Аналітична геометрія
АНАЛІТИ́ЧНА ГЕОМЕ́ТРІЯ — розділ геометрії, який вивчає геометричні об’єкти — точки, прямі, площини, криві і поверхні, як правило, не вище другого порядку. Традиційно вважається, що основи А. г. заклав Р. Декарт у «Геометрії» («La Géométrie», 1637). Разом із тим П. Ферма незалежно від Декарта 1629 відкрив осн. принципи А. г., які виклав у роботі «Вступ» («Isagoge», 1679). Подальший розвиток А. г. пов’язаний з іменами Ґ. Ляйбніца, І. Ньютона, Л. Ейлера, Ж. Лаґранжа, Ґ. Монжа. А. г. широко застосовують у математиці, фізиці та ін. Як самост. наука А. г. свій розвиток практично завершила. Осн. методом А. г. є метод координат разом із застосуванням елементар. алгебри.
Метод координат ґрунтується на такій побудові. З кожною точкою
M площини (простору) за певним правилом (вибір системи координат) зв’язується пара (x, y), трійка (x, y, z) дійсних чисел, які називаються координатами точки. Система координат на площині (декартова) — це пара взаємно перпендикуляр. прямих
X і
Y з вибраними напрямками і масштабом (
0 — точка перетину прямих). Для довільної точки
M на площині через x (y) позначають її проекцію на
X і
Y . Величини відрізків [o, x] і [o, y], взяті зі знаком «+» чи «–» (враховується напрямок відносно точки 0), називаються декартовими координатами точки
M . Якщо змінні величини x і y зв’язані співвідношенням (напр., алгебрич. рівнянням) F(x, y)=0, то сукупність точок на площині, координати яких задовольняють цьому рівнянню, утворює лінію на площині. Осн. ідея методу координат полягає в тому, що геометр. властивості лінії знаходять, досліджуючи рівняння F(x, y)=0. В А. г. на площині систематично досліджують алгебричні лінії першого (загального рівняння Ax+By+C=0) та другого (загального рівняння Ax2+By2+Cxy+Dx+Ey+F=0) порядків. Аналог. чином роблять побудови в просторі, де вивчають алгебричні поверхні першого та другого порядків. В обох випадках осн. прийом дослідження кривих і поверхонь полягає в знаходженні системи координат, у якій рівняння кривої (поверхні) має найпростіший вигляд. Далі досліджують це найпростіше рівняння. А. г. є важл. складовою частиною вузівської матем. освіти. Остан. часом термін «А. г.» в сучас. математиці використовують як назву розділу математики, у якому вивчають аналіт. простори.
Рекомендована література
- Александров П. С. Лекции по аналитической геометрии. Москва, 1968;
- Погорелов А. В. Аналитическая геометрия. Москва, 1968;
- Борисенко О. А., Ушакова Л. М. Аналітична геометрія. Х., 1993;
- Кириченко В. В. та ін. Криві та поверхні другого порядку. К., 1997.
Завантажити статтю
