Аналітична геометрія

АНАЛІТИ́ЧНА ГЕОМЕ́ТРІЯ — роз­діл геометрії, який ви­вчає геометричні обʼєкти — точки, прямі, площини, криві і поверх­ні, як правило, не вище другого порядку. Традиційно вважається, що основи А. г. заклав Р. Декарт у «Геометрії» («La Géométrie», 1637). Разом із тим П. Ферма незалежно від Декарта 1629 від­крив осн. принципи А. г., які виклав у роботі «Вступ» («Isagoge», 1679). Подальший роз­виток А. г. повʼязаний з іменами Ґ. Ляйбніца, І. Ньютона, Л. Ейлера, Ж. Лаґранжа, Ґ. Монжа. А. г. широко за­стосовують у математиці, фізиці та ін. Як самост. наука А. г. свій роз­виток практично завершила. Осн. методом А. г. є метод координат разом із за­стосува­н­ням елементар. алгебри.

Метод координат ґрунтується на такій побудові. З кожною точкою

M площини (простору) за певним правилом (вибір системи координат) звʼязується пара (x, y), трійка (x, y, z) дійсних чисел, які називаються координатами точки. Система координат на площині (декартова) — це пара взаємно перпендикуляр. прямих

X і

Y з ви­браними напрямками і мас­штабом (

0 — точка пере­тину прямих). Для довільної точки

M на площині через x (y) по­значають її проекцію на

X і

Y . Величини від­різків [o, x] і [o, y], взяті зі знаком «+» чи «–» (враховується напрямок від­носно точки 0), називаються декартовими координатами точки

M . Якщо змін­ні величини x і y звʼязані спів­від­ноше­н­ням (напр., алгебрич. рівня­н­ням) F(x, y)=0, то сукупність точок на площині, координати яких задовольняють цьому рівнян­ню, утворює лінію на площині. Осн. ідея методу координат полягає в тому, що геометр. властивості лінії знаходять, досліджуючи рівня­н­ня F(x, y)=0. В А. г. на площині систематично досліджують алгебричні лінії першого (загального рівня­н­ня Ax+By+C=0) та другого (загального рівня­н­ня Ax²+By²+Cxy+Dx+Ey+F=0) порядків. Аналог. чином роблять побудови в просторі, де ви­вчають алгебричні поверх­ні першого та другого порядків. В обох випадках осн. при­йом дослідже­н­ня кривих і поверхонь полягає в знаходжен­ні системи координат, у якій рівня­н­ня кривої (поверх­ні) має най­простіший ви­гляд. Далі досліджують це най­простіше рівня­н­ня. А. г. є важл. складовою частиною вузівської матем. освіти. Остан. часом термін «А. г.» в сучас. математиці використовують як назву роз­ділу математики, у якому ви­вчають аналіт. простори.