Ймовірностей теорія

Визначення і загальна характеристика

ЙМОВІ́РНОСТЕЙ ТЕО́РІЯ — роз­діл математики, в якому ви­вчають способи обчисле­н­ня ймовірностей одних випадкових подій за ймовірностями інших. Гол. цін­ність мають результати Й. т., які дають змогу стверджувати, що ймовірність на­ста­н­ня події А є близькою до одиниці, тобто ймовірність нена­ста­н­ня події А є до­статньо малою. Таку подію вважають практично достовірною. Висновки на кшталт за­знач. вище, які становлять наук. і практ. інтерес, за­звичай базуються на припущен­ні, що здійснен­ність або не­здійснен­ність події А залежить від великої кількості випадкових, мало повʼяз. між собою факторів. Тому можна також стверджувати, що Й. т. — наука, яка зʼясовує закономірності, що виникають під час взаємодії числен. випадковостей. Ці закономірності за­стосовні у природо­знавстві, техніці, статистиці. Щоб описати закономірні звʼязки між деякими умовами S і подією А, на­ста­н­ня або нена­ста­н­ня якої за даних умов може бути точно встановлене, у природо­знавстві використовують одну зі схем: а) при кожному виконан­ні умов S від­бувається подія А (такий ви­гляд, напр., мають усі закони класич. механіки, згідно з якими за за­даних початк. умов і сил, що діють на систему тіл, рух від­буватиметься одно­значно певним чином); б) за умов S подія A має певну ймовірність (так, напр., закони радіо­актив. ви­промінюва­н­ня стверджують, що для кожної радіо­актив. речовини протягом даного проміжку часу роз­падається якась N кількість атомів). Статист. закономірності — ті, що описуються схемою б, — уперше помічені на прикладі азарт. ігор. Від­давна ві­домі також статист. закономірності народжуваності, смерті, народж. дитини певної статі. Можливість за­стосува­н­ня методів Й. т. до ви­вче­н­ня статист. закономірностей із досить далеких одна від одної галузей науки базується на тому, що ймовірності подій завжди задовольняють деякі прості спів­від­ноше­н­ня, а дослідж. властивостей імовірніс. подій на основі цих спів­від­ношень і є предметом Й. т. Осн. елементар. положе­н­нями Й. т. є теореми додава­н­ня й множе­н­ня ймовірностей та формула повної ймовірності. Якщо події A і B несумісні, то P(A або B) = P(A) + P(B), де P(.) — символ імовірності події. Для будь-яких подій A і B P(A і B) = P(A)P(B/A), де P(B/A) — імовірність події B за умови, що подія A на­стала. Якщо P(B/A) = P(B), то події A і B називають незалежними. Якщо подія B може на­стати тільки разом з однією з несуміс. подій A₁, A₂,..., A_n, то за­стосовують формулу повної ймовірності: P(B) = P(A₁)P(B/A₁)+...+ P(A_n)P(B/A_n). Особл. значе­н­ня у Й. т. має ви­вче­н­ня випадк. величин, що характеризуються функціями роз­поділу. Як числові характеристики випадк. величин фундам. роль ві­ді­грають матем. сподіва­н­ня і дис­персія. Велике значе­н­ня для Й. т. має теорема П. Чебишева — це теор. об­ґрунтува­н­ня ві­домого правила: щоб одержати більшу точність при вимірюва­н­нях деякої величини, які проводять без системат. похибки, необхідно брати арифмет. середнє з одержаних значень. Важл. окремий випадок закону великих чисел довів один із засн. Й. т. — швейцар. математик Я. Бернул­лі. Ін. осн. граничну теорему Й. т. установив О. Ляпунов. Якщо теорема Чебишева стверджує, що при додаван­ні випадк. величин зі збільше­н­ням кількості до­данків від­бувається зближе­н­ня сум з деякими сталими, то теорема Ляпунова дає змогу оцінити ймовірність від­хилень від цих сталих. Як матем. наука Й. т. виникла у серед. 17 ст., перші праці тут належать французам Б. Паскалю, П. Ферма, нідерландцю Х. Гюйґенсу, Я. Бернул­лі. Різні пита­н­ня Й. т. пізніше роз­робляли А. Муавр, П. Лаплас, К. Ґаусс, С. Пуас­сон, П. Чебишев, О. Ляпунов, А. Марков (батько), С. Бернштейн, О. Хінчин, А. Колмогоров та ін. Уродженець Поді­л­ля В. Буняковський написав перший курс Й. т. російською мовою («Основания математической теории вероятностей», С.-Петербург, 1846), а Б. Гнєденко — українською (К.; Л., 1949). А. Колмогоров здійснив аксіомат. побудову Й. т., що стала загальнови­знаною (перший її варіант за­пропонував С. Бернштейн), а спільно з О. Хінчиним заклав основи теорії випадк. процесів.

В Україні роз­робле­н­ня питань Й. т. має давні традиції. Виходець з Полтавщини М. Остро­градський викори­став результати Й. т. для дослідж. питань, повʼяз. з матем. статистикою. М. Крилов і М. Боголюбов роз­робили теорію марков. випадк. процесів у звʼязку з про­блемами статист. фізики. Б. Гнєденко роз­винув теорію гранич. теорем для сум незалеж. до­данків. На основі результатів дослідж. поведінки системи під дією швидко змінюваної випадк. сили, яка в границі пере­ходить у «білий шум», Й. Гіхман роз­винув теорію стохаст. диференціал. рівнянь, фундамент якої закладений С. Бернштейном. Із багато­гран. доробку М. Кравчука у напрямку Й. т. можна виділити ви­вче­н­ня ним ортогонал. многочленів, що від­повід­ають конкрет. імовірніс. роз­поділам, і за­стосува­н­ня методу моментів до матем. статистики. Б. Гнєденко, В. Королюк та їхні учні приділили значну увагу дослідж. непараметрич. задач матем. статистики і задач теорії масового обслуговува­н­ня. На поч. 1960-х рр. сформувалася київ. теор.-ймовірнісна матем. школа (А. Скороход, Й. Гіхман, В. Королюк, Ю. Далецький, М. Ядренко, І. Коваленко, М. Портенко), яка здобула між­нар. ви­зна­н­ня як один із кращих світ. центрів з питань Й. т. Осн. напрями її дослідж.: теорія стохаст. диференціал. рівнянь, марков. і роз­галужені процеси, граничні задачі для випадк. процесів, напів­марков. процеси та їх за­стосува­н­ня, роз­поділи в нескінчен­новимір. просторах і статистика випадк. процесів, еволюц. випадк. сімʼї. Низка нових понять сучас. Й. т. повʼяз. з іменем А. Скорохода: простори Скорохода, топологія Скорохода, теореми Скорохода тощо. Пита­н­ня Й. т. роз­робляють також н.-д. колективи Харкова, Львова, Ужгорода, Одеси (гол. чином у напрямку ви­вче­н­ня випадк. процесів різноманіт. типів).

Літ.: Колмогоров А. Н. Основные понятия теории вероятностей. Москва, 1974; Скороход А. В. Елементи теорії ймовірностей та випадкових процесів. К., 1975; Хинчин Б. В. Элементарное введение в теорию вероятностей. Москва, 1976; Гмурман В. Е. Теория вероятностей и математическая статистика. Москва, 1977; Справочник по теории вероятностей и математической статистике. К., 1978.

В. І. Горбачук

Завантажити статтю