Алгебра

Визначення і загальна характеристика

А́ЛГЕБРА (араб. аль-джабр (аль-габр) — від­будова роз­різнених частин) — роз­діл математики, в якому ви­вчають дії над величинами, незалежно від їхніх числових значень. Перші алгебричні поня­т­тя і методи виникли в Стародавньому Єгипті та Вавилоні внаслідок пошуку загальних методів роз­вʼязува­н­ня арифметичних задач практичного характеру. Із сучасного по­гляду це були методи роз­вʼязува­н­ня алгебричних рівнянь 1-го, 2-го і навіть окремих типів рівнянь 3-го степеня. Тоді ж виникли спеціальні назви й по­значе­н­ня неві­домої величини в рівня­н­нях. Роз­робкою теорії рівнянь за­ймалися і давньо­грецькі математики, зокрема Діофант Александрійський (3 ст. н. е.). У його книзі «Арифметика» було здійснено пере­хід до буквен­ної А. Досягне­н­ням стародавньої китайської математики є роз­робка загального методу роз­вʼязува­н­ня систем лінійних рівнянь із 3-, 4- та 5-ма неві­домими. 

Значний внесок у роз­виток А. зробили середньоазіатські науковці. У 9 ст. завдяки працям узбецького математика М. Хорезмі (аль-Хорезмі) А. повністю від­окремилася від арифметики й геометрії, а сам термін «алгебра» походить від назви його праці «Аль-джабр аль-мукабала». Назва цього твору фактично означає правила пере­творе­н­ня алгебричних рівностей. У працях математиків Середньої Азії та Близького Сходу у 9–15 ст. на основі досягнень стародавньої та індійської математики роз­роблено систематичну теорію алгебричних рівнянь 1-го і 2-го степеня. Важливим етапом у роз­витку А. були дослідже­н­ня європейських вчених 15–16 ст. Н. Тарталья, Дж. Кар­дано, Л. Ферарі, Ф. Вієста: побудова теорії роз­вʼяза­н­ня алгебричних рівнянь 3-го та 4-го степеня, роз­виток вче­н­ня про комплексні числа, заверше­н­ня створе­н­ня буквен­ної А. та математичної символіки. Завдяки їм викладено у загальній формі алгебричні правила і властивості пере­творень. Помітну роль для роз­витку А. ві­діграли праці Р. Декарта «Міркува­н­ня про метод» (1637), де алгебричні методи за­стосовано до геометрії; І. Ньютона «Загальна арифметика» (1707), де викладе­н­ня А. ведеться у тісному звʼязку з обчислювальними методами; Л. Ейлера «Універсальна арифметика», де А. вперше пред­ставлена як само­стійна галузь математики. 

Подальший роз­виток А. був зосереджений навколо двох про­блем — роз­вʼязності алгебричних рівнянь у радикалах та доведе­н­ня основної теореми алгебри. Ж. Лаґранж вперше по­ставив пита­н­ня: чому методи, які за­стосовувано при роз­вʼязуван­ні рівнянь степеня, меншого за 5, не­придатні для рівнянь вищих порядків. Це привело його до роз­гляду раціональних функцій від коренів і їх поведінки при пере­становках коренів. Він увів групу під­становок і довів перші теореми теорії груп. Ці дослідже­н­ня продовжили К. Ґаусс, Н. Абель, Е. Ґалуа. На початку 19 ст. вони зробили над­звичайно вагомі від­кри­т­тя, які спонукали введе­н­ня нових алгебричних понять, таких, як поле, кільце, група, структура та ін. Тут у першу чергу слід згадати доведе­н­ня К. Ґаус­сом основної теореми алгебри, результат Н. Абеля про нерозвʼязність у радикалах рівнянь степеня, більшого, ніж 4, та зʼясува­н­ня Е. Ґалуа умов роз­вʼязності в радикалах алгебричного рівня­н­ня (роз­вʼязна група). Слід особливо від­значити працю К. Ґаус­са «Арифметичні дослідже­н­ня» (1801), що мала вирішальний вплив на всіх математиків у галузі теорії чисел і алгебри упродовж 19 ст. На межі 19– 20 ст. А. завдяки працям Д. Ґільберта, Е. Ласкера, Е. Артіна, Е. Ньотер пере­творилася на загальну теорію алгебричних операцій. Видатну роль у роз­витку А. зіграла моно­графія Б.-Л. ван дер Вардена «Сучасна алгебра» (1930). Важливим роз­ділом А., який від­окремився в цей час, є лінійна А. та теорія матриць. Фундаментальні дослідже­н­ня у цій галузі науки належить К. Жор­дану, Л. Кронекеру та Г. Фробеніусу.

Значний внесок у роз­виток А. зробили українські вчені. Від 1902 в Київ. університеті працював видат. математик Д. Ґраве. Він заснував ві­домий наук. семінар і створив першу в Рос. імперії алгебричну школу, що в подальшому стала осередком роз­витку алгебри в СРСР. До неї належали такі ві­домі алгебристи, як О. Шмідт, М. Кравчук, Б. Делоне, М. Чеботарьов, В. Вельмін, О. Островський. Внесок М. Кравчука в лінійну алгебру досить вагомий. Нормальна форма Кравчука в пред­ставлен­ні комутатив. нільпотентної алгебри матриць — один з термінів, що увічнили його імʼя в математичній науці. Вперше в світовій математичній літературі О. Шмідт у моно­графії «Абстрактная теория групп» (К., 1916) виклав основи теорії груп без обмежень скінчен­ності. Він у 1929 заснував каф. вищої алгебри Моск. університету. М. Чеботарьов організував ві­дому алгебричну школу. Учнями Б. Делоне були І. Шафаревич та Д. Фадєєв, які створили потужні алгебричні школи від­повід­но у Москві та Ленін­граді. Перші глибокі результати в теорії напів­груп і квазі­груп належать проф. Харків. університету А. Сушкевичу. Цей новий напрям роз­винули його учні як у Харкові (Л. Глускін), так і далеко за межами України. Від серед. 50-х рр. 20 ст. роз­виток А. в Київ. університеті повʼязаний з імʼям видат. математика Л. Калужніна, який від­родив алгебричні традиції Київ. університету. Важл. роль у теорії диференціал. рівнянь у частин­них похідних ві­діграли праці Я. Лопатинського з теорії диференціал. кілець. У Львів. університеті він створив ві­дому алгебричну школу, пред­ставниками якої були С. Берман і П. Казимірський. У 50– 60-х рр. С. Берман в Ужгород. університеті створив школу з теорії групових кілець та теорії зображень. Його учнями є П. Гудивок, А. Бовді, В. Дроботенко, В. Рудько та ін. Дослідже­н­ня М. Крейна (Одеса) з теорії топологічних груп і гармонічного аналізу на таких групах ві­діграли значну роль у роз­витку теорії груп. Від­кри­т­тя ним своєрідного принципу дво­їстості для довільної комутативної групи привело Г. Каца (Київ) до введе­н­ня нового обʼєкта — кільцевої групи (алгебри Каца) і узагальне­н­ня результатів М. Крейна на локально компактні групи. С. Крейн і Ю. Березанський (Київ) побудували гармонічний аналіз на гіперкомплексних системах, аксіоматика яких, як потім зʼясувалось, охоплює аксіоми гіпер­груп. У 70–80-х рр. проводились дослідже­н­ня із теорії зображень груп, алгебричної теорії кодува­н­ня, теорії напів­груп у Харків. ін­ституті радіо­електроніки (С. Берман, Л. Глускін), з абстрактної теорії груп та опису груп з обмеже­н­нями для під­груп в Ін­ституті математики АН УРСР та Київ. пед. ін­ституті (С. Черников та його учні Д. Зайцев, С. Левищенко). Абстрактні алгебричні дослідже­н­ня за­стосовуються у фізиці, кібернетиці та інформатиці. Значний внесок для цього зробили перший директор Ін­ституту кібернетики НАНУ академік В. Глушков та його учні: Ю. Капітонова, О. Летичевський, В. Редько, Г. Цейтлін.

Сучасні алгебричні дослідже­н­ня в Україні ведуться за такими напрямками: теорія груп (В. Сущанський, М. Кузен­ний, Л. Курдаченко, Ф. Лиман, А. Петравчук, Я. Сисак, М. Черников, В. Устименко, О. Артемович, М. Семко); теорія зображень (Ю. Дрозд, П. Гудивок, О. Завадський, В. Кириченко, Л. Назарова, А. Ройтер, В. Сергійчук, В. Бондаренко, С. Кругляк); теорія кілець та модулів (Ю. Дрозд, В. Кириченко, М. Комарницький, О. Горбачук); алгебра Лі та квантові групи (В. Дрінфельд, Ю. Дрозд, А. Климик, В. Любашенко, В. Мазорчук, А. Петравчук, В. Футорний); напів­групи та майже кільця (Б. Новиков, В. Усенко, О. Ганюшкін); топологічна А. (М. Зарічний, І. Протасов, В. Чарін, Е. Зеленюк, Т. Банах). Пита­н­нями, які без­посередньо повʼязані з А., за­ймаються Л. Вайнерман, М. Кратко, А. Левитська, Л. Лісовик, Ю. Самойленко та ін. Курс А. — важлива складова частина математичної освіти учнів загальноосвітніх шкіл та спеціалістів вищої кваліфікації. У шкільному курсі А. ви­вчають такі роз­діли, як пере­творе­н­ня алгебричних виразів, рівня­н­ня, нерівності з одним і двома неві­домими та їхні системи. У вузівському курсі математики ці пита­н­ня доповнюються новими роз­ділами: системи лінійних рівнянь, скінчен­новимірні простори, лінійна алгебра, алгебричні системи (групи, кільця, поля).

Літ.: Граве Д. А. Трактат по алгебраическому анализу. К., 1938; Стройк Д. Коротка історія математики / Пер. з англ. К., 1960; Гельфанд И. М. Лекции по линейной алгебре. Москва, 1966; Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. Москва, 1967; Калужнін Л. А., Вишенський В. А., Шуб Ц. О. Лінійні простори. К., 1971; Калужнин Л. А. Введение в общую алгебру. Москва, 1973; Завало С. Т., Ко­старчук В. М., Хацет Б. І. Алгебра і теорія чисел: В 2 т. К., 1974; 1976; Гудивок П. М. Целочислен­ные пред­ставления конечных групп. Уж., 1978; Глушков В. М., Ющенко Е. Л., Цейтлин Г. Е. Алгебра. Языки. Про­грам­мирование. К., 1978; Кострикин А. И., Манин Ю. И. Линейная алгебра и геометрия. Москва, 1980; Дрозд Ю. А., Кириченко В. В. Конечномерные алгебры. К., 1980; Черников С. Н. Груп­пы с за­дан­ными свойствами системы под­групп. Москва, 1980; Завало С. Т., Левищенко С. С. та ін. Алгебра і теорія чисел: Практикум 1, 2. К., 1983; 1986; Калужнин Л. А., Сущанский В. И. Преобразования и пере­становки. Москва, 1985; Завало С. Т. Курс алгебри. К., 1986; P. Gabriel, A. V. Roiter. Representations of finite dimensional algebras. Springer, 1992; Y. A. Drozd, V. V. Kirichenko. Finite Dimensional Algebras (with an Appendix by V. Dlab). Springer, 1994; A. Klimyk, K. Schmudgen. Quantum Groups and Their Representations. Springer; Berlin, 1997; V. M. Futorny. Representations of affine Lie algebras // Queenʼs Papers in Pure and Applied Mathematics. Vol. 106. Queenʼs University, Kingston, ON, 1997; І. Protasov, E. Zelenyuk. Topologies on Groups Deternined by Sequences. Lviv, 1999; V. S. Mazorchuk. Generalized Verma Modules, Ergonyungskeihe, Bielefeld Univ., 1999.

В. В. Кириченко

Завантажити статтю