Лінійна алгебра

Визначення і загальна характеристика

ЛІНІ́ЙНА А́ЛГЕБРА  — розділ алгебри, що вивчає век­торні (лінійні) простори, лінійні оператори (лінійні відображення), лінійні, білінійні та квадратичні функції (функціонали, або форми) на векторних просторах. Історично першим розділом Л. а. була теорія ліній. рівнянь (алгебраїчних). У зв’язку з розв’язанням систем ліній. рівнянь виникло поняття визначни­ка. 1750 отримано правило Кра­­ме­ра для розв’язання системи ліній. рівнянь, в якій число рівнянь дорівнює числу невідомих, а визначник з коефіцієнтів при невідомих не дорівнює нулю. 1849 був запропонований метод Гауса розв’язання систем ліній. рівнянь з числовими коефіцієнтами. Цей метод є найпростішим за кількістю необхідних операцій і використовується з різними модифікаціями також для наближеного розв’я­зання систем рівнянь, коефіцієнти яких також відомі наближено. У зв’язку з вивченням сис­тем ліній. рівнянь та їх визнач­ників з’явилося поняття матри­ці. Поняття рангу матриці, запропо­новане нім. математиком Г. Фро­беніусом 1877, дозволило виразити умови сумісності та визначеності системи ліній. рівнянь в термінах коефіцієнтів цієї сис­теми (теорема Кронекера–Капеллі). Таким чином, наприкінці 19 ст. закінчено побудову заг. теорії систем ліній. рівнянь. Якщо у 18–19 ст. осн. зміст Л. а. складали системи ліній. рівнянь і теорія визначників, то у 20 ст. центр. місце займали поняття вектор. простору та пов’язані з ним поняття ліній. перетворення, ліній., біліній. та поліліній. функції на вектор. просторі. Вектор. чи ліній. простором над полем K називається множина V елементів (векторів), в якому задано операції додавання век­торів і множення вектора на еле­менти поля K, що задовольняють певним аксіомам з означення вектор. простору. Одним з найважливіших понять теорії вектор. просторів є поняття ліній. відображення, гомоморфіз­му вектор. просторів над одним і тим же полем. Ліній. оператором чи ліній. перетворенням на­зивається лінійне відображення простору в себе (ендоморфізм вектор. простору). Якщо простір V скінченновимірний, то, вибираючи у V базис e₁, ..., e_n і взявши

отримують квадратну матрицю A = (a_ij) порядку n, яку називають матрицею ліній. перетворення ϕ в даному базисі. Вектор. простір V над полем K з додатк. операцією множення векторів, що задовольняє деякі додатк. аксіоми, називається алгеброю над K. Всі лінійні перетворення простору V відносно природно визначених операцій додавання, множення та множення на елементи поля K утворюють алгебру над K. Усі квадратні матриці фіксов. порядку над елементами з поля K також утворюють алгебру над K. Зазначена вище відповідність між ліній. перетвореннями простору V та їх матрицями на заданому базисі є ізоморфізмом цих алгебр, що дозволяє формулювати теореми про лінійні перетворення паралельно матрич. мовою та при їх доведенні користуватися теорією матриць. Велике значення в тео­рії ліній. перетворень має вибір базису, в якому матриця перетворення набуває в деякому сен­сі найпростішого вигляду. У випадку алгебраїчно замкненого поля таким виглядом є, напр., жорданова нормал. форма матриці. Важливим випадком ліній. перетворення є лінійна функція (ліній. функціонал) — лінійне перетворення V в K. Усі лінійні функції на V відносно природ. чином визначених операцій додавання та множення на елементи поля K самі утворюють вектор. простір V^* над K, кот­рий називають спряженим простором до V. Вектори простору V можна в свою чергу розглядати як лінійні функції на спряженому просторі V^*, покладаючи x(f)=f(x) для всіх x∈V та f∈V*. Якщо простір V скінченновимір­ний, то таким чином встановлю­ється ізоморфізм між просторами V та V**. Узагальненням поняття ліній. функції є поняття поліліній. функції, тобто функції зі значеннями в K, яка залежить від декількох аргументів (з яких частина належить вектор. простору V, а частина — вектор. простору V*), лінійної по кожному аргументу. Ці функції також називають тензорами. Їх ви­вченню присвячена полілінійна алгебра. Частк. випадок поліліній. функцій — білінійні функції. Кососиметр. полілінійні функції також називаються зовн. форма­ми. На основі поняття вектор. простору визначають різні класичні простори геометрії, зокре­ма афінні простори, проективні простори та ін. Теорія вектор. просторів має важливі зв’язки з теорією груп. Усі автоморфізми n-вимірного вектор. простору V над полем K утворюють групу відносно множення, ізоморфну групі невироджених квадрат. мат­риць порядку n з елементами з K. Гомоморфне відображення деякої групи G в цю групу автоморфізмів називається ліній. пред­ставленням групи G у просторі V. Вивчення властивостей зображень складає предмет тео­рії ліній. зображень груп. Класична теорія ліній. рівнянь і визначників була узагальнена на випадок, коли замість чисел чи елементів поля розглядаються елементи довіл. тіла. Природ. узагальненням поняття вектор. простору над полем K є поняття модуля над довіл. кільцем. Осн. теореми Л. а. перестають бути правильними при заміні вектор. простору на модуль. Ви­вчення можливостей таких узагальнень, властивих для модулів, призвело до виникнення ал­­гебраїч. K-теорії.

Завантажити статтю