Квантова теорія поля

Визначення і загальна характеристика

КВА́НТОВА ТЕО́РІЯ ПО́ЛЯ — квантова теорія релятивістських систем із нескінчен­но великим числом ступенів вільності (релятивістських полів), яка є теоретичною основою опису мікрочастинок, їх взаємодії та взаємоперетворень. Квантове (квантоване) хвильове поле — фундаментальна фізична концепція, в рамках якої формулюється динаміка елементарних частинок і їх взаємодій. Квантове поле є своєрідним синтезом понять класичних полів типу електромагнітного поля Фарадея–Максвел­ла та поля ймовірностей квантової механіки. Згідно із сучасними уявле­н­нями воно є найфундаментальнішою та найуніверсальнішою формою матерії, яка лежить в основі всіх її конкретних (як хвильових, так і корпускулярних) проявів. У К. т. п. як поля, так і частинки класичної фізики замінюють єдині фізичні обʼєкти — квантові поля в 4-вимірному просторі-часі, по одному для кожного сорту частинок чи полів (класичних). 

За­звичай квантове поле «отримують» шляхом квантува­н­ня класичного, у результаті чого польова функція набуває операторного характеру та лінійно виражається через оператори народже­н­ня та знище­н­ня частинок, між якими встановлюються належні пере­ставні спів­від­ноше­н­ня (комутатори для бозе-частинок і антикомутатори для фермі-частинок). При цьому виникає можливість описувати найважливіші властивості світу мікрочастинок — процеси їхнього взаємного пере­творе­н­ня. Важливим технічним аспектом процедури квантува­н­ня полів є пред­ставле­н­ня чисел заповне­н­ня (вторин­не квантува­н­ня). Це пред­ставле­н­ня най­простіше за­проваджується на прикладі квантовомеханічного осцилятора та широко використовується під час роз­гляду систем зі змін­ним числом частинок. Зга­дану схему квантува­н­ня полів за­пропонував 1927 англійський фізик П.-А.-М. Дірак і в подальшому (1932) докладно роз­винув російський фізик В. Фок. Ще одну схему квантува­н­ня, в якій релятивістська інваріантність зберігається на всіх проміжних етапах, роз­робив на­прикінці 1940-х років американський фізик Дж. Швінґер. Серед перших праць, що заклали основи К. т. п., була також ста­т­тя німецького фізика П. Йор­дана та швейцарського фізика В. Паулі (1928) про квантува­н­ня вільного електромагнітного поля. 

Реальному світу взаємодіючих частинок у К. т. п. від­повід­ає система звʼязаних рівнянь для різних полів. Після квантува­н­ня вирази (лаґранжіан чи гамільтоніан взаємодії) описують елементарні акти взаємодії різних частинок. Наочну інтер­претацію такі вирази отримують у правилах від­повід­ності та діа­грамах, роз­роблених 1949 американським фізиком Р.-Ф. Фейнманом. Того ж року американський фізик Ф.-Дж. Дайсон довів звʼязок діа­грамної техніки Фейнмана з коваріантним формулюва­н­ням К. т. п., за­пропонованим японським фізиком С. Томонагою (1946) та Дж. Швінґером (1948). За фундаментальний внесок у створе­н­ня сучасної квантової електродинаміки — квантової теорії електромагнітних процесів — 1965 Р.-Ф.Фейнману, С. Томоназі та Дж. Швінґеру присуджено Нобелівську премію. Діа­грами Фейнмана не тільки дають наочне зображе­н­ня процесів пошире­н­ня (лінії) та взаємоперетворе­н­ня (вершини) частинок, а й до­зволяють за допомогою певних математичних правил знаходити матричні елементи матриці роз­сія­н­ня (або S-матриці) та ймовірності цих процесів. Особливо прості вирази одержують для матричних елементів будь-якого процесу в нижчому порядку теорії збурень, яким від­повід­ають так звані деревин­ні діа­грами, що не мають за­мкнених зашморгів (петель). Проте спроби обчисле­н­ня елементів матриці роз­сія­н­ня у вищих на­ближе­н­нях (так звані радіаційні поправки) наштовхувалися на специфічні труднощі, які на два десятиріч­чя загальмували роз­виток теорії елементарних частинок. Ці труднощі полягають у тому, що вирази для матричних елементів у вищих на­ближе­н­нях містять інтеграли, які роз­бігаються в зоні великих імпульсів віртуальних частинок, тобто в ультрафіолетовій зоні. 

Про­блема ультрафіолетових роз­біжностей була роз­вʼязана у 2-й пол. 1940-х років на під­ставі ідеї про пере­нормува­н­ня. Суть остан­ньої полягає в тому, що нескінчен­ні ефекти квантових флуктуацій, які від­повід­ають за­мкненим зашморгам (петлям) діа­грам Фейнмана, можуть бути виділені у фактори, що мають характер поправок до вихідних характеристик системи. У під­сумку маси m та кон­станти звʼязку g змінюються за рахунок взаємодії, тобто пере­нормуються й ототожнюються з їхніми фізичними значе­н­нями. Клас моделей К. т. п., для яких таку про­граму можна послідовно провести у всіх порядках теорії збурень і в яких усі без винятку ультрафіолетові роз­біжності вдається «зі­брати» у фактори пере­нормува­н­ня мас та кон­стант звʼязку, називають класом пере­нормованих теорій. 

Уперше можливість усуне­н­ня ультрафіолетових роз­біжностей за допомогою нескінчен­них пере­нормувань довів у своїй праці з нерелятивістського роз­рахунку лембового зсуву 2S_1/2 та 2P_1/2 рівнів атома водню німецький і американський фізик Г.-А. Бете (1947). У 1949 Дж. Швінґер обчислив радіаційну поправку до магнітного моменту електрона. У 1-й пол. 1950-х років Ф.-Дж. Дайсон, паки­станський фізик А. Салам та український і російський математик, фізик М. Боголюбов роз­робили загальну теорію пере­нормувань, для класу так званих пере­нормованих взаємодій побудували пере­нормовану теорію збурень. Математичне під­ґрунтя цієї теорії становить доведена М. Боголюбовим разом з українським математиком, фізиком О. Парасюком теорема про пере­нормува­н­ня (теорема Боголюбова–Парасюка). З неї випливає до­статньо зручний спосіб одно­значного вилуче­н­ня роз­біжностей з діа­грам Фейнмана, формалізований у ви­гляді так званої R-операції Боголюбова–Парасюка. Фундаментальним результатом К. т. п. також є від­кри­т­тя М. Боголюбовим спільно з російськими фізиками А. Логуновим і Д. Ширковим ренорм­групової симетрії як точної властивості пере­нормованого квантово-польового роз­вʼязку для функцій Ґріна. Воно при­звело до побудови методу ренормалізаційної групи, який за­стосовують у теоретичній і математичній фізиці. 

Важливого значе­н­ня набули інваріантний заряд електрона та поня­т­тя біжучої кон­станти звʼязку. Їхнє викори­ста­н­ня в концепції асимптотичної волі сприяло роз­витку неабелевої калібрувальної теорії. Досліджен­ню низки фундаментальних про­блем К. т. п., зокрема квантової електродинаміки, були присвячені праці всесвітньо ві­домої харківської наукової школи Л. Ландау (О. Ахієзер, Д. Волков, П. Фомін, Р. Половін, М. Меренков, В. Болдишев, М. Шульга, М. Рекало, С. Пелетминський). Одну з перших у світі моно­графій з квантової електродинаміки написали О. Ахієзер і В. Берестецький. Цю книгу декілька разів пере­видавали та пере­клали багатьма мовами світу. 

Математичний апарат сучасної К. т. п. виник і почав активно роз­виватися у 1950-х роках в рамках так званого аксіоматичного під­ходу. Від­разу ж ви­значилися принаймні 3 напрями. У аксіоматичному під­ході американського фізика А.-С. Вайтмана (1956) вихідні фізичні обʼєкти слугують найрегулярніші величини — квантові поля у пред­ставлен­ні Гайзенберґа та вакуумні середні їх звичайних добутків (функції Вайтмана). Вайтманівський під­хід уможливив виведе­н­ня із основних принципів релятивістської К. т. п. (аксіом релятивістської інваріантності, спектральності, мікро­причин­ності) таких фундаментальних фізичних результатів, як звʼязок спіну частинок з їх статистикою, теореми про СРТ-інваріантність, Гааґа і Ґолдстоуна та ін. 

У аксіоматичному під­ході німецьких фізиків Г. Лемана, К. Сіманзика та В. Цім­мермана (1955–57) основними поня­т­тями є хронологічні (або Т-) добутки полів (а також їхні вакуумні середні — функції Ґріна) та асимптотична умова. Такий під­хід не най­економніший (теорію роз­сія­н­ня можна роз­винути без за­провадже­н­ня заздалегідь поня­т­тя Т-добутку), проте він практичний і досить зручний та на­ближає до традиційного методу Лаґранжа. В аксіоматичному під­ході М. Боголюбова та російських фізиків Б. Медведєва і М. Поліванова (1955) основним обʼєктом є роз­ширена (за масову оболонку) S-матриця, що задовольняє вимоги лоренц-інваріантності, унітарності й причин­ності. Умова причин­ності S-матриці, висловлена мовою варіаційних похідних, нині ві­дома як умова мікро­причин­ності Боголюбова. 

1956 М. Боголюбов подав перше доведе­н­ня дис­персійних спів­від­ношень для пружного роз­сія­н­ня піонів на нуклонах. У звʼязку з доведе­н­ням дис­персійних спів­від­ношень він від­крив і довів теорему з теорії функцій багатьох комплексних змін­них (теорема про «вістря клина» Боголюбова), яку широко використовують не лише в К. т. п., але й у багатьох роз­ділах сучасної математики. У систему аксіом усіх трьох аксіоматичних під­ходів входить чисто математичне припуще­н­ня про належність вихідних обʼєктів цих під­ходів до класу узагальнених функцій помірного зро­ста­н­ня. За такого припуще­н­ня роз­гляд обмежується теоріями з помірним зро­ста­н­ням, тоді як неперенормовані взаємодії, зокрема 4-ферміон­на слабка, сут­тєво нелінійні та нелокальні, а також нелінійні кіральні й калібрувально-інваріантні типу Янґа–Міл­лса, потребують окремого під­ходу. Тому українські фізики Ю. Ломсадзе, В. Лазур, І. Кривський та І. Хіміч аксіоматичну схему Боголюбова–Медведєва–Поліванова та формалізм Вайтмана узагальнили на широкий клас так званих локалізованих і нелокалізованих квантових теорій з не поліноміальним зро­ста­н­ням матричних елементів у імпульсному просторі. В. Лазур та І. Хіміч об­ґрунтували дис­персійні спів­від­ноше­н­ня для процесів роз­сія­н­ня із слабкою взаємодією. 

Ключовим у всій цій про­грамі є інтенсивне викори­ста­н­ня інтегрального зображе­н­ня Йоста–Лемана–Дайсона, яке у працях В. Лазура та І. Хіміча було узагальнене на класи роз­поділів, більш ширших, ніж шварцівів про­стір S′ (Rⁿ). Це зображе­н­ня є ефективним інструментом дослідже­н­ня аналітичних властивостей амплітуд роз­сія­н­ня в класі так званих неперенормованих квантових теорій пере­декс­поненціального зро­ста­н­ня в p-просторі. У 1960-х роках виник ще узагальненіший аксіоматичний напрям. 

Калібрувальні теорії та Стандартна модель

Німецькі фізики Р. Гааґа, Г. Аракі та Д. Кастлер принципи локальної К. т. п. сформулювали мовою алгебраїчного під­ходу, який започаткували угорський і американський математик Дж. фон Не­йман і американський математик І. Сіґал. За допомогою алгебраїчного під­ходу можна описати калібрувальні теорії та спонтан­не поруше­н­ня симетрій. У 1960-х роках на загальний стан у К. т. п. значно вплинуло від­кри­т­тя нових теоретичних фактів, повʼязаних з неабелевими калібрувальними полями. Калібрувальні поля, зокрема й неабелеві поля Янґа–Міл­лса, введені вперше 1954 американськими фізиками Ч. Янґом і Р.-Л. Міл­лсом, повʼязані з інваріантністю від­носно неперервної групи G локальних калібрувальних пере­творень. Най­простішим прикладом калібрувального поля є електромагнітне поле в квантовій електродинаміці, яке повʼязане з абелевою групою першого рангу U(1). В обʼ­єд­наній теорії слабких та електромагнітних взаємодій за­стосовують неабелеву групу SU(2), а в квантовій хромодинаміці — неабелеву групу SU(3). У загальному випадку непорушеної симетрії поля Янґа–Міл­лса мають, як і фотон (квант електромагнітного поля), нульову масу спокою. Вони пере­творюються за при­єд­наним (регулярним) пред­ставле­н­ням групи G і під­коряються нелінійним рівня­н­ням руху. Їхня взаємодія з полями матерії буде калібрувально інваріантною, якщо її отримувати видовже­н­ням похідних у лаґранжіані вільного поля. Остан­нє, як і видима від­сутність у реальному світі без­масових векторних частинок, істотно обмежувало можливості викори­ста­н­ня калібрувальних полів. 

У 2-й пол. 1960-х рр. калібрувальні поля було проквантовано методом функціонального інте­грува­н­ня, внаслідок чого встановлено, що як чисті без­масові поля Янґа–Міл­лса, так і калібрувальні поля, які взаємодіють з ферміонами, є пере­нормовними. 1964–66 шотланд. фізик П.-В. Гіґґс за­пропонував спосіб «мʼякого» введе­н­ня мас у неабелеві калібрувального поля за допомогою спонтан­ного поруше­н­ня симетрії. Механізм Гіґ­ґса до­зволяє генерувати маси для квантів калібрувальних полів Янґа–Міл­лса шляхом спонтан­ного поруше­н­ня симетрії, не порушуючи пере­нормовувальності калібрувальної моделі. Скалярне (зі спіном 0) поле, яке забезпечує не­стабільність основного енергетичного стану та спричиняє спонтан­не поруше­н­ня симетрії, прийнято називати полем Гіґ­ґса, а його кванти — бозонами Гіґ­ґса. На цій основі на­прикінці 1960-х рр. А. Салам та амер. фізики С. Вайнберґ і Ш.-Л. Ґлешоу побудували єдину пере­нормувал. теорію слабкої та електромагніт. взаємодії (модель Ґлешоу–Салам–Вайнберґ), в якій пере­носниками слабкої взаємодії є важкі (з масами MZ⁰ = 91,18 ГеВ і MW_± = 80,4 ГеВ) кванти векторних калібрувальних полів групи електрослабкої симетрії. Проміжні векторні бозони Z⁰ і W^± були екс­периментально виявлені 1983 на колайдері у Європейському центрі ядерних досліджень побл. Женеви (Швейцарія). Бозон Гіґ­ґса з масою близько 125 ГеВ, від­критий у 2012 році на Великому адрон­ному колайдері, детально досліджений; усі його виміряні властивості — спін, парність і кон­станти звʼязку з ферміонами та калібрувальними бозонами — узгоджуються з перед­баче­н­нями Стандартної моделі в межах екс­периментальних похибок. Вона є обʼ­єд­на­н­ням електрослабкої моделі Ґлешоу–Салам–Вайнберґ та квантової хромодинаміки, які разом забезпечують узгоджений квантово-польовий опис електромагнітної, слабкої та сильної взаємодій. 

Групи фундаментальних частинок Стандартної моделі: 

• ферміони (лептони та кварки) — кванти полів матерії; 
• векторні мезони — пере­носники калібрувальних взаємодій. 

До остан­ніх уналежнюють і бозони Гіґ­ґса. Лептони та кварки обʼ­єд­нують у поколі­н­ня. Повний електричний заряд частинок, що утворюють поколі­н­ня, дорівнює нулю. До першого поколі­н­ня належать найлегші ферміони: електрон, електрон­не нейтрино, а також u- і d-кварки. Друге поколі­н­ня утворене мюоном, мюон. нейтрино, s- і c-кварками. Третє поколі­н­ня складається з найважчих частинок: τ-лептона, τ-нейтрино, b- і t-кварків. Калібрувальна група Стандартної моделі є прямим добутком U(1)⊗SU(2)⊗SU_C(3). Теза Стандартної моделі «симетрія зумовлює динаміку» стала актуальною для всіх трьох фундаментальних взаємодій: електромагнітної, слабкої і сильної. Кванти від­повід­них калібрувальних полів — це фотон γ, масивні векторні мезони W^±, Z⁰ та глюони g — кванти калібрувального поля групи SU_C(3). 

Серед здобутків Стандартної моделі:

• зʼясува­н­ня форми взаємодії Фермі; 
• перед­баче­н­ня існува­н­ня слабкого нейтрального струму; 
• перед­баче­н­ня існува­н­ня та мас важких проміжних мезонів W^± і Z⁰ електрослабкого сектора; 
• перед­баче­н­ня існува­н­ня c-кварка; 
• висока точність корельованого опису всіх явищ мікросвіту на малих від­станях від 10^-14 до 10^-16 см. 

Її недоліки:

• велика кількість вільних параметрів, що не ви­значаються самою теорією (зокрема параметри мас і змішува­н­ня ферміонів), причому з урахува­н­ням ненульових мас нейтрино їх число зро­стає; 
• від­сутність глибокого поясне­н­ня механізму поруше­н­ня парності та зарядово-паритетної симетрії, які спо­стерігаються лише в електрослабкому секторі; 
• незʼясованість походже­н­ня мас ферміонів і їх ієрархії, за якої значе­н­ня мас різних частинок від­різняються на багато порядків;
• від­сутність поясне­н­ня числа поколінь ферміонів, а також природи та структури матриць змішува­н­ня Каб­бібо–Кобаяші–Маскава і лептон­ного змішува­н­ня;
• не­здатність пояснити спо­стережувані ненульові маси нейтрино без роз­шире­н­ня теоретичної схеми;
• обмежені можливості аналітичних непертурбативних методів у зоні сильного звʼязку, що ускладнює опис процесів гадронізації та механізму конфайнмента кварків і глюонів.

До того ж досить не­значним є звʼязок між електрослабким і квантовим хромодинамічним секторами Стандартної моделі. Обидва сектори скріплені лише одним, по суті феноменологічним, елементом — пред­ставле­н­ням про поколі­н­ня.

Поряд із високою точністю екс­периментальних під­тверджень Стандартної моделі спо­стерігаються окремі результати, інтер­претація яких залишається дис­кусійною. Це стимулює пошук узагальнень Стандартної моделі. Одним із таких напрямів є гіпотетичні моделі Великого обʼ­єд­на­н­ня, що ґрунтуються на припущен­ні про від­новле­н­ня вищої симетрії взаємодій за надвисоких енергій. У цій високо­енергетичній зоні всі частинки звʼязані єдиною універсальною взаємодією. При пере­ході до менших енергій ступінь симетрії в організації матерії знижується, а єдина взаємодія «роз­щеплюється» на 3 «гілки» (сильну, слабку та електромагнітну), які виявляють різні («низько­енергетичні») властивості.

Точкою від­ліку для моделей Великого обʼ­єд­на­н­ня є поведінка ефективних кон­стант звʼязку у Стандартній моделі, які при енергіях порядку 10¹⁵–10¹⁶ ГеВ демонструють тенденцію до зближе­н­ня. Це дає під­стави припускати, що за надвисоких енергій сильна, слабка та електромагнітна взаємодії можуть мати спільну фізичну природу і описуватися єдиною універсальною взаємодією з однією кон­стантою звʼязку.

Суперсиметрія та внесок українських науковців

Подальший роз­виток К. т. п. повʼязаний із суперсиметрією — гіпотетичною симетрією від­носно пере­творень, які повʼязують між собою бозон­ні та ферміон­ні поля. Ці пере­творе­н­ня формують групу, що є роз­шире­н­ням групи Пуанкаре. Суперсиметрію можна роз­глядати як нетривіальне обʼ­єд­на­н­ня групи Пуанкаре з внутрішніми симетріями. Досить цікавими є суперсиметричні моделі, що містять в якості складових неабелеві калібрувальні векторні поля. У таких суперкалібрувальних моделях спо­стерігається скороче­н­ня ультрафіолетових роз­біжностей.

Серед результатів світового рівня, отриманих українськими вченими, — від­кри­т­тя суперсиметрії та супер­гравітації (Д. Волков, В. Акулов, В. Сорока). Вагомий внесок у роз­виток уявлень про фізичні та геометричні властивості суперсиметричних теорій зробили українські науковці у таких галузях, як дослідже­н­ня квантових груп і алгебр (В. Акулов, А. Климик, О. Гаврилик, І. Качурик, П. Голод), побудова нових дій суперсиметричних частинок і струн у звичайному та роз­ширеному супер­просторах (І. Бандос, Д. Волков, О. Желтухін, Д. Сорокін, А. Пашнєв, В. Ткач), коваріантне квантува­н­ня частинок та супер­бран (І. Бандос, Д. Сорокін), теорія полів вищого спіну (В. Фущич, А. Нікітін, І. Бандос, Д. Сорокін, А. Пашнєв), дослідже­н­ня прихованих симетрій М-теорії (І. Бандос, Д. Сорокін). Світове ви­зна­н­ня отримали праці харківських вчених А. Пашнєва та В. Березового з роз­ширеної суперсиметричної квантової механіки у просторах різних роз­мірностей. Значну кількість ві­домих фізиків і математиків обʼ­єд­нують наукові школи з теоретичної фізики, які створили свого часу М. Боголюбов і О. Парасюк у Києві (Д. Петрина, В. Фущич, А. Климик, О. Гаврилик, А. Нікітін, В. Гачок), Львові (І. Юхновський, І. Вакарчук, Л. Блажиєвський), Ужгороді (Ю. Ломсадзе, В. Лазур, І. Кривський, В. Лендьєл, І. Хіміч) і Чернівцях (М. Ткач) та Л. Ландау й О. Ахієзер у Харкові (Д. Волков, С. Пелетминський, Я. Файнберг, О. Бакай, М. Шульга, К. Степанов) і Києві (В. Барʼяхтар, О. Ситенко, П. Фомін, А. Загородній). Під­готовку фахівців з К. т. п. здійснюють університети Києва, Харкова, Дні­пропетровська, Донецька, Львова, Ужгорода, Чернівців, Одеси.