Лінійна алгебра

Визначення і загальна характеристика

ЛІНІ́ЙНА А́ЛГЕБРА — роз­діл алгебри, що ви­вчає век­торні (лінійні) простори, лінійні оператори (лінійні від­ображе­н­ня), лінійні, білінійні та квадратичні функції (функціонали, або форми) на векторних просторах. Історично першим роз­ділом Л. а. була теорія ліній. рівнянь (алгебраїчних). У звʼязку з роз­вʼяза­н­ням систем ліній. рівнянь виникло поня­т­тя ви­значни­ка. 1750 отримано правило Кра­­ме­ра для роз­вʼяза­н­ня системи ліній. рівнянь, в якій число рівнянь дорівнює числу неві­домих, а ви­значник з коефіцієнтів при неві­домих не дорівнює нулю. 1849 був за­пропонований метод Гауса роз­вʼяза­н­ня систем ліній. рівнянь з числовими коефіцієнтами. Цей метод є най­простішим за кількістю необхідних операцій і використовується з різними модифікаціями також для на­ближеного роз­вʼя­за­н­ня систем рівнянь, коефіцієнти яких також ві­домі на­ближено. У звʼязку з ви­вче­н­ням сис­тем ліній. рівнянь та їх ви­знач­ників зʼявилося поня­т­тя матри­ці. Поня­т­тя рангу матриці, за­пропо­новане нім. математиком Г. Фро­беніусом 1877, до­зволило виразити умови сумісності та ви­значеності системи ліній. рівнянь в термінах коефіцієнтів цієї сис­теми (теорема Кронекера–Капел­лі). Таким чином, на­прикінці 19 ст. закінчено побудову заг. теорії систем ліній. рівнянь. Якщо у 18–19 ст. осн. зміст Л. а. складали системи ліній. рівнянь і теорія ви­значників, то у 20 ст. центр. місце за­ймали поня­т­тя вектор. простору та повʼязані з ним поня­т­тя ліній. пере­творе­н­ня, ліній., біліній. та поліліній. функції на вектор. просторі. Вектор. чи ліній. простором над полем K називається множина V елементів (векторів), в якому за­дано операції додава­н­ня век­торів і множе­н­ня вектора на еле­менти поля K, що задовольняють певним аксіомам з означе­н­ня вектор. простору. Одним з найважливіших понять теорії вектор. просторів є поня­т­тя ліній. від­ображе­н­ня, гомоморфіз­му вектор. просторів над одним і тим же полем. Ліній. оператором чи ліній. пере­творе­н­ням на­зивається лінійне від­ображе­н­ня простору в себе (ендоморфізм вектор. простору). Якщо про­стір V скінчен­новимірний, то, вибираючи у V базис e₁, ..., e_n і взявши

отримують квадратну матрицю A = (a_ij) порядку n, яку називають матрицею ліній. пере­творе­н­ня ϕ в даному базисі. Вектор. про­стір V над полем K з додатк. операцією множе­н­ня векторів, що задовольняє деякі додатк. аксіоми, називається алгеброю над K. Всі лінійні пере­творе­н­ня простору V від­носно природно ви­значених операцій додава­н­ня, множе­н­ня та множе­н­ня на елементи поля K утворюють алгебру над K. Усі квадратні матриці фіксов. порядку над елементами з поля K також утворюють алгебру над K. За­значена вище від­повід­ність між ліній. пере­творе­н­нями простору V та їх матрицями на за­даному базисі є ізоморфізмом цих алгебр, що до­зволяє формулювати теореми про лінійні пере­творе­н­ня паралельно матрич. мовою та при їх доведен­ні користуватися теорією матриць. Велике значе­н­ня в тео­рії ліній. пере­творень має вибір базису, в якому матриця пере­творе­н­ня набуває в деякому сен­сі най­простішого ви­гляду. У випадку алгебраїчно за­мкненого поля таким ви­глядом є, напр., жор­данова нормал. форма матриці. Важливим випадком ліній. пере­творе­н­ня є лінійна функція (ліній. функціонал) — лінійне пере­творе­н­ня V в K. Усі лінійні функції на V від­носно природ. чином ви­значених операцій додава­н­ня та множе­н­ня на елементи поля K самі утворюють вектор. про­стір V^* над K, кот­рий називають спряженим простором до V. Вектори простору V можна в свою чергу роз­глядати як лінійні функції на спряженому просторі V^*, покладаючи x(f)=f(x) для всіх x∈V та f∈V*. Якщо про­стір V скінчен­новимір­ний, то таким чином встановлю­ється ізоморфізм між просторами V та V**. Узагальне­н­ням поня­т­тя ліній. функції є поня­т­тя поліліній. функції, тобто функції зі значе­н­нями в K, яка залежить від декількох аргументів (з яких частина належить вектор. простору V, а частина — вектор. простору V*), лінійної по кожному аргументу. Ці функції також називають тензорами. Їх ви­вчен­ню присвячена полілінійна алгебра. Частк. випадок поліліній. функцій — білінійні функції. Кососиметр. полілінійні функції також називаються зовн. форма­ми. На основі поня­т­тя вектор. простору ви­значають різні класичні простори геометрії, зокре­ма афін­ні простори, проективні простори та ін. Теорія вектор. просторів має важливі звʼязки з теорією груп. Усі автоморфізми n-вимірного вектор. простору V над полем K утворюють групу від­носно множе­н­ня, ізоморфну групі невироджених квадрат. мат­риць порядку n з елементами з K. Гомоморфне від­ображе­н­ня деякої групи G в цю групу автоморфізмів називається ліній. пред­­ставле­н­ням групи G у просторі V. Ви­вче­н­ня властивостей зображень складає предмет тео­рії ліній. зображень груп. Класична теорія ліній. рівнянь і ви­значників була узагальнена на випадок, коли замість чисел чи елементів поля роз­глядаються елементи довіл. тіла. Природ. узагальне­н­ням поня­т­тя вектор. простору над полем K є поня­т­тя модуля над довіл. кільцем. Осн. теореми Л. а. пере­стають бути правильними при заміні вектор. простору на модуль. Ви­вче­н­ня можливостей таких узагальнень, властивих для модулів, при­звело до виникне­н­ня ал­­гебраїч. K-теорії.

Літ.: Гельфанд И. М. Лекции по линейной алгебре. Москва, 1971; Мальцев А. И. Основы линейной алгебры. Москва, 1975; Калужнін Л. А., Вишенський В. А., Шуб Ц. О. Лінійні простори: Під­руч. К., 2010.

В. В. Кириченко, М. В. Плахотник

Завантажити статтю