Інтегральні рівняння

ІНТЕГРА́ЛЬНІ РІВНЯ́­Н­НЯ — рівня­н­ня, що повʼязують шукану функцію з інтегралом від неї. До І. р. зводиться чимало задач фізики, кра­йових задач і задач на власні значе­н­ня для диференціал. рівнянь та ін. Найбільш ви­вченими є лінійні І. р., зокрема рівня­н­ня Фредгольма 2-го роду, які у най­простішому випадку мають ви­гляд

де u(x) — шукана, K(x, y) (ядро) та f(x) — за­дані функції. Якщо це рівня­н­ня на­ближено замінити на систему алгебр. ліній. рівнянь від­носно неві­домих u_j = u(x_j), a ≤ x_j ≤ b, j = 1, 2,..., n, то отримаємо систему ви­гляду

для якої з алгебри є добре ві­домими умови роз­вʼязності. Аналогічна теорія роз­вʼязності (т. зв. теорія Фредгольма) роз­роблена і для І. р. типу Фредгольма. Важл. роль у теорії І. р. ві­ді­грають т. зв. власні функції. Функція φ ≠ 0 називається власною для рівня­н­ня Фредгольма із власним значе­н­ням λ, якщо

Теорія власних функцій досить добре роз­винена для рівнянь з ермітовим ядром K, тобто таким, що K(x, y) = K(y, x). У цьому випадку власні функції подібні до системи тригонометр. функцій або системи власних векторів ермітової матриці: вони є ортогонал., за ними можна будувати роз­клади довільної функції в ряди, аналогічні ряду Фурʼє тощо. Важл. частин­ним випадком рівня­н­ня Фредгольма є т. зв. рівня­н­ня Вольтер­ра, котре одержують із рівня­н­ня Фредгольма при заміні b на x; таке рівня­н­ня роз­вʼязне для довільної функції f(x). Теорія І. р. стимулювала роз­виток теорії операторів в абстракт. просторах і функціонального аналізу. У цьому напрямі в Україні отримали класичні результати Н. Ахієзер, В. Марченко, М. Крейн та їхні учні.

Завантажити статтю