Лінійна алгебра

ЛІНІ́ЙНА А́ЛГЕБРА – розділ алгебри, що вивчає векторні (лінійні) простори, лінійні оператори (лінійні відображення), лінійні, білінійні та квадратичні функції (функціонали, або форми) на векторних просторах. Історично першим розділом Л. а. була теорія ліній. рівнянь (алгебраїчних). У зв’язку з розв’язанням систем ліній. рівнянь виникло поняття визначника. 1750 отримано правило Крамера для розв’язання системи ліній. рівнянь, в якій число рівнянь дорівнює числу невідомих, а визначник з коефіцієнтів при невідомих не дорівнює нулю. 1849 був запропонований метод Гауса розв’язання систем ліній. рівнянь з числовими коефіцієнтами. Цей метод є найпростішим за кількістю необхідних операцій і використовується з різними модифікаціями також для наближеного розв’язання систем рівнянь, коефіцієнти яких також відомі наближено. У зв’язку з вивченням систем ліній. рівнянь та їх визначників з’явилося поняття матриці. Поняття рангу матриці, запропоноване нім. математиком Г. Фробеніусом 1877, дозволило виразити умови сумісності та визначеності системи ліній. рівнянь в термінах коефіцієнтів цієї системи (теорема Кронекера–Капеллі). Таким чином, наприкінці 19 ст. закінчено побудову заг. теорії систем ліній. рівнянь. Якщо у 18–19 ст. осн. зміст Л. а. складали системи ліній. рівнянь і теорія визначників, то у 20 ст. центр. місце займали поняття вектор. простору та пов’язані з ним поняття ліній. перетворення, ліній., біліній. та поліліній. функції на вектор. просторі. Вектор. чи ліній. простором над полем K називається множина V елементів (векторів), в якому задано операції додавання векторів і множення вектора на елементи поля K, що задовольняють певним аксіомам з означення вектор. простору. Одним з найважливіших понять теорії вектор. просторів є поняття ліній. відображення, гомоморфізму вектор. просторів над одним і тим же полем. Ліній. оператором чи ліній. перетворенням називається лінійне відображення простору в себе (ендоморфізм вектор. простору). Якщо простір V скінченновимірний, то, вибираючи у V базис e₁, ..., e_n і взявши

отримують квадратну матрицю A = (a_ij) порядку n, яку називають матрицею ліній. перетворення ϕ в даному базисі. Вектор. простір V над полем K з додатк. операцією множення векторів, що задовольняє деякі додатк. аксіоми, називається алгеброю над K. Всі лінійні перетворення простору V відносно природно визначених операцій додавання, множення та множення на елементи поля K утворюють алгебру над K. Усі квадратні матриці фіксов. порядку над елементами з поля K також утворюють алгебру над K. Зазначена вище відповідність між ліній. перетвореннями простору V та їх матрицями на заданому базисі є ізоморфізмом цих алгебр, що дозволяє формулювати теореми про лінійні перетворення паралельно матрич. мовою та при їх доведенні користуватися теорією матриць. Велике значення в теорії ліній. перетворень має вибір базису, в якому матриця перетворення набуває в деякому сенсі найпростішого вигляду. У випадку алгебраїчно замкненого поля таким виглядом є, напр., жорданова нормал. форма матриці. Важливим випадком ліній. перетворення є лінійна функція (ліній. функціонал) – лінійне перетворення V в K. Усі лінійні функції на V відносно природ. чином визначених операцій додавання та множення на елементи поля K самі утворюють вектор. простір V^* над K, котрий називають спряженим простором до V. Вектори простору V можна в свою чергу розглядати як лінійні функції на спряженому просторі V^*, покладаючи x(f)=f(x) для всіх x∈V та f∈V*. Якщо простір V скінченновимірний, то таким чином встановлюється ізоморфізм між просторами V та V**. Узагальненням поняття ліній. функції є поняття поліліній. функції, тобто функції зі значеннями в K, яка залежить від декількох аргументів (з яких частина належить вектор. простору V, а частина – вектор. простору V*), лінійної по кожному аргументу. Ці функції також називають тензорами. Їх вивченню присвячена полілінійна алгебра. Частк. випадок поліліній. функцій – білінійні функції. Кососиметр. полілінійні функції також називаються зовн. формами. На основі поняття вектор. простору визначають різні класичні простори геометрії, зокрема афінні простори, проективні простори та ін. Теорія вектор. просторів має важливі зв’язки з теорією груп. Усі автоморфізми n-вимірного вектор. простору V над полем K утворюють групу відносно множення, ізоморфну групі невироджених квадрат. матриць порядку n з елементами з K. Гомоморфне відображення деякої групи G в цю групу автоморфізмів називається ліній. представленням групи G у просторі V. Вивчення властивостей зображень складає предмет теорії ліній. зображень груп. Класична теорія ліній. рівнянь і визначників була узагальнена на випадок, коли замість чисел чи елементів поля розглядаються елементи довіл. тіла. Природ. узагальненням поняття вектор. простору над полем K є поняття модуля над довіл. кільцем. Осн. теореми Л. а. перестають бути правильними при заміні вектор. простору на модуль. Вивчення можливостей таких узагальнень, властивих для модулів, призвело до виникнення алгебраїч. K-теорії.

Літ.: Гельфанд И. М. Лекции по линейной алгебре. Москва, 1971; Мальцев А. И. Основы линейной алгебры. Москва, 1975; Калужнін Л. А., Вишенський В. А., Шуб Ц. О. Лінійні простори: Підруч. К., 2010.

В. В. Кириченко, М. В. Плахотник

Рекомендована література