Алгебра

Визначення і загальна характеристика

А́ЛГЕБРА (араб. аль-джабр (аль-габр) — відбудова розрізнених частин) — розділ математики, в якому вивчають дії над величинами, незалежно від їхніх числових значень. Перші алгебричні поняття і методи виникли в Стародавньому Єгипті та Вавилоні внаслідок пошуку загальних методів розв’язування арифметичних задач практичного характеру. Із сучасного погляду це були методи розв’язування алгебричних рівнянь 1-го, 2-го і навіть окремих типів рівнянь 3-го степеня. Тоді ж виникли спеціальні назви й позначення невідомої величини в рівняннях. Розробкою теорії рівнянь займалися і давньогрецькі математики, зокрема Діофант Александрійський (3 ст. н. е.). У його книзі «Арифметика» було здійснено перехід до буквенної А. Досягненням стародавньої китайської математики є розробка загального методу розв’язування систем лінійних рівнянь із 3-, 4- та 5-ма невідомими. 

Значний внесок у розвиток А. зробили середньоазіатські науковці. У 9 ст. завдяки працям узбецького математика М. Хорезмі (аль-Хорезмі) А. повністю відокремилася від арифметики й геометрії, а сам термін «алгебра» походить від назви його праці «Аль-джабр аль-мукабала». Назва цього твору фактично означає правила перетворення алгебричних рівностей. У працях математиків Середньої Азії та Близького Сходу у 9–15 ст. на основі досягнень стародавньої та індійської математики розроблено систематичну теорію алгебричних рівнянь 1-го і 2-го степеня. Важливим етапом у розвитку А. були дослідження європейських вчених 15–16 ст. Н. Тарталья, Дж. Кардано, Л. Ферарі, Ф. Вієста: побудова теорії розв’язання алгебричних рівнянь 3-го та 4-го степеня, розвиток вчення про комплексні числа, завершення створення буквенної А. та математичної символіки. Завдяки їм викладено у загальній формі алгебричні правила і властивості перетворень. Помітну роль для розвитку А. відіграли праці Р. Декарта «Міркування про метод» (1637), де алгебричні методи застосовано до геометрії; І. Ньютона «Загальна арифметика» (1707), де викладення А. ведеться у тісному зв’язку з обчислювальними методами; Л. Ейлера «Універсальна арифметика», де А. вперше представлена як самостійна галузь математики. 

Подальший розвиток А. був зосереджений навколо двох проблем — розв’язності алгебричних рівнянь у радикалах та доведення основної теореми алгебри. Ж. Лаґранж вперше поставив питання: чому методи, які застосовувано при розв’язуванні рівнянь степеня, меншого за 5, непридатні для рівнянь вищих порядків. Це привело його до розгляду раціональних функцій від коренів і їх поведінки при перестановках коренів. Він увів групу підстановок і довів перші теореми теорії груп. Ці дослідження продовжили К. Ґаусс, Н. Абель, Е. Ґалуа. На початку 19 ст. вони зробили надзвичайно вагомі відкриття, які спонукали введення нових алгебричних понять, таких, як поле, кільце, група, структура та ін. Тут у першу чергу слід згадати доведення К. Ґауссом основної теореми алгебри, результат Н. Абеля про нерозв’язність у радикалах рівнянь степеня, більшого, ніж 4, та з’ясування Е. Ґалуа умов розв’язності в радикалах алгебричного рівняння (розв’язна група). Слід особливо відзначити працю К. Ґаусса «Арифметичні дослідження» (1801), що мала вирішальний вплив на всіх математиків у галузі теорії чисел і алгебри упродовж 19 ст. На межі 19– 20 ст. А. завдяки працям Д. Ґільберта, Е. Ласкера, Е. Артіна, Е. Ньотер перетворилася на загальну теорію алгебричних операцій. Видатну роль у розвитку А. зіграла монографія Б.-Л. ван дер Вардена «Сучасна алгебра» (1930). Важливим розділом А., який відокремився в цей час, є лінійна А. та теорія матриць. Фундаментальні дослідження у цій галузі науки належить К. Жордану, Л. Кронекеру та Г. Фробеніусу.

Значний внесок у розвиток А. зробили українські вчені. Від 1902 в Київ. університеті працював видат. математик Д. Ґраве. Він заснував відомий наук. семінар і створив першу в Рос. імперії алгебричну школу, що в подальшому стала осередком розвитку алгебри в СРСР. До неї належали такі відомі алгебристи, як О. Шмідт, М. Кравчук, Б. Делоне, М. Чеботарьов, В. Вельмін, О. Островський. Внесок М. Кравчука в лінійну алгебру досить вагомий. Нормальна форма Кравчука в представленні комутатив. нільпотентної алгебри матриць — один з термінів, що увічнили його ім’я в математичній науці. Вперше в світовій математичній літературі О. Шмідт у монографії «Абстрактная теория групп» (К., 1916) виклав основи теорії груп без обмежень скінченності. Він у 1929 заснував каф. вищої алгебри Моск. університету. М. Чеботарьов організував відому алгебричну школу. Учнями Б. Делоне були І. Шафаревич та Д. Фадєєв, які створили потужні алгебричні школи відповідно у Москві та Ленінграді. Перші глибокі результати в теорії напівгруп і квазігруп належать проф. Харків. університету А. Сушкевичу. Цей новий напрям розвинули його учні як у Харкові (Л. Глускін), так і далеко за межами України. Від серед. 50-х рр. 20 ст. розвиток А. в Київ. університеті пов’язаний з ім’ям видат. математика Л. Калужніна, який відродив алгебричні традиції Київ. університету. Важл. роль у теорії диференціал. рівнянь у частинних похідних відіграли праці Я. Лопатинського з теорії диференціал. кілець. У Львів. університеті він створив відому алгебричну школу, представниками якої були С. Берман і П. Казимірський. У 50– 60-х рр. С. Берман в Ужгород. університеті створив школу з теорії групових кілець та теорії зображень. Його учнями є П. Гудивок, А. Бовді, В. Дроботенко, В. Рудько та ін. Дослідження М. Крейна (Одеса) з теорії топологічних груп і гармонічного аналізу на таких групах відіграли значну роль у розвитку теорії груп. Відкриття ним своєрідного принципу двоїстості для довільної комутативної групи привело Г. Каца (Київ) до введення нового об’єкта — кільцевої групи (алгебри Каца) і узагальнення результатів М. Крейна на локально компактні групи. С. Крейн і Ю. Березанський (Київ) побудували гармонічний аналіз на гіперкомплексних системах, аксіоматика яких, як потім з’ясувалось, охоплює аксіоми гіпергруп. У 70–80-х рр. проводились дослідження із теорії зображень груп, алгебричної теорії кодування, теорії напівгруп у Харків. інституті радіоелектроніки (С. Берман, Л. Глускін), з абстрактної теорії груп та опису груп з обмеженнями для підгруп в Інституті математики АН УРСР та Київ. пед. інституті (С. Черников та його учні Д. Зайцев, С. Левищенко). Абстрактні алгебричні дослідження застосовуються у фізиці, кібернетиці та інформатиці. Значний внесок для цього зробили перший директор Інституту кібернетики НАНУ академік В. Глушков та його учні: Ю. Капітонова, О. Летичевський, В. Редько, Г. Цейтлін.

Сучасні алгебричні дослідження в Україні ведуться за такими напрямками: теорія груп (В. Сущанський, М. Кузенний, Л. Курдаченко, Ф. Лиман, А. Петравчук, Я. Сисак, М. Черников, В. Устименко, О. Артемович, М. Семко); теорія зображень (Ю. Дрозд, П. Гудивок, О. Завадський, В. Кириченко, Л. Назарова, А. Ройтер, В. Сергійчук, В. Бондаренко, С. Кругляк); теорія кілець та модулів (Ю. Дрозд, В. Кириченко, М. Комарницький, О. Горбачук); алгебра Лі та квантові групи (В. Дрінфельд, Ю. Дрозд, А. Климик, В. Любашенко, В. Мазорчук, А. Петравчук, В. Футорний); напівгрупи та майже кільця (Б. Новиков, В. Усенко, О. Ганюшкін); топологічна А. (М. Зарічний, І. Протасов, В. Чарін, Е. Зеленюк, Т. Банах). Питаннями, які безпосередньо пов’язані з А., займаються Л. Вайнерман, М. Кратко, А. Левитська, Л. Лісовик, Ю. Самойленко та ін. Курс А. — важлива складова частина математичної освіти учнів загальноосвітніх шкіл та спеціалістів вищої кваліфікації. У шкільному курсі А. вивчають такі розділи, як перетворення алгебричних виразів, рівняння, нерівності з одним і двома невідомими та їхні системи. У вузівському курсі математики ці питання доповнюються новими розділами: системи лінійних рівнянь, скінченновимірні простори, лінійна алгебра, алгебричні системи (групи, кільця, поля).

Завантажити статтю