалися досягти якнай­глибшого ро­зумі­н­ня під­став евклідової Г., при цьому особливу увагу приділяли 5-му постулату з «Основ» Евкліда про паралел. прямі: «Через точку, що не лежить на прямій, можна провести не більше однієї прямої, паралельної даній». Не маючи очевид. емпірич. об­ґрунтува­н­ня, цей постулат вважали наслідком ін. аксіом, тому було здійснено багато не­вдалих спроб довести його як теорему. Лише 1826 М. Лобачевський за допомогою аксіоматич. під­ходу побудував нову, неевклідову геом. систему, основу якої склали аксіоми евклідової Г., але 5-й постулат замінений на протилежне йому твердже­н­ня: «Через точку, що не лежить на прямій, можна провести більше, ніж одну, прямих, паралельних даній». Дедуктивно виводячи з неевклідової системи аксіом різноманітні твердже­н­ня-наслідки і не виявивши суперечностей, Лобачевський ді­йшов гіпотетич. висновку, що довести 5-й постулат Евкліда неможливо взагалі — ця аксіома є незалеж. від ін. аксіом. Отже, у роз­витку Г. було зроблено принципово новий крок: по-перше, Лобачевський висунув ідею, що разом з евклідовою (класич.) Г. існує ін., неевклідова Г. без будь-яких логіч. суперечностей; по-друге, висловив гіпотезу, що нова геом. система не менш, ніж евклідова, придатна для адекват. описа­н­ня спів­від­ношень реал. простору і, можливо, точніше від­ображає властивості реал. обʼєктів. Аналогічні висновки незалежно від Лобачевського зробили К. Ґаусс (раніше, але неопубл.) і Я. Больяї (опубл. 1832). У 1863 Е. Бельтрамі від­крив, що внутрішня Г. поверх­ні по­стійної від­ʼємної ґаус­сової кривини, напр., псевдо­сфери, в евклідовому просторі збігається з Г. частини площини Лобачевського, довівши таким чином логічну несуперечливість неевклідової Г. (метод інтер­претацій). Інтер­претацію всієї площини Лобачевського вперше побудував Ф. Клейн. К. Ґаусс інтенсивно роз­вивав теорію поверхонь в евклідовому просторі та ретельно ви­вчав їх внутр.-геом. властивості, вивівши зрештою т. зв. блискучу теорему: кривина поверх­ні як один із елементів її зовн. форми повністю ви­значається її внутр. властивостями. Узагальнюючи цю теорію, 1854 Б. Ріман за­пропонував роз­глядати про­стір як неперервну сукупність однорід. обʼєктів (напр., точок) та висунув ідею кривини простору з довільно за­даним законом обчисле­н­ня від­стані «у малому». Створ. на цих принципах напрям був на­званий рімановою Г., узагальнене поня­т­тя простору з досить довільним законом обчисле­н­ня від­стані між близькими обʼєктами ді­стало назву ріманів про­стір (його частин­ними випадками є евклідів про­стір, сфера і про­стір Лобачевського). Г. Ґрас­сман і А. Кейлі у своїх працях заклали основи N-вимірного евклідового простору. Крім того, почалося ви­вче­н­ня різноманіт. ін. груп пере­творень простору, від­повід­но виникли поня­т­тя конформного, афін­ного, проективного просторів, у яких роз­глядаються лише форми і спів­від­ноше­н­ня, інваріантні від­носно від­повід­ної групи пере­творень. 1872 Ф. Клейн вивів заг. (груповий) принцип побудови нових Г. за­значеного типу. Цей принцип викори­став Е. Картан: за­стосувавши одночасно ідеї та методи алгебри і ріманової Г., побудував геом. теорію ріманових симетрич. просторів, а також роз­винув метод зовн. форм, за яким успішно роз­вʼязують задачі ріманової та диференціал. Г. Ідеї Лобачевського і Рімана щодо неевклідових Г., корін­на зміна абстрагов. уявлень про про­стір та пере­осмисле­н­ня фіз. картини всесвіту, зумовлені від­кри­т­тям нових явищ, котрих не пояснювали ві­домі фіз.-матем. теорії, при­звело до виникне­н­ня на поч. 20 ст. таких напрямів Г., як псевдо-ріманова Г., спец. теорія від­носності (Г.-А. Лоренц, А. Пуанкаре, А. Айнштайн, Г. Мінковський) і заг. теорія від­носності (А. Айнштайн, Д. Гільберт), які стали матем. під­ґрунтям для від­повід. фіз. теорій. Геом. ідеї широко за­стосовують у фіз. теоріях і понині, зокрема сучасна диференціал. Г. під­многовидів (узагальне­н­ня класич. теорії поверхонь за вимірністю) бере участь у моделюван­ні фіз. феноменів теорії кварків та ін. гіпотетич. елементар. частинок і полів, що виникають у теорії струн і суперструн. На­прикінці 19 — поч. 20 ст. в рамках Г. роз­винулася топологія, що нині є само­стій. наукою. Деякі звʼязки між тополог. структурою за­мкненої поверх­ні та її Г. були ві­домі ще у 19 ст. (зокрема класична теорема Ґаус­са–Бон­не). Адаптація нових тополог. методів (теорії Морса, гомотопіч. груп тощо) дала істот. поштовх для інтенсив. роз­витку ріманової Г. у напрямку подальшого ви­вче­н­ня звʼязків між геом. і тополог. властивостями многовидів. Одним із напрямів сучас. Г. тривимір. простору є т. зв. Г. «у цілому». На від­міну від Г. «у малому», що ви­вчає властивості обʼєктів у довільно малому околі точки, Г. «у цілому» аналіт. і синтет. методами досліджує глобал. властивості поверхонь. Цей напрям повʼязаний з працями Ж.-А. Пуанкаре, Д. Гільберта, Г. Вайля, С. Кон-Фос­сена, В. Бляшке, О. Александрова, О. Погорєлова, М. Єфимова та ін. На поч. 20 ст. укр. математик Г. Вороний і нім. Г. Мінковський роз­робили геом. теорію чисел, яка ві­діграла вагому роль у роз­витку нових напрямів сучас. Г.: геом. моделюва­н­ня, інж. і компʼютер. графіки тощо.

Геом. дослідж. проводилися з перших років заснува­н­ня в Харків. університеті (Ф. Швейкарт, К. Андреєв), у 1-й пол. 20 ст. тут працювали Д. Синцов, С. Бернштейн, нині роз­робляються пита­н­ня Г. під­многовидів і ріманової Г. під керівництвом О. Борисенка. 1965–92 університет видавав спеціаліз. ж. «Украинский геометрический сборник». Значний внесок у роз­виток Г. «у цілому» зробили вчені геом. школи під керівництвом О. Погорєлова, зокрема доведено можливість побудувати поверх­ню з наперед за­даною (на сфері) внутр. Г. у тривимірному рімановому просторі (узагальн. про­блема Вайля), роз­роблено нелінійну теорію пружних оболонок. Також вагомі результати у Г. отримали вчені Київ. університету (Б. Букреєв, М. Кованцов) і Київ. політех. ін­ституту (О. Смогоржевський). Від 1995 у Черкас. технол. університеті проводять між­нар. конф. з Г. «у цілому». Фіз.-тех. ін­ститут низьких т-р НАНУ видає ж. «Математическая физика, анализ, геометрия» (від 1993).

Літ.: Гильберт Д. Об основаниях геометрии. Москва, 1956; Стройк Д. Коротка історія математики. К., 1960; Погорелов А. В. Геометрические методы в нелинейной теории упругих оболочек. Москва, 1967; Ефимов Н. В. Высшая геометрия. Москва, 1978; Кобаяси Ш., Номидзу Ч. Основы диф­ференциальной геометрии. Москва, 1981; Берже М. Геометрия. Москва, 1984; Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современ­ная геометрия: Методы и приложения. Москва, 1985; Борисенко О. А. Диференціальна геометрія. Х., 1995.

Ю. А. Амінов, В. О. Горькавий

Завантажити статтю