Математичні проблеми механіки

Визначення і загальна характеристика

МАТЕМАТИ́ЧНІ ПРОБЛЕ́МИ МЕХА́НІКИ Предметом наук. галузі М. п. м. є створення, узагальнення й дослідження матем. моделей та об’єк­тів, що є результатом формалізації (математизації) законів рівноваги, стійкості, руху та/чи взаємодії макро- та/чи мікро­об’єктів різної природи, зокрема твердих та пружних тіл, неперерв. середовищ, плазми та низки біомех. систем (також на рівні молекуляр. взаємодії), під дією фіз. полів різної природи. Найближчим за значенням до М. п. м. є термін «раціональна механіка», використання якого є доцільним, коли необхідно підкреслити аксіомат. характер цієї наук. галузі, той факт, що в ній використовують закони природозн. наук, сформульовані у вигляді матем. аксіом (напр., закони Ньютона). Інша близька за змістом назва М. п. м., що з’явилася, ймовірно, під впливом праці М. Леві («The Mathematical Mechanics: Using Physical Reasoning to Solve Prob­­lems» / «Математична механіка: використання досліджень з фізики для вирішення проблем», Прінстон, 2009), є матем. механіка. За формою та методами М. п. м. є галуззю приклад. математики. Дослідж. у М. п. м. мають міждисциплінар. та синергет. характер. Зважаючи на міждисциплінар. характер, напрями дослідж. М. п. м. є тріадами на зразок «розділ чистої математики — розділ природничої на­уки — методи обчислень», розмежувати які практично неможливо. Прикладами тріад є «теорія звичайних диференціальних рівнянь — механіка твердого тіла — обчислювальна механіка», «теорія крайових задач у частинних похідних — гідромеханіка/теорія пружності — обчислювальна гідродинаміка/методи скінчених елементів та їх модифікації», «теорія усереднення в диференціальних та інтегральних рівняннях — вібромеханіка — чисельні методи розв’язування жорстких задач» та «теорія крайових задач із вільними границями — механіка міжфазної взаємодії та поверхневих хвиль — методи наукових обчислень, які гарантують збереження маси». Істор. досвід вказує на синергет. характер дослідж. у галузі М. п. м. Напр., космолог. та матем. роботи (на той час актуал. задачі М. п. м.) видат. учених 17–19 ст. (Ґ. Ґалілей, Х. Гюйґенс, Р. Гук, А. Декарт, І. Ньютон, Ґ. Ляйбніц, Л. Ейлер) про рух і рівновагу твердих тіл призвели до створення аналітичної геометрії, а пізніше — диференц., інтеграл., варіац. числення та аналіт. механіки (Ж. Лаґранж, І. Бернуллі, Л. Ейлер, Ж.-Л. д’Алам­­бер, Л. Карно, Ж. Фур’є). Роботи з М. п. м. 19 ст. К. Ґаусса, М. Остроградського, В. Гамільтона, К. Якобі, Г. Герца, О.-Л. Коші, С.-Д. Пуассона, Д. Бернуллі, Ж. Лаґранжа, К.-Л. Нав’є, Д. Стокса заклали основу теор. гідромеханіки, в той час як побудована Л. Прадтлем мех. модель примежового шару стала точкою кристалізації для аналіт. та чисел. дослідж. т. зв. сингулярно збурених матем. задач. У 19–20 ст. проблема математизації регулювання ходу машин призвела до створення теорії оптимал. упр. (Б. Булгаков, Я. Ройтенберг, М. Красовський, Р. Белман, Л. Понтрягін, В. Зубов та ін.), а роботи О. Ляпунова зі стійкості руху твердих тіл — до матем. теорії стійкості розв’язків систем звичай. диференц. рівнянь. Нарешті, чисел. дослідж. у небесній механіці та прогнозуванні погоди призвели до матем. теорії динам. систем і концепції детермінов. хаосу. М. п. м. є, імовірно, найбільшим розділом сучас. приклад. математики. У 21 ст. М. п. м. продовжує розвиватися як екстенсивно (математизація природн. наук), так й інтенсивно (матем. дослідж. не­­розв’язаних проблем). У першому випадку осн. викликами є задачі біомеханіки, мех. та чисел. моделювання біол. процесів, метеорол. задачі, динаміка та керування складних гібрид. мех. систем. Розв’язність рівнянь Ейлера та Навьє–Стокса (одна з проблем тисячоліття, Матем. інститут Клея) та доведення теореми існування і єдиності розв’язку неліній. задачі поверхн. хвиль (200 р. після виводу фундам. рівнянь О.-Л. Коші та С.-Д. Пуассоном, перший отримав 1816 премію Франц. АН) є прикладами класич. нерозв’язаних проблем М. п. м. Щоб охарактеризувати сучас. стан проблем М. п. м. та найбільш актуал. задачі сьогодення, достатньо переглянути тематику дослідж. найбільш рейтинг. матем. установ світу, до яких належать Курантів. інститут матем. наук (США), де нині проводять дослідж. з матем. проблем гідродинаміки, зокрема пов’язані з біологією та медициною, Інститут матем. наук І. Ньютона (Велика Британія), де вивчають програми математизації феноменів льоду, проблем самоорганізації та неліній. поверхн. хвиль, Інститут математики в науках М. Планка в Ляйпцизі (Німеччина), що займається чисел. питаннями М. п. м., Інститут математики в Тулузі (Франція), традиц. тематика дослідж. якого нині містить задачі оптимізації, керування, динаміки рідини та плазми, а також проблеми математизації біомех. процесів, Дослідниц. інститут з матем. наук при Університеті Кіото (Японія), де вивчають матем. проблеми в’язкої рідини. Матем. інститут РАН (Москва) та Інститут математики НАНУ (Київ) мають окремі відділи, що займаються М. п. м. Прикладами традиц. та нині актуал. в Україні наук. шкіл з М. п. м. є школа гіроскопіч. і навігац. систем, теорії стійкості та керування (засн. О. Ішлінським та В. Кошляковим), неліній. задач гідромеханіки з вільними поверхнями (І. Луковський; обидві — Інститут математики НАНУ), динаміки твердого тіла (Інститут приклад. математики і механіки НАНУ, Донецьк, О. Харламов), термомеханіки та теорії пружності (Інститут приклад. проблем механіки і математики НАНУ, Львів, Я. Підстригач), матем. проблем акустики та гідромеханіки (Інститут гідромеханіки НАНУ, В. Грінченко), теорії гідропружності (Інститут механіки НАНУ, О. Гузь, В. Кубенко), з теорії упр. (Інститут косміч. дослідж. НАНУ, В. Кунцевич; усі — Київ). Наук. школи також існують та активно розвиваються, готуючи відповід. спеціалістів та науковців, при мех.-матем. ф-тах більшості університетів України. У світі є сотні наук. журналів, які публікують статті з М. п. м. Зокрема, видавництво «Elsevier» видає ж. «Applied Mathematical Modelling», «Journal of Compu­tational and Applied Mathematics», «Mathematical and Computer Mo­­delling», «Advances in Applied Ma­­thematics», «Journal of the Mecha­­nics and Physics of Solids», «Inter­­national Journal of Non-Linear Mechanics», «European Journal of Mecahnics — A/Solids», «European Journal of Mechanics — B/Fluids», «Theoretical and Applied Mechanics Letters». Статті у галузі М. п. м. друкують й укр. часописи, серед яких — «Український математичний журнал», «Нелінійні коливання» та «Прикладная механика».

Завантажити статтю