Математичні проблеми механіки

Визначення і загальна характеристика

МАТЕМАТИ́ЧНІ ПРОБЛЕ́МИ МЕХА́НІКИ Предметом наук. галузі М. п. м. є створе­н­ня, узагальне­н­ня й дослідже­н­ня матем. моделей та обʼєк­тів, що є результатом формалізації (математизації) законів рівноваги, стійкості, руху та/чи взаємодії макро- та/чи мікро­обʼєктів різної природи, зокрема твердих та пружних тіл, неперерв. середовищ, плазми та низки біо­мех. систем (також на рівні молекуляр. взаємодії), під дією фіз. полів різної природи. Най­ближчим за значе­н­ням до М. п. м. є термін «раціональна механіка», викори­ста­н­ня якого є доцільним, коли необхідно під­креслити аксіомат. характер цієї наук. галузі, той факт, що в ній використовують закони природозн. наук, сформульовані у ви­гляді матем. аксіом (напр., закони Ньютона). Інша близька за змістом назва М. п. м., що зʼявилася, ймовірно, під впливом праці М. Леві («The Mathematical Mechanics: Using Physical Reasoning to Solve Prob­­lems» / «Математична механіка: викори­ста­н­ня досліджень з фізики для виріше­н­ня про­блем», Прінстон, 2009), є матем. механіка. За формою та методами М. п. м. є галуз­зю приклад. математики. Дослідж. у М. п. м. мають між­дисциплінар. та синергет. характер. Зважаючи на між­дисциплінар. характер, напрями дослідж. М. п. м. є тріадами на зразок «роз­діл чистої математики — роз­діл природничої на­уки — методи обчислень», роз­межувати які практично неможливо. Прикладами тріад є «теорія звичайних диференціальних рівнянь — механіка твердого тіла — обчислювальна механіка», «теорія кра­йових задач у частин­них похідних — гі­дромеханіка/теорія пружності — обчислювальна гідродинаміка/методи скінчених елементів та їх модифікації», «теорія усередне­н­ня в диференціальних та інтегральних рівня­н­нях — вібромеханіка — чисельні методи роз­вʼязува­н­ня жорстких задач» та «теорія кра­йових задач із вільними границями — механіка між­фазної взаємодії та поверх­невих хвиль — методи наукових обчислень, які гарантують збереже­н­ня маси». Істор. досвід вказує на синергет. характер дослідж. у галузі М. п. м. Напр., космолог. та матем. роботи (на той час актуал. задачі М. п. м.) видат. учених 17–19 ст. (Ґ. Ґалілей, Х. Гюйґенс, Р. Гук, А. Декарт, І. Ньютон, Ґ. Ляйбніц, Л. Ейлер) про рух і рівновагу твердих тіл при­звели до створе­н­ня аналітичної геометрії, а пізніше — диференц., інтеграл., варіац. числе­н­ня та аналіт. механіки (Ж. Лаґранж, І. Бернул­лі, Л. Ейлер, Ж.-Л. дʼАлам­­бер, Л. Карно, Ж. Фурʼє). Роботи з М. п. м. 19 ст. К. Ґаус­са, М. Остро­градського, В. Гамільтона, К. Якобі, Г. Герца, О.-Л. Коші, С.-Д. Пуас­сона, Д. Бернул­лі, Ж. Лаґранжа, К.-Л. Навʼє, Д. Стокса заклали основу теор. гі­дромеханіки, в той час як побудована Л. Прадтлем мех. модель примежового шару стала точкою кри­сталізації для аналіт. та чисел. дослідж. т. зв. сингулярно збурених матем. задач. У 19–20 ст. про­блема математизації регулюва­н­ня ходу машин при­звела до створе­н­ня теорії оптимал. упр. (Б. Булгаков, Я. Ройтенберг, М. Красовський, Р. Белман, Л. Понтрягін, В. Зубов та ін.), а роботи О. Ляпунова зі стійкості руху твердих тіл — до матем. теорії стійкості роз­вʼязків систем звичай. диференц. рівнянь. Нарешті, чисел. дослідж. у небесній механіці та про­гнозуван­ні погоди при­звели до матем. теорії динам. систем і концепції детермінов. хаосу. М. п. м. є, імовірно, найбільшим роз­ділом сучас. приклад. математики. У 21 ст. М. п. м. продовжує роз­виватися як екс­тенсивно (математизація природн. наук), так й інтенсивно (матем. дослідж. не­­розвʼязаних про­блем). У першому випадку осн. викликами є задачі біо­механіки, мех. та чисел. моделюва­н­ня біол. процесів, метеорол. задачі, динаміка та керува­н­ня складних гібрид. мех. систем. Роз­вʼязність рівнянь Ейлера та Навьє–Стокса (одна з про­блем тисячолі­т­тя, Матем. ін­ститут Клея) та доведе­н­ня теореми існува­н­ня і єдиності роз­вʼязку неліній. задачі поверхн. хвиль (200 р. після виводу фундам. рівнянь О.-Л. Коші та С.-Д. Пуас­соном, перший отримав 1816 премію Франц. АН) є прикладами класич. нерозвʼязаних про­блем М. п. м. Щоб охарактеризувати сучас. стан про­блем М. п. м. та найбільш актуал. задачі сьогоде­н­ня, до­статньо пере­глянути тематику дослідж. найбільш рейтинг. матем. установ світу, до яких належать Курантів. ін­ститут матем. наук (США), де нині проводять дослідж. з матем. про­блем гідродинаміки, зокрема повʼязані з біо­логією та медициною, Ін­ститут матем. наук І. Ньютона (Велика Британія), де ви­вчають про­грами математизації феноменів льоду, про­блем самоорганізації та неліній. поверхн. хвиль, Ін­ститут математики в науках М. Планка в Ляйпцизі (Німеч­чина), що за­ймається чисел. пита­н­нями М. п. м., Ін­ститут математики в Тулузі (Франція), традиц. тематика дослідж. якого нині містить задачі оптимізації, керува­н­ня, динаміки рідини та плазми, а також про­блеми математизації біо­мех. процесів, Дослідниц. ін­ститут з матем. наук при Університеті Кіото (Японія), де ви­вчають матем. про­блеми вʼязкої рідини. Матем. ін­ститут РАН (Москва) та Ін­ститут математики НАНУ (Київ) мають окремі від­діли, що за­ймаються М. п. м. Прикладами традиц. та нині актуал. в Україні наук. шкіл з М. п. м. є школа гіро­скопіч. і навігац. систем, теорії стійкості та керува­н­ня (засн. О. Ішлінським та В. Кошляковим), неліній. задач гі­дромеханіки з вільними поверх­нями (І. Луковський; обидві — Ін­ститут математики НАНУ), динаміки твердого тіла (Ін­ститут приклад. математики і механіки НАНУ, Донецьк, О. Харламов), термомеханіки та теорії пружності (Ін­ститут приклад. про­блем механіки і математики НАНУ, Львів, Я. Під­стригач), матем. про­блем акустики та гі­дромеханіки (Ін­ститут гі­дромеханіки НАНУ, В. Грінченко), теорії гідропружності (Ін­ститут механіки НАНУ, О. Гузь, В. Кубенко), з теорії упр. (Ін­ститут косміч. дослідж. НАНУ, В. Кунцевич; усі — Київ). Наук. школи також існують та активно роз­виваються, готуючи від­повід. спеціалістів та науковців, при мех.-матем. ф-тах більшості університетів України. У світі є сотні наук. журналів, які публікують стат­ті з М. п. м. Зокрема, видавництво «Elsevier» видає ж. «Applied Mathematical Modelling», «Journal of Compu­tational and Applied Mathematics», «Mathematical and Computer Mo­­delling», «Advances in Applied Ma­­thematics», «Journal of the Mecha­­nics and Physics of Solids», «Inter­­national Journal of Non-Linear Mechanics», «European Journal of Mecahnics — A/Solids», «European Journal of Mechanics — B/Fluids», «Theoretical and Applied Mechanics Letters». Стат­ті у галузі М. п. м. друкують й укр. часописи, серед яких — «Український математичний журнал», «Нелінійні колива­н­ня» та «Прикладная механика».

Літ.: Коробейников В. П. Математические про­блемы механики в МИАНе // Тр. Матем. ин-та АН СССР. 1988. Т. 182; J. Carlson, A. Jaffe, A. Wiles. The Millenium Prize Problems. Providence, 2006; Самой­ленко А. М., Луковський І. О., Коренівський Д. Г. Роз­виток досліджень математичних про­блем механіки в Ін­ституті математики НАН України (1934 рік — перше десятилі­т­тя ХХІ сторіч­чя). К., 2012.

І. О. Луковський, О. М. Тимоха

Завантажити статтю