ЕНЦИКЛОПЕДІЯ
СУЧАСНОЇ УКРАЇНИ
Encyclopedia of Modern Ukraine

Розмір шрифту

A

Конформна геометрія

КОНФО́РМНА ГЕОМЕ́ТРІЯ  — розділ геометрії, що вивчає властивості незмінних під дією конформних перетворень фігур, тобто неперервних відображень, які зберігають форму нескінчен­­но малих фігур. Осн. інваріантом К. г. є кут між напрямами. Фактично, К. г. — це геометрія, визначена в евклід. просторі, доповненому однією нескінченно віддаленою (невластивою) точкою з фундам. групою точк. перетворень, які відображають сферу в сферу. Зазначений прос­­тір (позначають Mn, n — розмірність евклід. простору) називають конформ. простором, а фун­­дам. групу — групою конформ. перетворень. У двовимір. випад­­ку замість сфер розглядають ко­­ла. Якщо ж n ≥ 3, то перетворен­­ня, які переводять сфери в сфе­­ри, вичерпують усі перетворен­­ня, що зберігають кути (теорема Ліувілля). При n = 2 група таких перетворень є ширшою. Будь-яке перетворення з фундам. групи К. г. — композиція скінченної кількості рухів, подібних перетворень та інверсій. Фундам. група К. г. площини М3 ізоморфна деякій підгрупі проектив. групи, а саме підгрупі перетворень проектив. просто­­ру Р3, які переводять в себе овал. поверхню другого порядку, тобто групі гіперболіч. рухів тривимір. простору. Це дає змо­­гу застосовувати для К. г. зруч. аналіт. апарат, котрий використовують в неевклід. геометріях, зокрема в геометрії Лобачевсь­­кого. При конформ. перетворен­­нях невластива точка може переходити в будь-яку іншу, а тому коло може перейти в пряму і навпаки. Якщо поставити за ме­­ту те, щоб переходила невластива точка в себе, тобто пряма в пряму, то підгрупа таких перетворень буде групою подіб. перетворень. У Р3 підгрупі подіб­­ності відповідає підгрупа гіперболіч. рухів, що залишають нерухомою деяку фіксов. точку аб­­солюту. З інверсією в Р3 асоціюється такий гіперболіч. рух, при якому кожна пара відповід. точок М та М* лежить на прямій, що проходить через деяку фіксов. точку зовні абсолюту, та, крім того, виконується деяка до­­датк. умова. Осн. інваріант К. г. на площині — кут між двома кру­­гами. Перетворення фундам. гру­­пи К. г. у цьому випадку зоб­­ражується дробово-ліній. функ­­цією комплекс. змінної. Використання в К. г. методів матем. аналізу призвело до створення конформно-диференціал. геометрії. На основі К. г. також побудовано геометрію просторів конформ. зв’язності, яка по­­в’я­­зана з К. г. так само, як геомет­­рія кривої поверхні з геометрією площини, або як ріманова геометрія з евклідовою.

Літ.: Картан Э. Пространства аффин­­ной, проективной и конформной связности / Пер. с франц. Казань, 1962; Филь­­чакова В. П. и др. Конформные отображения областей. К., 1972; Лаврик В. И. и др. О развитии и приложении некоторых методов конформных отображений. Исследования по теории функций комплексного переменного с приложениями к механике сплошных сред. К., 1986; Андриевский В. В. и др. Конформные инварианты в конструктивной теории функций комплексного переменного. К., 1998.

В. І. Горбачук

Рекомендована література

  1. Картан Э. Пространства аффин­­ной, проективной и конформной связности / Пер. с франц. Казань, 1962;
  2. Филь­­чакова В. П. и др. Конформные отображения областей. К., 1972;
  3. Лаврик В. И. и др. О развитии и приложении некоторых методов конформных отображений. Исследования по теории функций комплексного переменного с приложениями к механике сплошных сред. К., 1986;
  4. Андриевский В. В. и др. Конформные инварианты в конструктивной теории функций комплексного переменного. К., 1998.
завантажити статтю

Інформація про статтю


Автор:
Авторські права:
Cтаттю захищено авторським правом згідно з чинним законодавством України. Докладніше див. розділ Умови та правила користування електронною версією «Енциклопедії Сучасної України»
Том ЕСУ:
14-й
Дата виходу друком тому:
Дата останньої редакції статті:
груд. 2014
Тематичний розділ сайту:
EMUIDідентифікатор статті на сайті ЕСУ
3240
Вплив статті на популяризацію знань:
19

Конформна геометрія / В. І. Горбачук // Енциклопедія Сучасної України [Електронний ресурс] / редкол. : І. М. Дзюба, А. І. Жуковський, М. Г. Железняк [та ін.] ; НАН України, НТШ. – Київ: Інститут енциклопедичних досліджень НАН України, 2014. – Режим доступу : https://esu.com.ua/article-3240

Konformna heometriia / V. I. Horbachuk // Encyclopedia of Modern Ukraine [Online] / Eds. : I. М. Dziuba, A. I. Zhukovsky, M. H. Zhelezniak [et al.] ; National Academy of Sciences of Ukraine, Shevchenko Scientific Society. – Kyiv : The NASU institute of Encyclopedic Research, 2014. – Available at : https://esu.com.ua/article-3240

Завантажити бібліографічний опис

Схожі статті

Геологія і корисні копалини України
Наука і вчення  |  Том 5  |  2006
Д. Є. Макаренко
Балканістика
Наука і вчення  |  Том 2  |  2003
П. М. Рудяков
Бальнеологія
Наука і вчення  |  Том 2  |  2003
Л. А. Пиріг

ВСІ СТАТТІ ЗА АБЕТКОЮ

Нагорунагору