Квантова механіка

Визначення і загальна характеристика

КВА́НТОВА МЕХА́НІКА — один із фундаментальних роз­ділів сучасної теоретичної фізики. Є основою квантової фізики, описує поведінку електронів, ядер, атомів, молекул у різних середовищах, взаємодію ви­промінюва­н­ня з речовиною. Традиц. явища, які ви­вчає К. м., від­буваються у мікросвіті, роз­міри якого коливаються в межах 10^-6–10^-14 см. Спо­стереже­н­ня поведінки обʼєктів мікросвіту можливе лише за допомогою від­повід. приладів, зокрема лічильника Ґайґера (детектор окремих заряджених частинок, вина­йдений 1908 нім. фізиком Г. Ґайґером і англ. фізиком Е. Резерфордом), камери Вільсона (перший трековий детектор заряджених частинок, вина­йдений 1912 англ. фізиком Ч.-Т. Вільсоном), електрон. мікро­скопів, спектрал. та ін. приладів. Класична фізика, що спирається на закони Ньютона (див. Механіка класична) та рівня­н­ня Максвел­ла для електромагніт. поля (осн. рівня­н­ня класич. макро­скопіч. електродинаміки, які описують електромагнітні явища у довіл. середовищах і вакуумі, сформульовані у 1860-х рр. англ. фізиком Дж.-К. Максвел­лом), не­спроможна пояснити стійкість атомів і молекул та їхню взаємодію з електромагніт. ви­промінюва­н­ням. Дослідж. умов рівноваги електромагніт. ви­промінюва­н­ня та речовини показало, що воно, крім хвильових, має ще й корпускулярні властивості — випускається та вбирається окремими порціями, тобто квантами. Квант світла на­звали фотоном. Його енергія Е дорівнює hv, де v — частота електромагніт. хвилі ([v]=1/сек.), h — універсал. фіз. величина, що має роз­мірність дії ([h] = енергія × час, h≈6,626176×10^-34 Дж·сек., за­провадж. 1900 нім. фізиком М. Планком при дослідж. ви­промінюва­н­ня абсолютно чорного тіла). Пошире­н­ня електромагніт. ви­промінюва­н­ня має хвильову природу, що проявляється в явищах інтерференції та дифракції. Дифракц. картина виникає й при багатократно по­втореному роз­сіян­ні поодинокого фотона. Отже, хвильова природа притаман­на окремому кванту світла. Під час проходже­н­ня крізь метал. фольгу пучка електронів (чи при багатократно по­втореному проходжен­ні одного електрона) на екрані виникає дифракц. картина, що свідчить про їхню хвильову природу. Дуалістична корпускулярно-хвильова природа притаман­на всім обʼєктам мікросвіту. Матем. апарат К. м. започатк. 1924 гіпотезою франц. фізика Л. де Бройля про те, що стан вільної частинки з імпульсом p_x описується плоскою хвилею з хвильовим числом k_x = 2π/λ, де λ — довжина хвилі, причому p_x = hk_x/2π. Між шириною пакета хвиль ∆ p_x і точністю ви­значе­н­ня положе­н­ня частинки у ньому ∆ x існує спів­від­ноше­н­ня неви­значеностей.

Це фундам. спів­від­ноше­н­ня К. м. сформулював 1927 нім. фізик В. Гайзенберґ. У пакеті хвиль де Бройля виникає також спів­від­ноше­н­ня неви­значеностей між енергією частинки та часовою тривалістю її ви­значе­н­ня:

звідки випливає, що стани з фіксов. значе­н­ням енергії (∆ E = 0) мають існувати без­межно довго. Спів­від­ноше­н­ня неви­значеностей породило сут­тєву від­мін­ність в описі стану фіз. обʼєкта у класич. і квант. фізиці. У класич. фізиці постулюється, що стан частинки повністю описується за­да­н­ням координат (x, y, z) та імпульсів частинки (p_x, p_y, p_z) у довіл. момент часу t. Їхня зміна в часі ви­значає траєкторію руху частинки, що може бути отримана з роз­вʼязку рівнянь типу Ньютона (детермінізм класич. механіки). У квант. фізиці за спів­від­ноше­н­ням неви­значеностей ці величини не можуть бути одночасно ви­значені з довіл. точністю. Тому траєкторії руху частинки в класич. ро­зумін­ні не існує. Квант. частинка поширюється радше як хвиля. У К. м. постулюється, що стан будь-якого квант. фіз. обʼєкта повністю ви­значається хвильовою функцією ψ(x,t), яка залежить від сукупності динаміч. змін­них x і часу t. Кількість динаміч. змін­них x дорівнює числу ступенів вільності. Квадрат модуля хвильової функції |ψ(x,t)|² описує густину ймовірності значень динаміч. змін­них x для довіл. моменту часу t у стані ψ(x,t) (ймовірнісна інтер­претація К. м., нім. фізик М. Борн, 1926). Для хвильових функцій, що описують стани у К. м., діє принцип суперпозиції: якщо частинка може пере­бувати у станах, що описуються хвильовими функціями ψ₁(x,t) і ψ₂(x,t), то вона може пере­бувати і в стані, котрий описується функцією ψ(x,t) = c₁ψ₁(x,t)+c₂ψ₂(x,t), яка є ліній. комбінацією функцій ψ₁(x,t) і ψ₂(x,t). Якщо ψ₁(x,t) і ψ₂(x,t) ортогональні, то |c₁|² — ймовірність того, що стан ψ(x,t) збігається зі станом ψ₁(x,t), а |c₂|² — ймовірність того, що стан ψ(x, t) збігається зі станом ψ₂(x,t). Густина ймовірності у стані ψ(x,t) дорівнює |ψ(x,t)|². Принцип суперпозиції вимагає, щоб рівня­н­ня, яким задовольняють хвильові функції ψ(x,t), були лінійними. Цей принцип від­різняє К. м. від статистич. фізики. З аналізу спів­від­ноше­н­ня неви­значеностей для координати x та імпульсу p_x випливає, що у стані ψ(x,t), де x — сукупність координат частинки, імпульсові від­повід­ає певна операція. Тобто класич. динаміч. величинам у К. м. ставляться у від­повід­ність лінійні самоспряжені (ерміт.) оператори. Власні функції цих операторів формують повну систему функцій, а їхні власні значе­н­ня збігаються з усіма можливими значе­н­нями роз­глядуваної фіз. величини. Середнє значе­н­ня довіл. фіз. величини A, якій ставиться у від­повід­ність самоспряжений (ерміт.) оператор Â, у стані ψ(x,t), виражається інтегралом 〈A〉 = ʃψ*(x,t)Aψ(x,t)dx, де ψ*(x,t) — комплексно спряжена до ψ(x,t), інте­грува­н­ня ведеться по всій множині значень x. Ерміт. оператори у К. м., що між собою комутують, ви­значають набір фіз. величин, які можна точно виміряти в одному екс­перименті. Для всіх інших діють спів­від­ноше­н­ня неви­значеностей. Сукупність усіх незалеж. фіз. величин, які можна виміряти одночасно з довіл. точністю, задає т. зв. повний опис. Вимір. прилад у К. м. змінює стан обʼєкта, над яким здійснюється вимірюва­н­ня. У матрич. формулюван­ні К. м. вдалося виявити нові особливості частинок, що не властиві класич. обʼєктам, зокрема наявність спіна. Тому повний момент кількості руху є сумою орбітал. і спін. моментів. Квантуються не тільки значе­н­ня енергії, але й значе­н­ня моменту кількості руху. У К. м. постулюється рівня­н­ня, що описує еволюцію станів. У випадку нерелятивіст. квант. систем еволюція стану з часом описується хвильовим рівня­н­ням Шредінґера (на­зване на честь австр. фізика Е. Шредінґера, який його сформулював 1926):

де H(x,t) — оператор енергії частинки (гамільтоніан). Якщо H(x,t) не залежить явно від часу, то енергія частинки зберігається (є інтегралом руху), а хвильове рівня­н­ня допускає існува­н­ня стаціонар. станів частинки. Залежно від симетрії простору та часу, у якому рухається частинка, її гамільтоніан є інваріантним від­носно пере­творень, що випливають з умов симетрії. У результаті, крім енергії, виникають додатк. інтеграли руху, які у сукупності від­ображають симетрійні властивості задачі. Повний опис стану квант. частинки ви­значається 4-ма квант. числами, 3 з них характеризують рух частинки (інтеграли руху частинки) у тривимір. декарт. просторі, 4-е квант. число вказує на величину спіна. Для станів електрона в атомі гол. квант. число характеризує значе­н­ня його енергії та середню від­стань від ядра. При описі станів з великими квант. числами та при русі у повільно змін. потенціал. полі хвильове рівня­н­ня Шредінґера пере­ходить у рівня­н­ня класич. механіки. Має місце принцип від­повід­ності. У випадку релятивістич. квант. систем слід враховувати наявність енергії спокою частинки mc², де c — швидкість світла, яка дорівнює 3⋅10¹⁰ см/сек. Спів­від­ноше­н­ня неви­значеності набирає нових рис. При намаган­ні ви­значити координату частинки з точністю ∆ x ≥ λ_k = h/2πmc, де λ_k — довжина хвилі Комптона (назва повʼязана з імʼям амер. фізика А.-Г. Комптона), яка для електрона становить 3,86·10^-11 см, для протона — 2,10·10^-14 см, частинці пере­дається імпульс ∆ p ≥ h/2πλ_k = mc, до­статній для народже­н­ня нової тотож. частинки з енергією спокою mc². Унеможливлюється роз­гляд руху однієї частинки. Релятивістична К. м. пере­ходить у квантову теорію поля. Оригін. матем. апарат релятивістич. К. м., побудований у 1930-х рр. англ. фізиком П.-А. Діраком, дав змогу перед­бачити нові фундам. особливості елементар. частинок, зокрема уможливив від­кри­т­тя античастинки та за­провадити поня­т­тя фіз. вакууму. Серед фундам. результатів К. м. — доказ властивостей симетрії хвильових функцій систем тотож. частинок, які мають однакову масу, заряд, спін і поводяться однаково за однакових зовн. умов. Хвильові функції систем тотож. частинок, що мають пів­цілий спін (ферміони), — антисиметричні стосовно пере­становки частинок (електрони, позитрони, нуклони, μ-мезони, гіперони); хвильові функції системи тотож. частинок, що мають цілий спін (бозони), — симетричні (фотони, π- і К-мезони). Симетрія хвильової функції — універсал. властивість системи тотож. частинок. Одним з її наслідків є ві­домий принцип Паулі (на­званий на честь швейцар. фізика В. Паулі, який його сформулював), від­повід­но до якого у квант. системі дві або більше тотож. частинок із пів­цілим спіном не можуть одночасно пере­бувати в одному й тому ж стані. У К. м. одержано точні роз­вʼязки для низки важливих задач: про рух вільної частинки, проходже­н­ня квант. частинки крізь потенціал. барʼєри різного типу, про гармоніч. осцилятор, про рух електрона у полі ядра. Отримано тонку та надтонку структури енергет. рівнів електрона в атомі водню, квант. числа усіх фіз. величин, що зберігаються (інтегралів руху), та правила від­бору, що взаємно обмежують значе­н­ня квант. чисел, напів­ширину збуджених рівнів. Найбільшого успіху К. м. досягнула у роз­роблен­ні методів на­ближеного роз­вʼязку задач, зокрема т. зв. теорії збурень. Тут як нульові на­ближе­н­ня викори­стано зга­дані вище точні роз­вʼязки. Вдалося пояснити властивості атомів періодич. системи елементів, яку склав рос. хімік Д. Менделєєв, побудувати теорію молекул, описати квант. пере­ходи в атомах і молекулах під впливом електромагніт. поля, під­твердити справедливість формули Планка для щільності енергії рівноваж. ви­промінюва­н­ня, створити науку про елементарні збудже­н­ня у конденс. системах, побудувати теорію металів, сплавів, напів­провід­ників. К. м. про­йшла 4 етапи роз­витку. Перший — етап становле­н­ня — це роботи М. Планка про квантува­н­ня енергії електромагніт. ви­промінюва­н­ня та введе­н­ня сталої h, встановле­н­ня законів фотоефекту та введе­н­ня поня­т­тя «фотон» нім. і амер. фізиком А. Айнштайном (1905), досліди Е. Резерфорда (1912) та роз­робле­н­ня планетар. моделі атома. Початком другого етапу роз­витку К. м. стали постулати данського фізика Н.-Г. Бора (1913; «стара» К. м.), що стосувалися рівнів енергії електрона в атомі водню, досліди нім. фізиків Дж. Франка та Г. Герца (1914), що під­твердили дис­кретність енергетич. станів електронів в атомах, доведе­н­ня існува­н­ня в атомів магніт. моменту та його простор. квантува­н­ня нім. фізиками О. Штерном і В. Герлахом (1921–22). Третій етап роз­почався з гіпотези Л. де Бройля про хвильову функцію вільної частинки, з робіт Е. Шредінґера стосовно хвильового рівня­н­ня К. м. і М. Борна про ймовірнісну інтер­претацію амплітуди хвильової функції. У цей час квант. хвильова теорія зна­йшла доверше­н­ня у роботах В. Паулі, амер. фізика Ю.-П. Віґнера та рос. фізика В. Фока. Амер. фізики К.-Дж. Девіс­сон і Л. Джермер (1927), англ. фізик Дж.-П. Томсон, укр. фізик П. Тартаковський (1928) отримали дифракц. картини при роз­сіян­ні електронів і остаточно довели хвильову природу елементар. частинок. Тоді ж інше формулюва­н­ня К. м. як теорії операторів та їхніх матриць роз­винуто М. Борном, В. Гайзенберґом, П.-А. Діраком і нім. фізиком П. Йор­даном. Ці різні формулюва­н­ня доповнили одне одного та створили досконалу теорію мікросвіту. Четвертий — новіт. етап роз­витку К. м. — повʼязаний зі створе­н­ням нових напрямів і від­кри­т­тям нових явищ, зокрема квантової крипто­графії, квант. компʼютера, квант. телепортації. На цьому етапі виникла нова сфера — квант. інформатика, в якій для пере­дава­н­ня, зберіга­н­ня та пере­творе­н­ня інформації використовують квант. носії — квант. біти (див. Квантова теорія інформації). Досягне­н­ня К. м. за­стосовано для поясне­н­ня природи хім. звʼязків і реакцій, явищ над­провід­ності та надплин­ності, властивостей металів і ді­електриків, у про­блемах сучас. біо­логії, спектро­скопії, фізиці і технології напів­провід­ників, нанофізиці, дослідж. будови і роз­витку Всесвіту, а також для створе­н­ня найсучасніших приладів і установок.

Літ.: Шифф Л. Квантовая механика: Учеб. пособ. / Пер. с англ. Москва, 1959; Бом Д. Квантовая теория / Пер. с англ. Москва, 1961; Глауберман А. Ю. Квантова механіка. Л., 1962; Ферми Э. Квантовая механика: Кон­спект лекций / Пер. с нем. Москва, 1968; Дирак П. А. М. Принципы квантовой механики / Пер. с англ. Москва, 1979; Блохинцев Д. М. Начала квантовой механики. Москва, 1983; Джем­мер М. Эволюция понятий квантовой механики / Пер. с англ. Москва, 1985; Юхновський І. Р. Основи квантової механіки. К., 2002; Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Квантовая механика: Нерелятивистская теория. Москва, 2008; Вакарчук І. О. Квантова механіка. Л., 2012; Давидов О. С. Квантова механіка. К., 2012.

І. Р. Юхновський

Завантажити статтю