Конформна геометрія
Визначення і загальна характеристика
КОНФО́РМНА ГЕОМЕ́ТРІЯ — розділ геометрії, що вивчає властивості незмінних під дією конформних перетворень фігур, тобто неперервних відображень, які зберігають форму нескінченно малих фігур. Осн. інваріантом К. г. є кут між напрямами. Фактично, К. г. — це геометрія, визначена в евклід. просторі, доповненому однією нескінченно віддаленою (невластивою) точкою з фундам. групою точк. перетворень, які відображають сферу в сферу. Зазначений простір (позначають Mn, n — розмірність евклід. простору) називають конформ. простором, а фундам. групу — групою конформ. перетворень. У двовимір. випадку замість сфер розглядають кола. Якщо ж n ≥ 3, то перетворення, які переводять сфери в сфери, вичерпують усі перетворення, що зберігають кути (теорема Ліувілля). При n = 2 група таких перетворень є ширшою. Будь-яке перетворення з фундам. групи К. г. — композиція скінченної кількості рухів, подібних перетворень та інверсій. Фундам. група К. г. площини М3 ізоморфна деякій підгрупі проектив. групи, а саме підгрупі перетворень проектив. простору Р3, які переводять в себе овал. поверхню другого порядку, тобто групі гіперболіч. рухів тривимір. простору. Це дає змогу застосовувати для К. г. зруч. аналіт. апарат, котрий використовують в неевклід. геометріях, зокрема в геометрії Лобачевського. При конформ. перетвореннях невластива точка може переходити в будь-яку іншу, а тому коло може перейти в пряму і навпаки. Якщо поставити за мету те, щоб переходила невластива точка в себе, тобто пряма в пряму, то підгрупа таких перетворень буде групою подіб. перетворень. У Р3 підгрупі подібності відповідає підгрупа гіперболіч. рухів, що залишають нерухомою деяку фіксов. точку абсолюту. З інверсією в Р3 асоціюється такий гіперболіч. рух, при якому кожна пара відповід. точок М та М* лежить на прямій, що проходить через деяку фіксов. точку зовні абсолюту, та, крім того, виконується деяка додатк. умова. Осн. інваріант К. г. на площині — кут між двома кругами. Перетворення фундам. групи К. г. у цьому випадку зображується дробово-ліній. функцією комплекс. змінної. Використання в К. г. методів матем. аналізу призвело до створення конформно-диференціал. геометрії. На основі К. г. також побудовано геометрію просторів конформ. звʼязності, яка повʼязана з К. г. так само, як геометрія кривої поверхні з геометрією площини, або як ріманова геометрія з евклідовою.
Літ.: Картан Э. Пространства аффинной, проективной и конформной связности / Пер. с франц. Казань, 1962; Фильчакова В. П. и др. Конформные отображения областей. К., 1972; Лаврик В. И. и др. О развитии и приложении некоторых методов конформных отображений. Исследования по теории функций комплексного переменного с приложениями к механике сплошных сред. К., 1986; Андриевский В. В. и др. Конформные инварианты в конструктивной теории функций комплексного переменного. К., 1998.
В. І. Горбачук
Додаткові відомості
Рекомендована література
Завантажити статтю
